До сих пор мы говорили о решениях в виде уединенных волн, которые, если пользоваться весьма расплывчатым определением, представляют собой просто волны, распространяющиеся без изменения формы и в какойто мере локализованные. Расселл особо интересовался уединенными волнами на мелкой воде, и, как отмечалось в Лекции 1 , он дал название этим волнам. Однако существует много уравнений, имеющих решение в виде уединенной волны в смысле того определения, которое было дано выше. Слово «солитон» впервые встречается в работе Нормана Забуского и Мартина Крускала [10]. Крускал в течение некоторого времени интересовался задачей ФПУ и в особенности тем, почему имеет место рекуррентность. Он изучал некоторые движения нелинейной цепочки, о которых шла речь в предыдущем разделе. Забуски и Крускал описывают численное изучение уравнения КдФ с множителем $\delta^{2}$ перед членом $u_{x x x}$. Они выбрали $\delta=$ $=0,022$, периодические граничные условия такие, что $u(x, t)=u(x+2, t)$, и периодическое начальное условие $u(x, 0)=\cos x$.

Оказалось, что сначала волна становится круче в тех областях, где ее наклон отрицателен, вследствие того, что нелинейность доминирует над третьей производной благодаря малости $\delta^{2}$. После того как волна становится круче, член $\delta^{2} u_{x x x}$ становится существенным и уравнивается по порядку величины с нелинейностью. Они заметили, что слева от того места, где волна становится круче, развиваются осцилляции, каждая из которых растет и в конце концов достигает устойчивой амплитуды и становится по форме почти идентичной решению в виде уединенной волны (1.2), каждая со своим значением $\varkappa$. Замечательным свойством этих уединенных волн является их взаимодействие друг с другом, когда они проходят через циклы эволюции, навязанные периодическими граничными условиями. Они проходят сквозь друг друга без изменения форм и лишь с небольшими изменениями фаз. Этот фазовый сдвиг приводит к тому, что начальное состояние не повторяется в точности, но все же почти повторяется, как в задаче ФПУ.

Забуски и Крускал назвали эти уединенные волны солитонами именно потому, что когда две или больше уединенных волны КдФ сталкиваются, то они не разрушаются и не рассеиваются. Греческое окончание «-он» обычно используется для частиц, и поэтому слово «солитон» призвано как бы подчеркнуть тот факт, что уединенные волны ведут себя подобно частицам.

Рис. 3. Процесс взаимодействия двух солитонов

Это «частицеподобное» поведение на самом деле не зависит от периодичности в граничных условиях. Мы можем численно решить уравнение КдФ при граничных условиях $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$ и взять в качестве начальных условий два существенно разных решения уравнения КдФ, имеющих вид уединенных волн, и таких, что более высокая и соответственно более быстрая волна расположена левее. С течением времени более быстрая нагоняет меньшую и сталкивается с ней. Это изображено на рисунке. Каждый волновой профиль – это график функции $u(x, t)$ от $x$ для некоторого фиксированного момента времени $t$. В целом рисунок представляет собой наложение большого количества таких профилей для возрастающей последовательности моментов времени $t$, отделенных равными промежутками.

Два солитона достаточно отделены друг от друга до столкновения, в середине рисунка сходятся и потом снова разделяются. Тот факт, что траектории каждого солитона в плоскости $(x, t)$ не совпадают до и после столкновения, показывает, что каждый из них претерпевает фазовый сдвиг. Заметим, кроме того, что максимум в области столкновения меньше амплитуды большего солитона, что указывает на отсутствие линейной суперпозиции в центре. Уединенные волны пос.ле столкновения сохраняют в точности первоначальную форму, и это удивительно, поскольку можно было бы думать, что сильная нелинейность в процессе столкновения разрушит их. Это

свойство важно, поскольку оно показывает, что энергия может распространяться в виде локализованных устойчивых «пакетов» без рассеяния. Такое поведение решений не является свойством одного лишь уравнения КдФ, тем же свойством обладают уравнения МКдФ, уравнение Буссинеска, а также многие другие уравнения. В нелинейном уравнении Шредингера
\[
u_{t}+u_{x x}-2|u|^{2} u=0,
\]
описывающем, в частности, огибающие оптических волн в оптоволоконных кабелях, это свойство также имеет место. Оно используется в некоторых волоконных магистралях для переноса цифровой информации («1»солитонный импульс, «0»- основное состояние).

Важно понимать, что большинство нелинейных уравнений в частных производных, обладающих решениями в виде уединенных волн, не имеют решений, ведущих себя как солитоны. Некоторые из таких уравнений имеют решения, ведущие себя почти как солитоны в том смысле, что когда две уединенных волны встречаются, то после столкновения они возрождаются с малыми изменениями профиля, и лишь малое количество энергии теряется при этом в виде последующих колебаний. Такое поведение часто называют солитоноподобным, или говорится, что столкновение уединенных волн демонстрирует неупругое солитонное поведение. В качестве примера можно привести так называемое уравнение $\varphi^{4}$ (произносится «фи четыре»), встречающееся в физике элементарных частиц
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}=m^{2} \varphi-\lambda \varphi^{3} .
\]

Легко найти его простые решения типа бегущей волны
\[
\varphi(x, t)= \pm \frac{m}{\sqrt{\lambda}} \operatorname{th}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \gamma(x-v t)+\delta\right),
\]
однако любая суперпозиция подобных волн распадается при больших временах. Это означает, что две волны вида (3.1) после взаимодействия не сохраняют своей формы, а, напротив, порождают осцилляции, которые можно рассматривать как излучение, уносящее часть суммарной энергии волн. Тем самым уравнение $\varphi^{4}$ не является солитонным в строгом смысле. Однако терминология несколько неупорядоченна и различается в разных областях. Например, в физике частиц и физике твердого тела взаимная проницаемость волн не так важна в сравнении с другими частицеподобными свойствами, такими как локализуемость и конечность энергии. Однако мы будем строго придерживаться данного выше определения. Форма волны не является важной частью определения солитона. Солитоны уравнения КдФ имеют форму $\mathrm{ch}^{-2}$, в то время как солитоны модифицированого уравнения КдФ – только $\mathrm{ch}^{-1}$. Слово «солитон» в большей степени указывает
на частицеподобные свойства, чем на форму, то есть на характер взаимодействия и сохраняющиеся при этом величины типа массы, суммарного импульса и энергии.