Раздел III. ИЗОТРОПНЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

§ 13. Общее исследование изотропного осциллятора в р измерениях

Гармонический изотропный осциллятор в измерениях есть -мерная система с гамильтонианом

где

Пусть — пространство динамических состояний, относящееся к паре переменных — пространство состояний, относящееся к паре Пространство динамических состояний рассматриваемой системы есть тензорное произведение пространств

Обозначим с помощью фиксировано, собственные векторы гамильтониана рассматриваемого как оператор в пространстве эти векторы образуют полную ортонормированную систему в . В дальнейшем будем предполагать, что фазы векторов выбраны так, что выполняются соотношения (17—20), где операторы рождения и уничтожения относятся к переменным типа Векторы

образованные тензорным умножением векторов, принадлежащих соответственно пространствам образуют

полную ортонормированную систему в Ясно, что эти векторы являются собственными векторами . Далее, поскольку

имеем

Векторы базисной системы которые мы построили, нумеруются квантовыми числами гаг, пр, которые могут принимать все целые значения от 0 до Однако соответствующее собственное значение энергии

зависит только от суммы

этих чисел. При заданном значении существует

различных наборов чисел . Собственное значение таким образом, -кратно вырождено.

Введем операторы поглощения и рождения квантов типа

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям (см. (10))

Согласно определению векторов данному выше, векторы удовлетворяют соотношениям, обобщающим (17—20). В частности, если обозначить символом собственный вектор основного состояния

то можно написать

Спектр наблюдаемых

состоит из целых неотрицательных чисел; эти наблюдаемые интерпретируются как число квантов типа соответственно. Сумма

есть полное число квантов. Имеем

Ясно, что образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, причем их базисная система совпадает с базисной системой которую мы построили.

Операторы очевидно, не являются единственными постоянными движения, образующими полный набор. Всякий оператор вида коммутирует с с помощью линейных комбинаций операторов этого типа и им сопряженных можно построить независимых эрмитовых операторов. Среди функций от этих постоянных движения существует несколько полных наборов коммутирующих наблюдаемых. Проиллюстрируем это обстоятельство на примере двух частных случаев