Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Методу обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений вида $\left.u_{t}=K u\right]$, где $K[u]$ — некоторый нелинейный функционал от $u(x, t)$, уже около тридцати лет. Своим открытием метод обязан М. Крускалу и др. [2] (1967 г.), которые показали, как решать уравнение КдФ Привлекательной чертой теории солитонов является тесная связь физики и математики. Сама теория, безусловно, родилась из наблюдения физического явления, в основе которого, как нам теперь известно, лежит односолитонное решение уравнения КдФ. Это наблюдение сделал в августе 1834 г. Дж. Скотт Расселл. Приведем его здесь, потому что оно показывает, какое завораживающее впечатление солитон сразу произвел на Расселла. Сделанное им яркое описание отчасти объясняет интерес, который тот же самый объект вызвал среди физиков и математиков примерно через 140 лет. Скотт Расселл (1808-1882) был лучшим образцом предпринимателя викторианской эпохи. Развитый не по годам, он посещал лекции во всех трех шотландских университетах: Сент-Эндрюс, Эдинбургском и университете г. Глазго, пока не окончил последний в возрасте шестнадцати лет. Работая в Отделе естественной истории в Эдинбурге в 1832-1833 гг., он получил задание изучить пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, что могло бы способствовать более экономичному использованию пароходов. Вероятно, именно в процессе этих исследований он доложил о следующем наблюдении: С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению, и пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий. Для подробного изучения этого явления с целью точно установить его природу и управляющие им законы я придумал другие, более удобные способы его вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать истинное представление о природе этой волны. Происхождение волны первого рода…» Как показывают последние строки приведенной цитаты, Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Он различал четыре рода таких движений, I, II, III и IV, и два типа волн, уединенные и групповые; к групповым волнам он относил колебательные волны на воде и волновые группы (род II), а также капиллярные волны (род III). Его волна трансляции относилась к Идея уединенной волны дошла до наших дней, и теперь так называют всякий (обычно колоколообразный) плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом форму. Любая колоколообразная функция $u(x-V t)$ есть уединенная волна, бегущая вдоль оси $x$ со скоростью $V$. Решение типа уединенной волны для уравнения КдФ вида дается формулой (она будет выведена чуть ниже) Отметим, что скорость $4 \varkappa^{2}$ связана с амплитудой $2 \varkappa^{2}$. Очевидно, что импульсы с большей амплитудой движутся быстрее. Такая связь встречается только среди нелинейных систем ${ }^{1}$. Уравнение КдФ описывает любую слабо нелинейную, слабо диспергирующую систему плоских волн. Для уединенной волны нелинейность $u u_{x}$ точно уравновешивает дисперсию $u_{x x x}$. В теории гравитационных волн на мелкой воде это уравнение естественно возникает [6] в виде Независимая переменная $\xi$ — это $x-V_{s} t$, а скорость звука (линеаризованная скорость) есть $V_{s}=\sqrt{g h}$; здесь $h$ — глубина в отсутствие возмущения, $\gamma-$ поверхностное натяжение воды, $\rho$ — ее плотность; решение типа уединенной волны всюду положительно при $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right)<1 / 3$ и всюду отрицательно при $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right)<1 / 3$. При $\gamma /\left(\rho g h^{2}\right) \approx 1 / 3$ для предотвращения несостоятельности теории необходимо учитывать производную более высокого порядка $u_{\xi \xi \xi \xi}$. Более точная модель волн на воде, снимающая это ограничение, дается уравнением Буссинеска Оно допускает решения типа уединенной волны вида Уединенная волна привлекла внимание Буссинеска, Рэлея и других физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза (см. [6]). В ней был приведен вывод формулы (1.4), который будет воспроизведен ниже в этой лекции. Через сто лет на конференции по теории солитонов, проводившейся в Шотландии в 1995 году, был повторен опыт возбуждения солитона в канале Форз-Клайд. На фотографии ниже изображены участники конференции, наблюдающие волну Скотта Расселла. Выведем теперь формулу (1.2) как решение типа бегущей волны для уравнения КдФ (1.1). Будем искать решение в виде функции одной переменной $u=u(\theta)$, полагая По правилу дифференцирования сложной функции имеем Подставляя в уравнение (1.1), получим Рис. 1. Уединенная волна в канале Форз-Клайд интегрируя обе части которого, имеем Умножив это уравнение на $2 u^{\prime}$ (интегрирующий множитель), можно понизить порядок еще на единицу: Последнее уравнение допускает интегрирование в явном виде Поскольку мы ищем решение типа уединенной волны, ее профиль должен спадать к нулю вдали от возмущения Оказывается, что граничные условия (1.7) удовлетворяются при нулевых константах интегрирования $C=D=0$, а также при $1-\omega=-a^{2}$ : Вычисляя интеграл и выразив $u$ через $\theta$, получим формулу (1.2) для одиночного солитона:
|
1 |
Оглавление
|