В последней выкладке прошлой лекции при доказательстве свойства 5 мы воспользовались выражениями для пределов собственных функций:
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{n} \rightarrow b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow+\infty, \\
\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x} \rightarrow \varkappa_{n} a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right) \mathrm{e}^{\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow+\infty, \\
\left(\Phi_{n}\right)_{\lambda}=\left.\frac{\partial}{\partial \lambda}\left(a(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x}\right)\right|_{\lambda=i \varkappa_{n}}= \\
=\left.\left\{\left(a^{\prime}(\lambda)-i x a(\lambda)\right) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+\left(b^{\prime}(\lambda)+i x b(\lambda)\right) \mathrm{e}^{i \lambda x}\right\}\right|_{\lambda=i \varkappa_{n}}= \\
=a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right) \mathrm{e}^{\varkappa_{n} x}+O\left(x \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}\right), \quad x \rightarrow+\infty, \\
\Phi_{n \lambda} \rightarrow a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right) \mathrm{e}^{\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow+\infty, \\
\left(\Phi_{n \lambda}\right)_{x} \rightarrow \varkappa_{n} \mathrm{e}^{\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\left(\Phi_{n}\right)_{x} \rightarrow-\varkappa_{n} b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}, \quad x \rightarrow+\infty, \\
\frac{d}{d \lambda}\left(\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi\right)=\left(\Phi_{\lambda}\right)_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi_{\lambda}+2 \lambda \Phi_{n} .
\end{array}
\]

Свойство 5 доказано.
6. Собственные значения $\varkappa_{n}$ не зависят от $t$, а для коэффициентов $b_{n}$ справедлива формула
\[
b_{n}(t)=b_{n} \mathrm{e}^{-8 \varkappa_{n}^{3} t}, \quad b_{n}=\text { const. }
\]

Доказательство независимости $\varkappa_{n}$ от времени вытекает непосредственно из свойства 1 , поскольку $a(\lambda)$ не зависит от $t$.

Вспомним, что при $t>0$ собственные функции имеют следующие пределы:
\[
\begin{array}{c}
\Phi(x, t, \lambda) \rightarrow \mathrm{e}^{-i \lambda x-4 i \lambda^{3} t}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\Psi(x, t, \lambda)=b_{n}(t) \Phi(x, t, \lambda) \rightarrow \mathrm{e}^{i \lambda x+4 i \lambda^{3} t}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Положим $\lambda=i \varkappa_{n}$, тогда в силу (11.2) имеем
\[
\Phi\left(x, t, i \varkappa_{n}\right) \rightarrow \text { const } \cdot \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x-4 \varkappa_{n}^{3} t}, \quad x \rightarrow+\infty .
\]

С другой стороны, поскольку $\Phi\left(x, t, i \varkappa_{n}\right)=b_{n}(t) \Psi\left(x, t, i \varkappa_{n}\right)$, получим из (11.3)
\[
\Phi\left(x, t, i \varkappa_{n}\right) \rightarrow b_{n}(t) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x+4 \varkappa_{n}^{3} t}, \quad x \rightarrow+\infty .
\]

Сравнивая две последних асимптотики, приходим к утверждению свойства 6.