§ 15. Изотропный осциллятор в трех измерениях

Изотропный гармонический осциллятор в трех измерениях есть частица в поле центрально-симметричного потенциала, пропорционального квадрату расстояния от центра. Гамильтониан выражается формулой

он является суммой трех членов

где

Согласно результатам § 13 собственные значения оператора выражаются формулой

порядок вырождения собственных значений равен Наблюдаемые образуют полный набор постоянных движения, и собственные векторы их базисной системы нумеруются тремя собственными значениями . Все эти векторы получаются по формуле

из вектора основного состояния который с точностью до постоянного множителя определяется тремя уравнениями

Введем момент импульса

По хорошо известным свойствам (гл. IX) гамильтониана с центрально-симметричным потенциалом операторы также образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых: общие этим трем наблюдаемым собственные векторы отмечаются тремя квантовыми числами причем собственные значения соответственно равны: Векторы составляют полную ортонормированную систему собственных векторов они получаются из векторов с помощью унитарного преобразования. Мы не будем проводить здесь явного вычисления этих векторов. Ограничимся тем, что найдем значения, которые могут принимать квантовые числа при заданном иначе говоря, найдем различные возможные состояния момента импульса для каждого уровня энергии.

Большое сходство между оператором и оператором введенным в предыдущем параграфе, наводит на мысль об аналогичной замене переменных. Вводим операторы по формулам

и соответствующие эрмитово сопряженные операторы . Операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям, аналогичным (73), и могут быть истолкованы как операторы уничтожения и рождения квантов типа . Число квантов типа представляется оператором Очевидно, что составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых и что

Каждой тройке собственных значений соответствует общий собственный вектор трех наблюдаемых, а именно, вектор

Множество всех этих векторов образует полную систему собственных векторов 96. Находим

Построенные нами векторы в общем случае не являются собственными векторами , но это собственные векторы так как

и, следовательно,

Рассмотрим подпространство собственных векторов 96, принадлежащих собственному значению Оно натянуто на векторов (при этом ), которые образуют полную ортонормированную последовательность собственных векторов

Рис. 37. Спектр трехмерного гармонического осциллятора.

Согласно уравнению (88), квантовое число может принимать все целые значения между Нетрудно найти число линейно независимых векторов, принадлежащих каждому значению результат приведен в следующей таблице:

Однако по свойствам момента импульса каждому собственному значению , т. е. каждому значению соответствует некоторое число серий из векторов с заданными при этом в

каждой серии число принимает целых значений от до . Пусть это число серий. Очевидно, что

и поэтому

Обращаясь к таблице (89), мы видим, что для т. е. для всех целых значений I четности заключенных между (включая крайние значения) и что для всех остальных значений I.

В заключение отметим, что каждому собственному значению энергии соответствует состояний момента импульса Для каждого возможного значения I существует собственных состояний, соответствующих значениям от до Значения, которые может принимать квантовое число I, таковы:

Спектроскопическая диаграмма на рис. 37 представляет новное и первые возбужденные состояния трехмерного изотропного гармонического осциллятора. Полезно сравнить эту диаграмму с соответствующей диаграммой для атома водорода (рис. 36).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)