§ 8. Свободная частица. Свободные плоские и сферические волны

Вышеприведенные результаты применимы и к случаю свободной частицы. В этом случае во всем интервале и гамильтониан сводится к члену кинетической энергии

Будем искать общие собственные решения Решение с моментом импульса и энергией Е имеет вид где есть решение уравнения (25), ограниченное во всем интервале

Если то единственное решение, ограниченное на бесконечности, а именно в начале координат имеет полюс порядка Задача на собственные значения не имеет решения; как и следовало ожидать, не существует собственных состояний с отрицательной энергией.

Если то уравнение (25) имеет одно и только одно всюду ограниченное решение, а именно функцию Таким образом, существует одно собственное решение с моментом импульса для каждого положительного значения энергии — это функция

Каждое такое собственное решение отмечается двумя дискретными индексами и непрерывным индексом который может принимать все значения в интервале множество полученных сферических волн образует полную ортонормированную систему (см. задачу 3).

Совокупность плоских волн составляет другую полную ортонормированную систему собственных функций энергии свободной частицы. Это общие собственные функции наблюдаемых т. е. решения, соответствующие определенному

заданному значению импульса Каждая плоская волна определяется тремя непрерывно изменяющимися параметрами — тремя компонентами вектора которые могут принимать все значения от до

Волна представляет свободную частицу с импульсом и энергией . В то же время она не представляет состояния с определенным моментом импульса, подобно тому как сферическая волна (30) не представляет состояния с определенным импульсом. Это не удивительно, так как три компоненты импульса не коммутируют одновременно с .