При выводе уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (9.13)
$$K(x,y)+F(x+y)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi )F(\xi +y)d\xi =0$$
было существенно использовано условие $a(\lambda )eq0,\mathrm{Im}\lambda >0$. Это условие необходимо, чтобы сдвинуть контур интегрирования по $\lambda$ для интеграла от левой части равенства
$$\frac{\mathrm{\Phi }(x,\lambda )}{a(\lambda )}=\overline{\mathrm{\Psi }}(x,\lambda )+r(\lambda )\mathrm{\Psi }(x,\lambda ).$$

В силу аналитичности функции $\frac{\mathrm{\Phi }(x,\lambda )}{a(\lambda )}$ можно сдвинуть контур интегрирования на $\mathrm{Im}(\lambda )$ вверх, а затем $\mathrm{Im}(\lambda )$ устремить в бесконечность. Если $a(\lambda )$ имеет конечное число нулей в точках $i{\lambda }_n,{\lambda }_n>0,n=1,2,\dots ,N$, то справедливо разложение Тейлора
$$a(\lambda )=(\lambda -i{\lambda }_n)a^{\prime }\left(i{\lambda }_n\right)+O{(\lambda -i{\lambda }_n)}^2,\lambda \to i{\lambda }_n.$$

Предполагая $a^{\prime }\left(i{\lambda }_n\right)eq0$, имеем по теореме о вычетах
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Phi }(x,\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda y}}{a(\lambda )}d\lambda =2\pi i\sum _{n=1}^N{\mathrm{Res}}_{\lambda =i{\lambda }_n}\left(\frac{\mathrm{\Phi }(x,\lambda ){\mathrm{e}}^{-i\lambda y}}{a(\lambda )}\right)=2\pi i\sum _{n=1}^N\frac{\mathrm{\Phi }(x,i{\lambda }_n){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}y}}{a^{\prime }\left(i{\lambda }_n\right)}.$$

В дальнейшем мы воспользуемся этой формулой для обобщения уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

Введем важное определение дискретного спектра уравнения Шредингера
$${\mathrm{\Phi }}_{xx}+({\lambda }^2+u(x))\mathrm{\Phi }=0.$$

Оказывается, что в классе быстроубывающих потенциалов
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+|x|)|u(x)|dx<\mathrm{\infty }$$
уравнение (10.3), кроме знакомых нам осциллирующих решений
$$\overline{\mathrm{\Phi }}\to \{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{i\lambda x},\\ \overline{a}(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda x}+\overline{b}(\lambda ){\mathrm{e}}^{-i\lambda x},x\to +\mathrm{\infty },\end{array}$$
имеет экспоненциально убывающие по $x$ решения $\mathrm{\Phi }(x,\lambda )$ при некоторых (комплексных) значениях $\lambda$. Такие решения соответствуют разрешенным состояниям квантовомеханической системы, описываемой уравнением (10.3), которое, как уже отмечалось выше, является одномерным стационарным уравнением Шредингера.
Точное определение дискретного спектра состоит в следующем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение $\lambda \in \mathbb{C}$ принадлежит дискретному спектру уравнения (10.3) с потенциалом $u(x)$, если $\mathrm{\Phi }(x,\lambda )\in L_2(\mathbb{R})$, то есть
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{\Phi }(x,\lambda ){|}^{2}dx<\text{ const. }$$

Эти значения $\lambda$ называются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями дифференциального оператора Шредингера $d^2/d{x}^2+u(x)$.