Рассмотрим поверхность постоянной отрицательной кривизны ( $K=$ $=-1 / a^{2}$ ) с внутренними координатами, определенными при помощи асимптотических линий. При соответствующем выборе масштаба первая фундаментальная квадратичная форма может быть записана в виде
\[
I=a^{2}\left(d u_{1}^{2}+2 \cos \varphi d u_{1} d u_{2}+d u_{2}^{2}\right),
\]

где $\varphi$ — угол между асимптотическими линиями. В этих координатах уравнение Гаусса превращается в уравнение SG
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial u_{1} \partial u_{2}}=\sin \varphi
\]

Уравнение Гаусса является условием совместности, которому должен удовлетворять произвольный тензор $h_{\alpha \beta}$, для того чтобы он мог быть тензором внешней кривизны поверхности. Таким образом, каждое решение этого уравнения определяет поверхность постоянной отрицательной кривизны $\left(-1 / a^{2}\right)$ с первой фундаментальной формой, определяемой формулой (14.1). Такие поверхности называются псевдосферическими. Подробности о классификации поверхностей можно найти в учебнике [8].