Обсудим вопрос о величине произвола в данных рассеяния. Они состоят из двух комплекснозначных функций $a$ и $b$, то есть параметризуются четырьмя вещественными функциями на прямой $\lambda \in \mathbb{R}$. С другой стороны,

данные рассеяния полностью определяются одной вещественной функцией – потенциалом $u(x)$. Этот факт означает, что должны существовать соотношения на функции $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$, оставляющие только один вещественный функциональный произвол.

Одно из этих соотношений, $|a|^{2}-|b|^{2}=1$, мы уже вывели в Лекции 7 (см. свойство 2). Сейчас будут указаны остальные функциональные зависимости между данными рассеяния.

Покажем сначала, что данные рассеяния $a$ и $b$ однозначно выражаются через одну комплекснозначную функцию
\[
r(\lambda)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)},
\]
называемую коэффициентом отражения.
Для модулей $a, b$ и $r$ справедливы соотношения:
\[
\begin{array}{c}
1-\frac{|b|^{2}}{|a|^{2}}=\frac{1}{|a|^{2}}, \quad 1-|r|^{2}=\frac{1}{|a|^{2}}, \\
|a|^{2}=\frac{1}{1-|r|^{2}}, \quad|b|^{2}=\frac{|r|^{2}}{1-|r|^{2}} .
\end{array}
\]

Для восстановления самой функции $a(\lambda)$ воспользуемся ее аналитичностью в верхней полуплоскости. Как известно из теории функций комплексного переменного, аналитичность влечет связь между вещественной и мнимой частями функции (условия Коши-Римана).

Напомним, что для любой аналитической в области $D$ функции $g(\lambda)$ имеет место формула Коши
\[
g(\lambda)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma} \frac{g(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi,
\]
где контур интегрирования $\Gamma$ – граница области $D$ – проходится против часовой стрелки. Далее, для граничного значения $g(\lambda+0)=\lim _{\xi \rightarrow \lambda, \xi \in D, \lambda \in \Gamma} g(\xi)$ справедлива формула Сохоцкого-Племеля
\[
g(\lambda+0)=\frac{g(\lambda)}{2}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{g(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi,
\]
где интеграл понимается в смысле главного значения
\[
\int_{\Gamma} \frac{g(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\Gamma /\{|\lambda-\xi|>\varepsilon\}} \frac{g(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi .
\]

Выберем теперь в качестве $D$ верхнюю полуплоскость, а в качестве $g(\lambda)$ логарифм функции $a(\lambda)$ (мы предполагаем, что $a(\lambda)
eq 0$ всюду при $\lambda \in D$ )
\[
g(\lambda)=\ln a(\lambda), \quad D=\{\lambda \mid \operatorname{Im} \lambda>0\}, \quad \Gamma=\mathbb{R} .
\]

Поскольку в силу свойства $4 a(\lambda) \rightarrow 1$, имеем $\ln a \rightarrow 0$ при $\lambda \rightarrow \infty$ и интеграл сходится
\[
\ln a(\lambda+0)=\frac{\ln a(\lambda)}{2}-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\ln a(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi .
\]

В силу свойства логарифма комплекснозначной функции
\[
\ln a(\lambda+0)=\ln a(\lambda)=\ln |a(\lambda)|+i \arg a(\lambda),
\]
так что
\[
\ln |a(\lambda)|+i \arg a(\lambda)=\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\ln |a(\xi)|+i \arg a(\xi)}{\xi-\lambda} d \xi,
\]
или, окончательно, приравнивая чисто мнимые части,
\[
\arg a(\lambda)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln |a(\xi)|}{\xi-\lambda} d \xi=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|r(\xi)|^{2}\right)}{\xi-\lambda} d \xi .
\]

Таким образом, функция $a(\lambda)$ однозначно выражается через $|r(\lambda)|$. Вспоминая формулы (8.6), (8.5), убеждаемся, что $b(\lambda)$ также полностью выражается через $r(\lambda)$ :
\[
|b|^{2}=\frac{|r|^{2}}{1-|r|^{2}}, \quad \arg b(\lambda)=\arg r(\lambda)+\arg a(\lambda) .
\]

Используем далее вещественную редукцию, налагаемую на решение уравнения Шредингера условием вещественности потенциала $u(x)$ :
\[
\bar{\Phi}(x,-\lambda)=\Phi(x, \lambda) .
\]

В самом деле, взятие комплексного сопряжения и замена $\lambda \mapsto-\lambda$ не изменяют уравнение (7.6) и граничное условие на $\Phi$. Отсюда непосредственно вытекает такая же редукция на данные рассеяния:
\[
\bar{a}(-\lambda)=a(\lambda), \quad \bar{b}(-\lambda)=b(\lambda), \quad \bar{r}(-\lambda)=r(\lambda) .
\]

Последнее соотношение означает, что $r(\lambda)$ параметризуется, например, своей вещественной частью при $\lambda<0$ и своей мнимой частью при $\lambda>0$.