§ 11. Другие методы исследования непрерывного спектра

Большим преимуществом развитого выше подхода к проблеме непрерывного спектра является его формальная простота. Это преимущество компенсирует недостаток математической строгости, возникающий при «использовании -функции. Впрочем, все операции, производимые с -функцией, могут быть строго обоснованы на основе теории обобщенных функций (см. Дополнение А).

Тем не менее, следует иметь в виду, что трудности, возникающие при трактовке непрерывного спектра собственных значений, могут быть преодолены и на основе классических математических приемов. Вместо того, чтобы основываться на проблеме собственных значений и вводить там, где это необходимо, собственные функции, не принадлежащие пространству Гильберта, можно, следуя Нейману, рассматривать задачу строго, не выходя за пределы пространства Гильберта. Метод состоит в использовании так называемого разложения единицы в пространстве Гильберта, причем показывается, что каждой наблюдаемой волновой механики соответствует свое разложение единицы. Это рассмотрение строго эквивалентно по своим результатам приведенному выше. Мы упоминаем о нем только для полноты изложения.

Другой способ рассмотрения проблем, относящихся к непрерывному спектру, состоит в замене задачи на собственные значения (9) другой задачей, в которой последовательность

собственных значений всюду дискретна, причем первоначальная задача получается как предельный случай при соответствующей модификации условий. Хотя подобная процедура не может претендовать на строгость, она имеет достоинство простоты и интуитивной ясности. Рассмотрим на основании этого метода операторы Читатель может сравнить ход рассуждений и результаты с содержанием § 8.

Чтобы подойти к проблеме измерения положения в пространстве, разделим интервал на равные сегменты длины и заменим волновые функции приближенными волновыми функциями постоянными на каждом сегменте и определяемыми соотношением

где обозначает наибольшее целое число, содержащееся в иначе говоря: Аналогичным образом заменим оператор оператором умножение на . В пределе, когда имеем

Множество функций образует пространство Гильберта, в котором оператор вполне определен и обладает дискретным спектром собственных значений Каждому собственному значению принадлежит собственная функция нормированная на единицу

Собственные функции ортонормированы: Кроме того, они образуют полную систему, ибо всякая функция может быть представлена разложением в ряд по ил:

Следовательно, можно применить теорию §§ 5, 6 с тем результатом, что вероятность измерить значение равна . В пределе промежутки между соседними собственными значениями стремятся к нулю, спектр становится непрерывным. Измерение отличной от нуля координаты соответствует бесконечно большому значению ; однако вероятность обнаружить это точное значение координаты пропорциональна и следовательно стремится к нулю. В действительности эта вероятность не интересна, поскольку спектр значений координаты непрерывен. Нам важно знать вероятность найти частицу в интервале т. е.

где суммирование распространено на все те при которых находится в интервале Поскольку является малой постоянной, члены этой суммы числом все примерно равны Следовательно, в лределе имеем

Заметим, что разложение (45) может быть записано еще и в виде

где сумма по обозначает суммирование по дискретной последовательности значений а

При данный ряд переходит в интеграл от произведения на предел функции но этот предел как раз равен Мы приходим, следовательно, к формуле (32).

Аналогичный подход в случае измерения импульса состоит в том, что мы первоначально ограничиваем область изменения координаты интервалом , где на завершающем этапе рассуждений будем стремить к бесконечности. Для того чтобы оператор был эрмитовым в этой конечной области, следует наложить на функции из функционального пространства, где действует оператор, некоторые граничные условия. Условие эрмитовости записывается в виде

для любых функций равно постоянной, не зависящей от

Другими словами, требуется, чтобы для всякой функции

где — некоторый фиксированный фазовый множитель. Условимся принимать его равным единице, что дает условие периодичности

В этих условиях задача о собственных значениях оператора решается без труда. Спектр собственных значений оказывается дискретным:

Собственному значению соответствует нормированная на единицу собственная функция

Функции взаимно ортогональны, кроме того, они образуют полную систему, так как согласно теории рядов Фурье всякая

квадратично интегрируемая функция в интервале может быть представлена в виде ряда

при

Мы можем, следовательно, применить теорию §§ 5, 6 и находим, что вероятность найти равна

В пределе промежуток разделяющий соседние собственные значения, стремится к нулю, и спектр собственных значений импульса становится непрерывным. Исследование перехода к пределу проводится совершенно аналогично тому, как это было сделано для При при условии, что остается постоянным, стремится к образу Фурье

Мы оставляем читателю возможность самому найти после предельного перехода статистическое распределение результатов измерения импульса и показать, что представление в виде ряда Фурье (46) переходит в интегральное представление Фурье

где есть предельная форма , т. е.