§ 5. Сферические кулоновские функции

Дифференциальное уравнение.

В сферических координатах проблема рассеяния из § 4 приводит для каждого значения I момента импульса к радиальному уравнению

Сферические кулоновские функции являются частными решениями этого уравнения. Это функции аргумента Они зависят от энергии частицы через . Определяют регулярное в начале решение и нерегулярные решения (сингулярность типа ).

При помощи замены

уравнение (28) сводится к уравнению Лапласа:

регулярное в начале решение и два нерегулярных решения которого нам известны.

Определения и соотношения между функциями

Величины (кулоновский фазовый сдвиг) являются следующими функциями у:

или:

для

вещественны,

Асимптотические формы

Поведение вблизи начала координат

Общее поведение функции

Когда растет от 0 до функция растет сначала как затем все быстрее (экспоненциально) до точки затем функция бесконечно осциллирует между двумя экстремальными значениями, которые асимптотически стремятся к период осцилляций асимптотически стремится к

Рекуррентные формулы:

Эти соотношения остаются справедливыми, если заменить на произвольно выбранные коэффициенты, не зависящие от I). Определитель Вронского для функций и равен

откуда

Если то с точностью до множителя получаем сферические функции Бесселя:

(определение см. в следующем разделе).