При выводе уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (9.13)
\[
K(x, y)+F(x+y)+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) F(\xi+y) d \xi=0
\]
было существенно использовано условие $a(\lambda)
eq 0, \operatorname{Im} \lambda>0$. Это условие необходимо, чтобы сдвинуть контур интегрирования по $\lambda$ для интеграла от левой части равенства
\[
\frac{\Phi(x, \lambda)}{a(\lambda)}=\bar{\Psi}(x, \lambda)+r(\lambda) \Psi(x, \lambda) .
\]

В силу аналитичности функции $\frac{\Phi(x, \lambda)}{a(\lambda)}$ можно сдвинуть контур интегрирования на $\operatorname{Im}(\lambda)$ вверх, а затем $\operatorname{Im}(\lambda)$ устремить в бесконечность. Если $a(\lambda)$ имеет конечное число нулей в точках $i \lambda_{n}, \lambda_{n}>0, n=1,2, \ldots, N$, то справедливо разложение Тейлора
\[
a(\lambda)=\left(\lambda-i \lambda_{n}\right) a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)+O\left(\lambda-i \lambda_{n}\right)^{2}, \quad \lambda \rightarrow i \lambda_{n} .
\]

Предполагая $a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)
eq 0$, имеем по теореме о вычетах
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Phi(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y}}{a(\lambda)} d \lambda=2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \operatorname{Res}_{\lambda=i \lambda_{n}}\left(\frac{\Phi(x, \lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda y}}{a(\lambda)}\right)=2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{\Phi\left(x, i \lambda_{n}\right) \mathrm{e}^{-\lambda_{n} y}}{a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)} .
\]

В дальнейшем мы воспользуемся этой формулой для обобщения уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

Введем важное определение дискретного спектра уравнения Шредингера
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi=0 .
\]

Оказывается, что в классе быстроубывающих потенциалов
\[
\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)|u(x)| d x<\infty
\]
уравнение (10.3), кроме знакомых нам осциллирующих решений
\[
\bar{\Phi} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{i \lambda x}, \\
\bar{a}(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x}+\bar{b}(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty,
\end{array}\right.
\]
имеет экспоненциально убывающие по $x$ решения $\Phi(x, \lambda)$ при некоторых (комплексных) значениях $\lambda$. Такие решения соответствуют разрешенным состояниям квантовомеханической системы, описываемой уравнением (10.3), которое, как уже отмечалось выше, является одномерным стационарным уравнением Шредингера.
Точное определение дискретного спектра состоит в следующем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение $\lambda \in \mathbb{C}$ принадлежит дискретному спектру уравнения (10.3) с потенциалом $u(x)$, если $\Phi(x, \lambda) \in L_{2}(\mathbb{R})$, то есть
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|\Phi(x, \lambda)|^{2} d x<\text { const. }
\]

Эти значения $\lambda$ называются собственными значениями, а соответствующие решения – собственными функциями дифференциального оператора Шредингера $d^{2} / d x^{2}+u(x)$.