Проверим ограниченность $a(\lambda)$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Из интегральных уравнений для $\Phi$ и $\Theta$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
\Theta(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}+o(1), \quad \Theta_{x}=i \lambda \mathrm{e}^{i \lambda x}+O(1), \\
\Phi(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}+o(1), \quad \Phi_{x}=-i \lambda \mathrm{e}^{-i \lambda x}+O(1),
\end{array}
\]
так что
\[
a(\lambda)=-\frac{1}{2 i \lambda} W(\Phi, \Theta) \rightarrow 1, \quad \lambda \rightarrow \infty .
\]

Свойства функции $\bar{a}(\lambda)$ проверяются аналогичным образом, выполняя комплексное сопряжение в интегральных уравнениях для $\Theta$ и $\Phi$.
Свойство 4 доказано.
ПРИМЕР 1: ДЕЛЬТА-ОБРАЗНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ.
Рассмотрим пример вычисления данных рассеяния для одного специального потенциала – дельта-функции Дирака $u(x)=\delta(x)$. Это обобщенная функция, которая может быть определена так:
\[
\delta(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left\{\begin{array}{l}
0, x<-\frac{\varepsilon}{2}, \\
\frac{1}{\varepsilon},-\frac{\varepsilon}{2}<x<\frac{\varepsilon}{2}, \\
0, x>\frac{\varepsilon}{2} .
\end{array}\right.
\]

Можно представлять себе дельта-функцию как «бесконечно высокую стенку бесконечно малой толщины». В физике с ее помощью удобно записывать пространственную плотность различных величин (массы, заряда, интенсивность источника тепла, силу и т.п.), сосредоточенных в точке $x_{0}$. Так, плотность точечной массы $m$, находящейся в точке $a$, записывается в виде $m \delta(x-a)$. В теории обобщенных функций доказывается, что для любой непрерывной функции $f(x)$
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) d x=f(a) .
\]

Это равенство можно принять и за определение дельта-функции, оно эквивалентно формуле (8.1).

Воспользуемся свойством (8.2) для вычисления данных рассеяния. Подставляя $u(x)=\delta(x)$ в интегральное уравнение (7.7), получим
\[
\Phi(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}-\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0, \\
\frac{\sin \lambda x}{\lambda} \Phi(\lambda, 0), & x>0 .
\end{array}\right.
\]

Переходя здесь к пределу при $x \rightarrow 0$, немедленно получаем $\Phi(\lambda, 0)=1$, откуда имеем окончательно
\[
\Phi(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}-\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0 \\
\frac{\sin \lambda x}{\lambda}, & x>0 .
\end{array}\right.
\]

Отсюда при любом $x>0$ получаем
\[
\Phi(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}-\frac{\mathrm{e}^{i \lambda x}-\mathrm{e}^{-i \lambda x}}{2 i \lambda}=\left(1+\frac{1}{2 i \lambda}\right) \mathrm{e}^{-i \lambda x}-\frac{1}{2 i \lambda} \mathrm{e}^{i \lambda x},
\]
так что по определению ( $\Phi \rightarrow a(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty$ )
\[
a(\lambda)=1+\frac{1}{2 i \lambda}, \quad b(\lambda)=-\frac{1}{2 i \lambda} .
\]

В заключение данного примера отметим, что данные рассеяния можно вычислить в явном виде для любого «ступенчатого» потенциала вида
\[
u(x)=\left\{\begin{array}{l}
0, x<x_{0}, \\
u_{1}, x_{0}<x<x_{1}, \\
\dddot{u_{k}}, x_{k-1}<x<x_{k}, \\
\ddot{0}, x_{n}<x .
\end{array}\right.
\]

В самом деле, на каждом интервале $x_{k-1}<x<x_{k}$ мы имеем для функции $\Phi$ уравнение (7.6) с постоянными коэффициентами $\lambda^{2}+u_{k}$, так что решение находится в виде линейной комбинации экспонент $\exp \left(i \sqrt{\lambda^{2}+u_{k}} x\right)$ и $\exp \left(-i \sqrt{\lambda^{2}+u_{k}} x\right)$. Коэффициенты при этих экспонентах подбираются из условий согласования $\Phi$ и ее производной на границе соседних интервалов:
\[
\Phi\left(\lambda, x_{k}-0\right)=\Phi\left(\lambda, x_{k}+0\right), \quad \Phi_{x}\left(\lambda, x_{k}-0\right)=\Phi_{x}\left(\lambda, x_{k}+0\right) .
\]

В итоге полученные формулы для $a$ и $b$ будут представлять собой композицию экспонент с рациональными по $\lambda$ коэффициентами. К сожалению, они достаточно громоздки и мы их здесь не приводим.

ПРИМЕР 2: ДАННЫЕ РАССЕЯНИЯ СОЛИТОННОГО ПОТЕНЦИАЛА.
Вычислим величины $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ для односолитонного потенциала
\[
u(x)=\frac{2 a^{2}}{\operatorname{ch}^{2}(a x)} .
\]

Решение уравнения Штурма-Лиувилля
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+\frac{2 a^{2}}{\operatorname{ch}^{2}(a x)}\right) \Phi=0
\]
будем искать в виде
\[
\Phi(x, \lambda)=\frac{C-\operatorname{th}(a x)}{C+1} \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad C=\text { const. }
\]

Выбор такой функции диктуется стремлением получить члены вида композиции экспонент $\mathrm{e}^{a x}$ и $\mathrm{e}^{-a x}$ в уравнении, а также необходимостью добиться нужной нормировки на бесконечности
\[
\Phi \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{-i \lambda x}, & x \rightarrow-\infty, \\
\frac{C-1}{C+1} \mathrm{e}^{-i \lambda x}, & x \rightarrow+\infty .
\end{array}\right.
\]

Дифференцируя функцию (8.4), имеем
\[
\Phi_{x x}=\left[\frac{2 a^{2} \operatorname{sh}(a x)}{\operatorname{ch}^{3}(a x)}-\frac{2 i \lambda a}{\operatorname{ch}^{2}(a x)}\right] \mathrm{e}^{-i \lambda x}-\lambda^{2} \Phi .
\]

Подстановка в уравнение немедленно дает $C=\frac{i \lambda}{a}$, откуда по определению данных рассеяния имеем
\[
a(\lambda)=\frac{C-1}{C+1}=\frac{i \lambda-a}{i \lambda+a}, \quad b(\lambda) \equiv 0 .
\]