Метод обратной задачи возник как своеобразное нелинейное обобщение классического метода Фурье, предназначенного для интегрирования линейных уравнений с частными производными. Рассмотрим эту аналогию
на примере линеаризованного уравнения КдФ
\[
u_{t}+u_{x x x}=0, \quad x \in \mathbb{R} .
\]

Будем решать это уравнение с начальным условием
\[
u(x, 0)=u_{0}(x), \quad u_{0} \in L_{2}(\mathbb{R}) .
\]

Применяя преобразование Фурье по $x$
\[
\mathscr{F}(u)=\tilde{u}(\lambda, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda x} u(x, t) d x
\]
и пользуясь известными правилами преобразования производных
\[
\mathscr{F}\left(u_{x}\right)=-i \lambda \mathscr{F}(u), \quad \mathscr{F}\left(u_{x x x}\right)=(-i \lambda)^{3} \mathscr{F}(u),
\]
получим обыкновенное дифференциальное уравнение по $t$
\[
\tilde{u}_{t}-i \lambda^{3} \tilde{u}=0
\]

Здесь $\lambda$ — переменная в преобразовании Фурье, входит как постоянный параметр. Общее решение уравнения (6.3) имеет вид
\[
\tilde{u}(\lambda, t)=C(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda^{3} t},
\]
где постоянная интегрирования $C(\lambda)$ должна быть найдена из начального условия (6.2)
\[
C(\lambda)=\tilde{u}(\lambda, 0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \lambda x} u(x, 0) d x=\mathscr{F}\left(u_{0}\right) .
\]

Таким образом, мы нашли преобразование Фурье решения задачи Коши (6.1), (6.2). Применяя обратное преобразование Фурье, получим окончательно
\[
u(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-i \lambda x-i \lambda^{3} t} C(\lambda) d \lambda .
\]

Изложенную процедуру интегрирования методом Фурье можно символически представить в виде следующей диаграммы:
\[
\begin{array}{c}
u(x, 0) \xrightarrow{\mathscr{F}} \\
u(x, t) \stackrel{\mathscr{F}^{-1}}{\longleftarrow} \tilde{u}(\lambda, t)=\tilde{u}(\lambda, 0) \mathrm{e}^{-i \lambda^{3} t}
\end{array}
\]