Кроме рассмотренного выше метода Хироты для построения явных решений солитонных уравнений, имеется еще один прямой метод, связанный со специальными нелинейными преобразованиями, отображающими класс решений исходного уравнения в себя. Эти преобразования, как правило, содержат дополнительные произвольные постоянные, так что на каждом шаге получаются существенно новые решения. При этом можно начинать с какого-нибудь тривиального, например, нулевого решения и получить за $N$ шагов $N$-солитонное решение.
В качестве примера рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза
\[
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

Введем новую неизвестную функцию $v=v(x, t)$, такую что
\[
u=v_{x}+v^{2}+\lambda,
\]
где $\lambda$ – некоторая произвольная постоянная. Подставляя (5.2) в уравнение (5.1), получим
\[
\begin{aligned}
u_{t} & =\left(\frac{\partial}{\partial x}+2 v\right) v_{t}, \\
-6 u u_{x}+u_{x x x} & =6\left(v_{x}+v^{2}+\lambda\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+2 v\right) v_{x}= \\
& =\left(\frac{\partial}{\partial x}+2 v\right)\left(v_{x}\left(v^{2}+\lambda\right)\right)+6 v_{x} v_{x x},
\end{aligned}
\]
откуда для $v$ получается модифицированное уравнение КдФ
\[
v_{t}-6\left(v^{2}+\lambda\right) v_{x}+v_{x x x}=0 .
\]

Заметим, что если $v$ – решение уравнения (5.3), то ( $-v)$ – тоже его решение. Следовательно, функция
\[
u_{1}=-v_{x}+v^{2}+\lambda
\]
будет удовлетворять уравнению КдФ (5.1). При этом $u_{1}$, вообще говоря, не совпадет с исходным решением $u$.

Для того чтобы исключить промежуточную функцию $v$ из преобразования $u \mapsto u_{1}$, сделаем замену
\[
u=2 w_{x}, \quad u_{1}=2 w_{1 x} .
\]
Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{u-u_{1}}{2}=v_{x}=\left(w-w_{1}\right)_{x}, \quad v=w-w_{1}, \\
v^{2}+\lambda=\left(w+w_{1}\right)_{x},
\end{array}
\]
так что для функций $w$ и $w_{1}$ получается пара уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left(w+w_{1}\right)_{x}=\left(w-w_{1}\right)^{2}+\lambda, \\
\left(w-w_{1}\right)_{t}-6\left(w+w_{1}\right)_{x}\left(w-w_{1}\right)_{x}+\left(w-w_{1}\right)_{x x x}=0 .
\end{array}\right.
\]

Формулы (5.5) носят название преобразований Беклунда.
Для иллюстрации применения этих преобразований положим
\[
u=w=0
\]
и вычислим $u_{1}$. Система (5.5) преобразуется к виду
\[
\left\{\begin{array}{l}
w_{1 x}=\lambda+w_{1}^{2} \\
-w_{1 t}+6\left(w_{1 x}\right)^{2}-\left(w_{1}\right)_{x x x}=0 .
\end{array}\right.
\]

Выполняя замену
\[
w_{t}=-\frac{f_{x}}{f}, \quad w_{t x}=-\frac{f_{x x}}{f}+\frac{f_{x}^{2}}{f},
\]
получим для $f$ уравнение
\[
-\frac{f_{x x}}{f}+\frac{f_{x}^{2}}{f^{2}}=\lambda+\frac{f_{x}^{2}}{f^{2}}
\]
или $f_{x x}+\lambda f=0$.
Его общее решение имеет вид
\[
f=\mathrm{e}^{a(x+c)}+\mathrm{e}^{-a(x+c)}, \quad \lambda=-a^{2}, \quad c=c(t) .
\]

Тогда для $w_{1}$ получаем
\[
\begin{array}{c}
w_{1}=-\frac{f_{x}}{f}=-\frac{a \mathrm{e}^{a(x+c)}-a \mathrm{e}^{-a(x+c)}}{\mathrm{e}^{a(x+c)}+\mathrm{e}^{-a(x+c)}}=-a \operatorname{th}(a(x+c))=-a \operatorname{th} \theta, \\
w_{1 t}=-\frac{a^{2} c_{t}}{\operatorname{ch}^{2} \theta \operatorname{th} \theta}, \quad w_{1 x}=-\frac{a^{2}}{\operatorname{ch}^{2} \theta}, \\
w_{1 x x x}=-\frac{4 a^{4}}{\operatorname{ch}^{2} \theta}+\frac{6 a^{4}}{\operatorname{ch}^{4} \theta} .
\end{array}
\]

Второе уравнение (5.5) дает зависимость константы $c$ от $t$ :
\[
\frac{a^{2} c_{t}}{\operatorname{ch}^{2} \theta}+6 \frac{a^{4}}{\operatorname{ch}^{4} \theta}+\frac{4 a^{4}}{\operatorname{ch}^{2} \theta}-\frac{6 a^{4}}{\operatorname{ch}^{4} \theta}=0
\]
откуда
\[
c_{t}+4 a^{2}=0, \quad c(t)=-4 a^{2} t+\delta .
\]

Тем самым окончательно получается односолитонное решение
\[
u_{1}=2 w_{1 x}=-\frac{2 a^{2}}{\operatorname{ch}^{2}\left(a\left(x-4 a^{2}+\delta\right)\right)} .
\]

Заметим, что в процессе интегрирования мы получили здесь две произвольных постоянных $\lambda=-a^{2}$ и $\delta$. Ясно, что эти константы возникнут после применения преобразования Беклунда к произвольному (а не только к нулевому, как выше) решению. Можно показать, что последовательное применение указанной процедуры к вновь полученному решению
\[
0 \mapsto u_{1} \mapsto u_{2} \mapsto \ldots \mapsto u_{n} \mapsto \ldots
\]
даст на $N$-м шаге $N$-солитонное решение, содержащее $2 N$ произвольных постоянных.

Преобразования Беклунда имеют место для всех солитонных уравнений. Проиллюстрируем их применение на примере цепочки Тоды
\[
\ddot{Q}_{n}=\mathrm{e}^{Q_{n-1}-Q_{n}}-\mathrm{e}^{Q_{n}-Q_{n+1}},
\]
где $\dot{Q}=\frac{d}{d t} Q$. Ее решение $Q_{n}=Q_{n}\left(\frac{t}{t}\right), n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots$, однозначно задается начальными условиями
\[
Q_{n}(0)=Q_{n}^{0}, \quad \dot{Q}_{n}(0)=Q_{n}^{1} .
\]

Возьмем некоторое решение $Q_{n}(t)$ и рассмотрим следующие преобразования $Q_{n} \mapsto q_{n}$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{Q}_{n}=\mathrm{e}^{Q_{n}-q_{n}}+\mathrm{e}^{q_{n-1}-Q_{n}}-\alpha, \\
\dot{q}_{n}=\mathrm{e}^{Q_{n}-q_{n}}+\mathrm{e}^{q_{n}-Q_{n+1}}-\alpha,
\end{array}\right.
\]
где $\alpha=$ const.
Покажем, что $q_{n}(t)$ также удовлетворяет цепочке Тоды (5.6). Дифференцируя по $t$ второе уравнение (5.7), получим
\[
\begin{aligned}
\ddot{q}_{n} & =\left(\dot{Q}_{n}-\dot{q}_{n}\right) \mathrm{e}^{Q_{n}-q_{n}}+\left(\dot{q}_{n}-\dot{Q}_{n+1}\right) \mathrm{e}^{q_{n}-Q_{n+1}}= \\
& =\left(\mathrm{e}^{q_{n-1}-Q_{n}}-\mathrm{e}^{q_{n}-Q_{n+1}}\right) \mathrm{e}^{Q_{n}-q_{n}}+\left(-\mathrm{e}^{Q_{n+1}-q_{n+1}}+\mathrm{e}^{Q_{n}-q_{n}}\right) \mathrm{e}^{q_{n}-Q_{n+1}}= \\
& =\mathrm{e}^{q_{n-1}-q_{n}}-\mathrm{e}^{q_{n}-q_{n+1}} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, уравнения (5.7) задают преобразование Беклунда для цепочки Тоды. Подобно разобранному выше случаю уравнения КдФ, применим преобразование (5.7) к нулевому решению
\[
Q_{n}=0, \quad \dot{Q}_{n}=0 \quad \text { для любого } n .
\]
Имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{-q_{n}}+\mathrm{e}^{q_{n-1}}-\alpha=0, \\
\dot{q}_{n}=\mathrm{e}^{-q_{-n}}+\mathrm{e}^{q_{n}}-\alpha .
\end{array}\right.
\]

Решая второе уравнение, получим
\[
\frac{d}{d t} \mathrm{e}^{q_{n}}=\mathrm{e}^{2 q_{i}}-\alpha \mathrm{e}^{q_{n}}+1,
\]
или, после замены $u=\mathrm{e}^{q_{n}}$
\[
\dot{u}=u^{2}-\alpha u+1, \quad d u=\left(u^{2}-\alpha u+1\right) d t .
\]

Разделяя переменные, получим табличный интеграл
\[
\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{u^{2}-\alpha u+1}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4}}} \operatorname{arctg} \frac{u-\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4}}}=t-t_{n},
\]
где $t_{n}$ – постоянная интегрирования.
Для построения солитонного решения следует положить $\alpha \geqslant 2$. Удобна следующая параметризация:
\[
\alpha=2 \operatorname{ch} \varkappa, \quad \beta=-\operatorname{sh} \varkappa .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4}}=i \operatorname{sh} \varkappa=-i \beta, \quad u-\frac{\alpha}{2}=\beta \operatorname{th}\left(\beta\left(t-t_{n}\right)\right), \\
\mathrm{e}^{q_{n}}=\operatorname{ch} \varkappa+\beta \operatorname{th}\left(\beta\left(t-\hbar_{n}\right)\right)=\frac{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n}+\varkappa\right)}{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n}\right)}
\end{array}
\]
и из второго уравнения (5.8) получим уравнение для $t_{n}$ :
\[
\frac{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n}\right)}{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n}+\varkappa\right)}+\frac{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n-1}+\varkappa\right)}{\operatorname{ch}\left(\beta t-\beta t_{n-1}\right)}-\alpha=0 .
\]

Его решение может быть найдено в виде $\beta t_{n}=\varkappa(n+1)$, что легко проверить:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa(n+1))}{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa(n+1)+\varkappa)}+\frac{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa n+\varkappa)}{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa n)}-\alpha= \\
=\frac{2 \operatorname{ch}(\varkappa) \operatorname{ch}(\beta t-\varkappa n)}{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa n)}-\alpha \equiv 0 .
\end{array}
\]

Окончательно односолитонное решение цепочки Тоды имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{e}^{q_{n}}=\frac{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa n)}{\operatorname{ch}(\beta t-\varkappa(n+1))}, \\
\alpha=2 \operatorname{ch}(\varkappa), \quad \beta=-\operatorname{sh}(\varkappa), \quad \varkappa-\text { некоторая константа. }
\end{array}
\]

Особенно симметрично выглядит преобразование Беклунда для уравнения синус-Гордон
\[
u_{x t}=\sin u \text {. }
\]

Функции $u$ и $v$ удовлетворяют системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{u_{x}-v_{x}}{2}=-\lambda \sin \frac{u+v}{2}, \\
\frac{u_{t}+v_{t}}{2}=-\frac{1}{\lambda} \sin \frac{u-v}{2}
\end{array}\right.
\]
с произвольным параметром $\lambda$.
Система (5.10) задает преобразование Беклунда для уравнения (5.9), то есть функция $v=v(x, t)$ является решением уравнения синус-Гордон, если выполнены уравнения (5.9) и (5.10).

Для проверки этого факта продифференцируем первое уравнение по $t$, а второе – по $x$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{u_{x t}-v_{x t}}{2}=-\lambda \cos \frac{u+v}{2}\left(\frac{u_{t}+v_{t}}{2}\right)=\cos \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2}, \\
\frac{u_{t x}+v_{t x}}{2}=-\frac{1}{\lambda} \cos \frac{u-v}{2}\left(\frac{u_{x}-v_{x}}{2}\right)=\cos \frac{u-v}{2} \sin \frac{u+v}{2} .
\end{array}
\]

Вычтем первое равенство из второго и, пользуясь известной формулой из тригонометрии о синусе суммы двух углов, получим
\[
v_{x t}=\sin v .
\]

Так же как и выше, полагая $u=0$ в системе (5.10), можно получить односолитонное решение $v$. Более подробно свойства солитонов уравнения (5.9) будут изучены в Лекции 13.

Отметим в заключение, что процедура построения частных решений уравнения синус-Гордон с помощью преобразования (5.10) была исторически первой для нелинейных уравнений. Скандинавский математик A. Bäcklund, предложивший ее в 1880 году в своей работе по дифференциальной геометрии (см., например, монографию [7]), получил с ее помощью первые примеры поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны в $\mathbb{R}^{3}$. Интерпретацию уравнения синус-Гордон в этом контексте мы также отложим до Лекции 13.