1. Точки дискретного спектра совпадают с нулями коэффициента прохождения, то есть $\lambda_{n}$ – собственное значение тогда и только тогда, когда $a\left(\lambda_{n}\right)=0$.
Для доказательства воспользуемся выражением $a(\lambda)$ через вронскиан (см. Свойство 3 данных рассеяния)
\[
a(\lambda)=\frac{W(\Phi, \Psi)}{2 i \lambda},
\]
откуда при $a(\lambda)=0, \operatorname{Im} \lambda>0$ получим $W\left(\Phi\left(x, \lambda_{n}\right), \Psi\left(x, \lambda_{n}\right)\right)=0$. Это означает, что $\Psi$ и $\Phi$ линейно зависимы, то есть существует константа $b_{n}$ такая, что
\[
\Phi\left(x, \lambda_{n}\right)=b_{n} \Psi\left(x, \lambda_{n}\right) .
\]

Оценивая эти функции при больших значениях $x$, имеем
\[
\begin{array}{c}
\left|\Phi\left(x, \lambda_{n}\right)\right| \sim\left|\mathrm{e}^{-i \lambda_{n} x}\right|=\mathrm{e}^{\operatorname{Im} \lambda_{n} x}, \quad \operatorname{Im} \lambda_{n}>0, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\left|\Phi\left(x, \lambda_{n}\right)\right|=\left|b_{n}\right|\left|\Psi\left(x, \lambda_{n}\right)\right| \sim\left|b_{n}\right| \mathrm{e}^{-\operatorname{Im} \lambda_{n} x}, \quad \operatorname{Im} \lambda_{n}>0, \quad x \rightarrow+\infty,
\end{array}
\]
откуда следует, по определению, что $\Psi$ и $\Phi$ есть собственные функции, а $\lambda_{n}$ – собственное значение. Обратно, из условия убывания $\Psi\left(x, \lambda_{n}\right)$ на бесконечности по $x$ и постоянства вронскиана, следует равенство $W\left(\Phi\left(x, \lambda_{n}\right), \Psi\left(x, \lambda_{n}\right)\right)=0$, что эквивалентно $a(\lambda)=0$.
2. Теорема Марченко. Если $и(x)$ – гладкий потенциал и
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}(1+|x|)|u(x)| d x<\text { const }
\]
тогда множество собственных значений $\left\{\lambda_{n}\right\}$ не более чем конечно.
В частности, если интеграл меньше $\ln (2+\sqrt{3})$, то дискретного спектра нет, то есть а $(\lambda)$ нигде не обращается в нуль.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и выходит за рамки данного курса.
3. При вещественном $и(x)$ все собственные значения лежат на мнимой оси:
\[
\lambda_{n}=i \varkappa_{n}, \quad \varkappa_{n}>0, \quad n=1,2, \ldots, N .
\]

Для доказательства воспользуемся тем, что если $\Phi\left(x, \lambda_{n}\right)$ – собственная функция, то $\bar{\Phi}\left(x,-\bar{\lambda}_{n}\right)$ – тоже собственная функция,
\[
\bar{\Phi}_{x x}+\left(\left(-\lambda_{n}\right)^{2}+u(x)\right) \bar{\Phi}=0,
\]
поскольку $\bar{u}(x)=u(x)$. Граничные значения $\Phi\left(x, \lambda_{n}\right)$ и $\bar{\Phi}\left(x,-\bar{\lambda}_{n}\right)$ также совпадают:
\[
\begin{array}{c}
\Phi\left(x, \lambda_{n}\right) \rightarrow \mathrm{e}^{i \lambda_{n} x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\bar{\Phi}\left(x,-\bar{\lambda}_{n}\right) \rightarrow \overline{\mathrm{e}^{-i \bar{\lambda}_{n} x}}=\mathrm{e}^{i \lambda_{n} x}, \quad x \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

Таким образом, эти функции совпадают и, следовательно, совпадают их собственные значения $\lambda_{n}=-\bar{\lambda}_{n}$, а это может быть, если они лежат на мнимой оси.

4. Для различных собственных значений соответствующие собственные функции ортогональны:
\[
\left\langle\Phi_{n}, \Phi_{m}\right\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi\left(x, \lambda_{n}\right) \Phi\left(x, \lambda_{m}\right) d x=0, \quad \lambda_{n}
eq \lambda_{m} .
\]

Для доказательства определим $\Phi_{n}=\Phi\left(x, \lambda_{n}\right), \Phi_{m}=\Phi\left(x, \lambda_{m}\right), \lambda_{n}=$ $=i \varkappa_{n}, \lambda_{m}=i \varkappa_{m}$. Функции $\Phi_{n}$ и $\Phi_{m}$ удовлетворяют уравнению (10.3)
\[
\begin{array}{c}
\left(\Phi_{n}\right)_{x x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{n}=0, \\
\left(\Phi_{m}\right)_{x x}+\left(-\varkappa_{m}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m}=0 .
\end{array}
\]

Умножим (10.4) на $\Phi_{m}$ и проинтегрируем обе части на интервале $(-\infty,+\infty)$.

Из свойства 3 следует, что собственные функции на бесконечности экспоненциально убывают
\[
\Phi_{n} \rightarrow \mathrm{e}^{-\varkappa_{n}|x|}, \quad \Phi_{m} \rightarrow \mathrm{e}^{-\varkappa_{m}|x|}, \quad x \rightarrow \pm \infty,
\]
поэтому все интегралы ниже корректно определены.
Интегрируя по частям, имеем
\[
\begin{array}{c}
0=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{m}(x)\left[\left(\Phi_{n}\right)_{x x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{n}(x)\right] d x= \\
=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\Phi_{m}(x) d\left(\Phi_{n}\right)_{x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m} \Phi_{n} d x\right]= \\
=\left.\Phi_{m}\left(\Phi_{n}\right)_{x}\right|_{-\infty} ^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\left[-\left(\Phi_{n}\right)_{x}\left(\Phi_{m}\right)_{x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m} \Phi_{n}\right] d x= \\
=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\left(-\Phi_{m}\right)_{x} d\left(\Phi_{n}\right)+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m} \Phi_{n} d x\right]= \\
=\left.\left(\Phi_{m}\right)_{x} \Phi_{n}\right|_{-\infty} ^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n}\left[\left(\Phi_{m}\right)_{x x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m}\right] d x=
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n}(x)\left[\left(\Phi_{m}\right)_{x x}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+u(x)\right) \Phi_{m}+\left(-\varkappa_{n}^{2}+\varkappa_{m}^{2}\right) \Phi_{m}\right] d x= \\
=\left(-\varkappa_{n}^{2}+\varkappa_{m}^{2}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n} \Phi_{m} d x .
\end{array}
\]

Поскольку по условию $\varkappa_{n}
eq \varkappa_{m}$, последний интеграл равен нулю, что и требовалось.
5. Скалярный квадрат собственной функции равен
\[
\left\|\Phi_{n}\left(x, i \varkappa_{n}\right)\right\|^{2}=\left\langle\Phi_{n}, \Phi_{n}\right\rangle=i b_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right),
\]
где
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{n} \rightarrow \mathrm{e}^{\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\Phi_{n} \rightarrow b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Для доказательства продифференцируем уравнение (10.3) по $\lambda$ :
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial}{\partial \lambda}\left\{\left(\Phi_{n}\right)_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n}\right\}= \\
=\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n \lambda}+2 \lambda \Phi_{n} .
\end{array}
\]

Умножим последнее уравнение на $\Phi_{n}$ и проинтегрируем по $x$ на интервале $(-\infty,+\infty)$. Интегрируя по частям, имеем
\[
\begin{array}{c}
\left.-2 \lambda \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n}^{2} d x=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n}\left[\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n} \Phi_{n \lambda}\right)\right] d x= \\
\left.=\left.\Phi_{n}\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x}\right|_{-\infty} ^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\left[-\left(\Phi_{n}\right)_{x}\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n} \Phi_{n \lambda}\right)\right] d x= \\
\left.=b_{n} \varkappa_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)+\int_{\infty}^{+\infty}\left[\left(\Phi_{n}\right)_{x} d\left(\Phi_{n \lambda}\right)+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n} \Phi_{n \lambda}\right)\right] d x= \\
=b_{n} \varkappa_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)-\left.\left(\Phi_{n}\right)_{x}\left(\Phi_{n \lambda}\right)\right|_{-\infty} ^{+\infty}+
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\left.+\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\left(\Phi_{n}\right)_{x x} \Phi_{n \lambda}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n} \Phi_{n \lambda}\right)\right] d x= \\
=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{n \lambda}\left[\left(\Phi_{n}\right)_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{n}\right] d x+2 \varkappa_{n} b_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)= \\
=2 \varkappa_{n} b_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right) .
\end{array}
\]