Методу обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений вида $\left.u_{t}=K u\right]$, где $K[u]$ – некоторый нелинейный функционал от $u(x, t)$, уже около тридцати лет. Своим открытием метод обязан М. Крускалу и др. [2] (1967 г.), которые показали, как решать уравнение КдФ
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}
\]
этим методом и, в частности, как найти все его солитонные решения. Понятие солитона было введено в статье Забусского и Крускала [10] в 1965 году; там же были описаны основные его свойства. Если текущая научная активность является правильной мерой значения этих двух открытий, то они представляют собой наиболее значительный прогресс как в теории линейных волн после работ Римана (1826-1866) и Коши (1789-1857) о характеристиках, так и в теории уравнений в частных производных после работы Фурье (1758-1830) по линейным уравнениям. Более того, возможности, представленные нам методом обратной задачи для получения точных аналитических решений теперь уже значительного числа физически интересных нелинейных уравнений, вызвали революцию в самом подходе к нелинейной физике. Одним из следствий является то, что теперь тщательно исследуются нелинейные задачи в тех областях, где совсем недавно только линейные теории были способны выдавать приемлемые результаты. В первой лекции мы описываем те шаги в истории солитонов, которые представляются важными либо для математической стороны предмета, либо для приложения этой математики к физически интересным проблемам.

Привлекательной чертой теории солитонов является тесная связь физики и математики. Сама теория, безусловно, родилась из наблюдения физического явления, в основе которого, как нам теперь известно, лежит односолитонное решение уравнения КдФ. Это наблюдение сделал в августе 1834 г. Дж. Скотт Расселл. Приведем его здесь, потому что оно показывает, какое завораживающее впечатление солитон сразу произвел на Расселла. Сделанное им яркое описание отчасти объясняет интерес, который тот же самый объект вызвал среди физиков и математиков примерно через 140 лет.

Скотт Расселл (1808-1882) был лучшим образцом предпринимателя викторианской эпохи. Развитый не по годам, он посещал лекции во всех трех шотландских университетах: Сент-Эндрюс, Эдинбургском и университете г. Глазго, пока не окончил последний в возрасте шестнадцати лет. Работая в Отделе естественной истории в Эдинбурге в 1832-1833 гг., он получил задание изучить пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, что могло бы способствовать более экономичному использованию пароходов. Вероятно, именно в процессе этих исследований он доложил о следующем наблюдении:
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, то есть округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые удалось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.

С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению, и пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий.

Для подробного изучения этого явления с целью точно установить его природу и управляющие им законы я придумал другие, более удобные способы его вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать истинное представление о природе этой волны. Происхождение волны первого рода…»

Как показывают последние строки приведенной цитаты, Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Он различал четыре рода таких движений, I, II, III и IV, и два типа волн, уединенные и групповые; к групповым волнам он относил колебательные волны на воде и волновые группы (род II), а также капиллярные волны (род III). Его волна трансляции относилась к
роду I и была уединенной; впоследствии Расселл назвал ее «большая уединенная волна». Волна рода II, которую он называл корпускулярной, была уединенной и по причинам, отмеченным ниже, фактически была звуковой волной.

Идея уединенной волны дошла до наших дней, и теперь так называют всякий (обычно колоколообразный) плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом форму. Любая колоколообразная функция $u(x-V t)$ есть уединенная волна, бегущая вдоль оси $x$ со скоростью $V$. Решение типа уединенной волны для уравнения КдФ вида дается формулой (она будет выведена чуть ниже)
\[
u=-\frac{2 \varkappa^{2}}{\operatorname{ch}^{2}\left[-\varkappa\left(x-4 \varkappa^{2} t\right)\right]}
\]
и распространяется со скоростью $V=4 \varkappa^{2}$. Оно отрицательно в силу выбора знака для $u$, подразумеваемого формой уравнения (1.1). Легко видеть, что масштабное преобразование $u \rightarrow-u / 6$ дает другую форму уравнений КдФ, а именно
\[
u_{t}+u u_{x}+u_{x x x}=0
\]
с решением типа уединенной волны
\[
u=\frac{12 \varkappa^{2}}{\operatorname{ch}^{2}\left(\varkappa^{\prime}\left(x-4 \varkappa^{2} t\right)\right]} .
\]

Отметим, что скорость $4 \varkappa^{2}$ связана с амплитудой $2 \varkappa^{2}$. Очевидно, что импульсы с большей амплитудой движутся быстрее. Такая связь встречается только среди нелинейных систем ${ }^{1}$.

Уравнение КдФ описывает любую слабо нелинейную, слабо диспергирующую систему плоских волн. Для уединенной волны нелинейность $u u_{x}$ точно уравновешивает дисперсию $u_{x x x}$. В теории гравитационных волн на мелкой воде это уравнение естественно возникает [6] в виде
\[
u_{t}+\frac{3}{2} \frac{V_{s}}{h} u u_{\xi}=\frac{1}{2} V_{s} h^{2}\left(\frac{\gamma}{\rho g h^{2}}-\frac{1}{3}\right) u_{\xi \xi \xi} .
\]

Независимая переменная $\xi$ – это $x-V_{s} t$, а скорость звука (линеаризованная скорость) есть $V_{s}=\sqrt{g h}$; здесь $h$ – глубина в отсутствие возмущения, $\gamma-$ поверхностное натяжение воды, $\rho$ – ее плотность; решение типа уединенной волны всюду положительно при $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right)<1 / 3$ и всюду отрицательно
${ }^{1}$ Уравнение КдФ (1.1) инвариантно относительно маситабного преобразования $u(x, t) \rightarrow$ $\eta^{2} u\left(\eta x, \eta^{3} t\right)$. Поскольку $2 / \mathrm{ch}^{2}(x-4 t)$ есть јешение уравнения (1.1), то формула (1.2) дает однопараметрическое семейство решений этого уравнения.

при $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right)<1 / 3$. При $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right) \approx 1 / 3$ для предотвращения несостоятельности теории необходимо учитывать производную более высокого порядка $u_{\xi \xi \xi \xi}$.

Более точная модель волн на воде, снимающая это ограничение, дается уравнением Буссинеска
\[
u_{t t}=V_{s}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(u+\frac{3}{2} \frac{u^{2}}{h}+\frac{h^{2}}{3} u_{x x}\right) .
\]

Оно допускает решения типа уединенной волны вида
\[
u=\frac{k}{\operatorname{ch}^{2}\left(\sqrt{3 k / h^{2}}\left(x \pm V_{s} t\right)\right)},
\]
движущейся в положительном или отрицательном направлении оси $x$. Уравнение Буссинеска превращается в уравнение КдФ с одним направлением распространения заменой $\xi=x-v t$ и $\tau=\varepsilon t$ и отбрасыванием членов порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Уравнение (1.5) описывает волны в достаточно широких каналах с неизменным поперечным сечением, и именно его положительное решение Расселл наблюдал в 1834 г.

Уединенная волна привлекла внимание Буссинеска, Рэлея и других физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза (см. [6]). В ней был приведен вывод формулы (1.4), который будет воспроизведен ниже в этой лекции. Через сто лет на конференции по теории солитонов, проводившейся в Шотландии в 1995 году, был повторен опыт возбуждения солитона в канале Форз-Клайд. На фотографии ниже изображены участники конференции, наблюдающие волну Скотта Расселла.

Выведем теперь формулу (1.2) как решение типа бегущей волны для уравнения КдФ (1.1).

Будем искать решение в виде функции одной переменной $u=u(\theta)$, полагая
\[
\theta=a(x-\omega t)+\delta, \quad a, \omega, \delta=\mathrm{const} .
\]

По правилу дифференцирования сложной функции имеем
\[
\begin{array}{c}
u_{t}=\frac{d u}{d \theta} \frac{\partial \theta}{\partial t}=(-a \omega) u^{\prime}, \\
u_{x}=a u^{\prime}(\theta), \quad u_{x x x}=a^{3} u^{\prime \prime \prime}(\theta) .
\end{array}
\]

Подставляя в уравнение (1.1), получим
\[
(1-\omega) u^{\prime}-6 u u^{\prime}+a^{2} u^{\prime \prime \prime}=0,
\]

Рис. 1. Уединенная волна в канале Форз-Клайд

интегрируя обе части которого, имеем
\[
u(1-\omega)-3 u^{2}+u^{\prime \prime} a^{2}=C .
\]

Умножив это уравнение на $2 u^{\prime}$ (интегрирующий множитель), можно понизить порядок еще на единицу:
\[
\begin{array}{l}
2 u u^{\prime}(1-\omega)-6 u^{\prime} u^{2}+2 u^{\prime} u^{\prime \prime} a^{2}=2 C u^{\prime}, \\
u^{2}(1-\omega)+2 u^{3}+u^{\prime 2} a^{2}=2 C u+D, \\
a u^{\prime}=\sqrt{-4 u^{3}-u^{2}(1-\omega)+2 C u+D} .
\end{array}
\]

Последнее уравнение допускает интегрирование в явном виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{a \cdot d u}{\sqrt{-4 u^{3}-u^{2}(1-\omega)+2 C u+D}}=d \theta, \\
a \int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{-4 u^{3}-u^{2}(1-\omega)+2 C u+D}}=\theta-\theta_{0} .
\end{array}
\]

Поскольку мы ищем решение типа уединенной волны, ее профиль должен спадать к нулю вдали от возмущения
\[
u(\theta) \rightarrow 0, \quad x \rightarrow \pm \infty .
\]

Оказывается, что граничные условия (1.7) удовлетворяются при нулевых константах интегрирования $C=D=0$, а также при $1-\omega=-a^{2}$ :
\[
\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{u \sqrt{a^{2}-4 u}}=\theta-\theta_{0} .
\]

Вычисляя интеграл и выразив $u$ через $\theta$, получим формулу (1.2) для одиночного солитона:
\[
u(\theta)=\frac{a^{2}}{4} \frac{1}{\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{\theta-\theta_{0}}{2}\right)} .
\]