Обратные задачи рассеяния обычно встречаются в ситуациях, когда невозможны непосредственные измерения. Типичный пример – исследование состояния стенок артерий с помощью ультразвука. Ослабленный участок стенки артерии, скажем аневризму, можно определить с помощью спектрального анализа ультразвуковых колебаний.

Другим типичным примером такой обратной задачи является анализ сейсмических данных. Он позволяет не только следить за активностью землетрясений в земной коре, но и является мощным инструментом в геофизических исследованиях детальной структуры земной мантии и ядра. Из анализа сейсмических волн, отраженных и преломленных слоями пород, через которые они проходят, может быть получена информация о плотности и других свойствах этих пород. Это пример обратной задачи рассеяния: зная приходящие и уходящие волны из известного источника, определить природу неизвестного рассеивателя волн.

В медицине, химии, физике и технике часто требуется получить детальную информацию о строении макромолекул, скажем, для молекул ДНК или для нового вида искусственного волокна. Наиболее распространен метод рентгеноструктурного анализа. По фотографии в рентгеновских лучах можно определить природу молекул, рассеивающих эти лучи. Теоретически эта обратная задача сводится к определению преобразования Фурье для полученного распределения плотности изображения в рентгеновских лучах.

В этом разделе будет показано, как при помощи некоторой математической обратной задачи можно точно решить солитонные уравнения. При этом, в отличие от прямых методов получения некоторых явных решений, изложенных в предыдущих лекциях, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволяет анализировать общие решения, например, решение задачи Коши с достаточно произвольными начальными условиями.