§ 7. Представление {Q}. Полиномы Эрмита

На языке волновой механики задача на собственные значения оператора 26 сводится к нахождению значений Е, при которых уравнение

обладает решением, регулярным на обоих концах интервала Если воспользоваться в этой задаче рассуждениями гл. III (§ 10), то можно констатировать, что значение Е, удовлетворяющие указанному выше условию, образуют дискретный спектр, причем каждому из значений Е соответствует одно и только одно решение (определяемое с точностью до постоянного множителя); это решение имеет ограниченную норму. Этот результат вполне согласуется с выводами предшествующего параграфа о том, что спектр оператора полностью дискретен и невырожден. Решая задачу на собственные значения в указанной выше постановке, мы найдем вновь последовательность собственных значений оператора 26:

Принадлежащие этим значениям собственные функции описывают собственные состояния в представлении

В дальнейшем мы воспользуемся представлением которое получается из заменой переменных (4). Собственные функции относящиеся к одному собственному состоянию в представлениях соответственно связаны соотношением

Уравнение (8) является уравнением Шредингера в представлении (с точностью до множителя

Собственные функции получаются без труда с помощью соотношений (17—19). Собственная функция основного состояния удовлетворяет уравнению (19), т. е.

Нормированное на единицу решение этого уравнения имеет вид

Из (17) и (18) можно получить соотношения, связывающие нормированные собственные функции, принадлежащие соседним собственным значениям (см. дополнение Б, раздел III). В частности, повторное применение (17) позволяет построить все собственные функции, исходя из функции Вместо (17) удобнее использовать соотношение (20), которое полностью эквивалентно ему, что дает

Пользуясь операторным тождеством

можно переписать уравнение (27) в форме (Б.70), где — полином Эрмита порядка в соответствии с определением (Б.59). Таким образом, получаем, что выражается как произведение на полином степени и четности Главные свойства этих полиномов указаны в дополнении Б, § 7.