Стандартной моделью теории поля в одномерном пространствевремени является уравнение Клейна-Гордона
\[
u_{t t}-u_{x x}=\phi^{\prime}(u),
\]

где $\phi=\phi(u)$ – некоторая гладкая функция, описывающая потенциальную энергию поля. Уравнение (13.1) выводится из лагранжиана (закона сохранения полной энергии поля $u$ )
\[
L=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{u_{t}^{2}}{2}+\frac{u_{x}^{2}}{2}+\phi(u)\right) d x
\]
путем стандартной вариации функционала $L$
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta u_{t}}-\frac{\delta L}{\delta u}=0
\]

Здесь плотность лагранжиана $L=T+U$ составляют плотности кинетической и потенциальной энергии поля
\[
T=\frac{1}{2}\left(u_{t}^{2}+u_{x}^{2}\right), \quad U=\phi(u),
\]

а вариационные производные вычисляются в предположении стационарного состояния поля $u$ на бесконечности
\[
u_{t}, u_{x} \rightarrow 0, \quad \phi(u) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad x \rightarrow \pm \infty .
\]

В случае квадратичного потенциала $\phi(u)=\frac{1}{2} m^{2} u^{2}$ уравнение (13.1) становится линейным
\[
u_{t t}-u_{x x}=m^{2} u
\]

и отвечает свободному полю. Можно показать, что оно не имеет нетривиальных (отличных от $u=0$ ) решений с конечной энергией, то есть таких, что интеграл (13.2) конечен и выполняются граничные условия (13.3).

В случае существенно нелинейных потенциалов $\phi(u)$ стационарные на бесконечности решения с конечной энергией могут существовать. Они имеют конкретный физический смысл в различных моделях и отвечают в конечном счете частицам или квазичастицам, несущим основную энергию того или иного физического поля. Так, в модели сверхпроводящего контакта Джозефсона говорят о флюксонах, а в теории ферромагнетизма – о доме́нах и доме́нных стенках.

Впервые подобного рода нетривиальные конфигурации поля были указаны Т. Скирмом [14] в 1958 году, который предложил модель с периодическим потенциалом $\phi(u)=1-\cos u$. Соответствующее уравнение (13.1) получило название уравнения синус-Гордон
\[
u_{t t}-u_{x x}=\sin u \text {. }
\]

Будем искать его лоренц-инвариантные решения, то есть решения, сохраняющие свой вид при замене $x \mapsto x-v t$. Ниже, в Лекции 14, будет показано, что такие решения с граничными условиями (13.3) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
u(x, t)=4 \operatorname{arctg} \mathrm{e}^{\gamma(x-v t)+\delta}, \quad \gamma^{2}=\frac{1}{1-v^{2}}, \\
u_{x}(x, t)=\frac{2 \gamma}{\operatorname{ch}(\gamma(x-v t)+\delta)}, \quad \sin \left(\frac{u}{2}\right)=\frac{\gamma}{\operatorname{ch}(\gamma(x-v t)+\delta)} .
\end{array}
\]

На рис. 13.1 показан вид этих решений в зависимости от $x$. Они называются кинками ${ }^{1}$ или 1-солитонами, поскольку описывают «перескок» полевой переменной $u$ из одного стационарного состояния $u=0$ в другое, соседнее с данным $u=2 \pi$ (при положительном $\gamma$ ). Состояния $u=$ $=0 \bmod (2 \pi)$ имеют нулевую энергию $L=0$, поэтому физики их называют вакуумными решениями.

Нетрудно из явной формулы (13.5) подсчитать величину энергии кинка. В результате получится $L=8 \gamma$, что доказывает конечость энергии при $v^{2}
eq 1$. Заметим, что значение $v^{2}=1$ отвечает «скорости света» в модели Клейна-Гордона, то есть предельной скорости распространения волн в уравнении (13.1). Локализованность перехода от $u=0$ к $u=2 \pi$ в силу формул (13.6) позволяет говорить о кинках как об «элементарных частицах» в модели Скирма.

Другим свидетельством частицеподобного поведения солитонов (13.5) являются их взаимодействия. В 1962 г. Перринг и Скирм нашли в результате
${ }^{1}$ От английского слова «kink» – изгиб, петля

Три модели SG
численного эксперимента аналитическое решение, представляющее собой лобовое столкновение двух кинков, движущихся навстречу друг другу с равными скоростями. Этот результат предварил работу Забуски и Крускала, обсуждавшуюся в Лекции 2. Здесь так же как в случае столкновения уединенных волн уравнения КдФ не происходит взаимного уничтожения или расплывания волн, но после взаимодействия солитоны восстанавливают исходную форму.
Рис. 5. Столкновение кинка и антикинка в уравнении синус-Гордон
Подробнее процесс рассеяния солитонов уравнения синус-Гордон будет рассмотрен в Лекции 15.