§ 13. Рассеяние на твердой сфере
Если потенциал ограниченного радиуса действия соответствует потенциалу твердой сферы
то все формулы § 10 упрощаются. Волновая функция должна обращаться в нуль на поверхности сферы, т. е. 
при любых 
что дает (уравнение (44)) 
, т. е.
После соответствующих вычислений получаем
и, в частности,
При очень малых энергиях, в согласии с результатами § 11, дифференциальное эффективное сечение становится изотропным, и полное эффективное сечение имеет предел
соответствующий длине рассеяния 
При возрастании энергии вклад парциальных волн высокого порядка становится все более значительным, а анизотропия рассеяния — все более выраженной. При очень больших энергиях 
дифференциальные и полные эффективные сечения могут быть вычислены при использовании асимптотического поведения функций Бесселя больших порядков. Таким путем получаем 12):
Дадим упрощенное доказательство соотношения (53). Зная функции 
нетрудно установить поведение функции
Эта функция ведет себя как 
вблизи 
затем монотонно растет до окрестности 
, а затем бесконечно осциллирует по закону
Поэтому в сумме
вклад членов 
пренебрежимо мал по сравнению со вкладом членов 
который можно грубо оценить, используя асимптотическую форму (54), что дает
Эту сумму можно оценить, группируя попарно последовательные члены, что в пределе очень больших 
дает
откуда и получается выражение (53).
Таким образом, в пределе малых длин волн 
мы не получаем эффективного сечения рассеяния классической частицы твердой сферой радиуса 
Полное классическое эффективное сечение
равно только половине квантового результата в пределе малых длин волн. Аналогичным образом, дифференциальное классическое эффективное сечение изотропно и равно 
оно соответствует первому члену асимптотической формы (52) для 
Эти результаты показывают, что в рассматриваемом случае нельзя пренебречь волновым аспектом явления, так как даже в предельной ситуации очень малых длин волн потенциал нельзя считать медленно меняющимся в пространстве ввиду наличия разрыва в точке 
Наблюдаемое явление совершенно аналогично явлению дифракции в оптике, на что указывает исследование асимптотической формы (52) дифференциального эффективного сечения. Это выражение содержит два члена. Первый член изотропного «отражения» идентичен классическому дифференциальному эффективному сечению. Второй,
является резко анизотропным: он дает существенный вклад) только при малых углах порядка 
это член «дифракции» (теневое рассеяние), связанный с наличием тени от идеально отражающей сферы на пути падающей волны.
