§ 10. Сферическая прямоугольная яма

В качестве иллюстрации решения задачи о частице в центрально-симметричном поле сил, рассмотрим «прямоугольную яму» (рис. 28):

Решение радиального уравнения совершенно аналогично случаю одномерной прямоугольной ямы. Мы умеем писать общее решение уравнения Шредингера в каждой из областей и это линейная комбинация сферических функций Бесселя. Условия регулярности в начале и на бесконечности и условие непрерывности функции и ее логарифмической производной в точке — а позволяют определить допустимые решения.

Рис. 28. Сферическая прямоугольная потенциальная яма.

Пусть Е — энергия частицы. Положим Во внутренней области радиальное уравнение имеет вид

Положив приходим к уравнению (25). Существует только одно решение, регулярное в начале: (А — постоянная нормировки).

Во внешней области уравнение Шредингера есть уравнение для свободной частицы. Следует рассмотреть два случая:

А) . Дискретный спектр, связанные состояния.

Положим Единственным решением, ограниченным на бесконечности, является функция характерная для связанного состояния. Условие непрерывности функции при фиксирует отношение Непрерывность логарифмической производной дает

Это условие может быть выполнено только для некоторых дискретных значений Е. Оно определяет уровни энергии связанных состояний частицы в яме. Если речь идет об -состояниях

то уравнение имеет простой вид

Это уравнение подобно уравнению (III.18) одномерной задачи из § III. 6. Обсуждение вопроса о числе корней уравнения и числе узлов решений может быть повторено здесь без больших изменений. Аналогичные выводы можно сделать относительно значений момента импульса (задача 5).

Б) . Непрерывный спектр, несвязанные состояния.

Положим Общее решение уравнения Шредингера во внешней области всюду ограничено. Это линейная комбинация функций Условия непрерывности в точке фиксируют коэффициенты линейной комбинации. Каждому значению Е соответствует одна и только одна волновая функция (с точностью до постоянного множителя).

Если внешнее решение представить в форме

то условие непрерывности функции в точке определяет отношение . Величина находится из условия непрерывности логарифмической производной

— действительная величина и может быть названа сдвигом фазы сферической волны с моментом импульса I. Пользуясь выражениями (26), нетрудно проверить, что асимптотический вид решения (39) выражается формулой

В случае -волны уравнение (40) принимает простую форму: