Вплоть до начала 1970-х годов число точно решаемых физически важных задач было очень невелико. Классический или квантовый осциллятор, линеаризованная многочастичная задача, квантованный атом водорода, ньютоново решение задачи об орбитах планет, решение Онзагером двумерной задачи Изинга – это перечисление является почти исчерпывающим. Ныне ситуация стала совершенно иной. Имеется множество точно решаемых нелинейных систем, важных с точки зрения физики, причем их число постоянно возрастает [3]-[5]. Среди недавних примеров – ограниченное решение эйнштейновых уравнений общей теории относительности [11], точное решение квантованного уравнения синус-Гордон $u_{t t}-u_{x x}=\sin u$, которое можно связать с моделью Изинга, и решение уравнений движения свободного твердого тела в $N$ измерениях.

В настоящем спецкурсе рассматриваются подобные задачи и его главной темой являются солитоны. Эти математические объекты суть точные аналитические решения нелинейных уравнений математической физики, включая уравнение синус-Гордон, уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) $u_{t}+$ $+u u_{x}+u_{x x x}=0$ и другие [4].

Впервые уравнение КдФ появилось еще в 1895 г. в теории волн на мелкой воде, теперь оно встречается в теории решеток, физике плазмы и магнитогидродинамике [12]. Приложения уравнения синус-Гордон сейчас охватывают такие различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.

Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [2], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению синус-Гордон и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике $1970-80-$ г г. Некоторые из методов и подходов теории солитонов возникли в Уфе в научной школе, созданной профессором А. Б. Шабатом.

Знакомство с идеями и методами современной нелинейной математической физики представляется полезным для студентов специальности «Прикладная математика».