Полагая $N=1$, имеем из системы (3.6)
\[
f^{(1)}=\mathrm{e}^{\theta_{1}}, \quad f=1+\mathrm{e}^{\theta_{1}},
\]
откуда, возвращаясь к $u$ посредством замены (3.3), получим формулу для одиночного солитона
\[
\begin{array}{l}
u=\frac{\partial}{\partial x} \frac{f_{x}}{f}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a_{1} \mathrm{e}^{\theta_{1}}}{1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a_{1}}{\mathrm{e}^{-\theta_{1}}+1}\right)= \\
=-a_{1}{ }^{2} \frac{\mathrm{e}^{-\theta_{1}}}{\left(\mathrm{e}^{-\theta_{1}}+1\right)^{2}}=-\frac{a_{1}^{2}}{4} \frac{1}{\left(\frac{\mathrm{e}^{\theta_{1} / 2}+\mathrm{e}^{-\theta_{1} / 2}}{2}\right)^{2}}=-\frac{a_{1}^{2}}{4} \frac{1}{\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)} .
\end{array}
\]

Для $N=2$ можно взять
\[
f^{(1)}=\mathrm{e}^{\theta_{1}}+\mathrm{e}^{\theta_{2}},
\]
тогда для $f^{(1)}$ нужно решить линейное уравнение с правой частью
\[
f_{x t}{ }^{(2)}+f_{x x x x}^{(2)}=3 a_{1} a_{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2} \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}} .
\]

Решение находится в виде
\[
f^{(2)}=A \cdot \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}},
\]
где константа $A$ должна удовлетворять соотношению
\[
A\left(\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(-a_{1}{ }^{3}-a_{2}{ }^{3}\right)+\left(a_{1}+a_{2}\right)^{4}\right) \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}=3 a_{1} a_{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2} \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}},
\]
то есть
\[
A=\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\right)^{2} .
\]
Таким образом
\[
f=1+f^{(1)}+f^{(2)}=1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}+\mathrm{e}^{\theta_{2}}+\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\right)^{2} \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}},
\]
откуда получается двухсолитонное решение уравнения КдФ
\[
\begin{aligned}
u(x, t) & =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \left(1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}+\mathrm{e}^{\theta_{2}}+A \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}\right)= \\
& =\frac{\partial}{\partial x} \frac{a_{1} \mathrm{e}^{\theta_{1}}+a_{2} \mathrm{e}^{\theta_{2}}+A\left(a_{1}+a_{2}\right) \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}}{1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}+\mathrm{e}^{\theta_{2}}+A \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}} .
\end{aligned}
\]

Продолжая указанным образом, легко найти все остальные $f^{(i)}, i=3$, $4, \ldots, N$. Соответствующее решение $u$ уравнения КдФ, отвечающее сумме $N$ членов ряда (3.5), называется $N$-солитонным решением.

Покажем в случае $N=2$, что формула (4.2) действительно описывает процесс взаимодействия двух одиночных солитонов. Предположим для определенности, что $a_{1}>a_{2}>0$, и проследим за эволюцией первого солитона, то есть будем считать, что $x$ и $t$ связаны соотношением $\theta_{1} \sim 0$, или $x \sim a_{1} t+\delta_{1} / a_{1}$. В пределе $|t| \gg 1$ имеем
\[
\theta_{2}=a_{2}\left[\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right) t-\frac{\delta_{1}}{a_{1}}\right]+\delta_{2},
\]
так что
\[
\theta_{2} \rightarrow \pm \infty, \quad t \rightarrow \pm \infty .
\]

Таким образом, $\mathrm{e}^{\theta_{2}} \rightarrow 0$, если $t \rightarrow-\infty$, и тогда формула (4.2) дает
\[
u(x, t) \sim \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \left(1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}\right)=\frac{a_{1}^{2}}{4 \operatorname{ch}^{2} \frac{\theta_{1}}{2}} .
\]

Аналогично, на прямой в плоскости $(x, t)$, где $\theta_{2} \sim 0$, будет наблюдаться второй одиночный солитон с амплитудой $a_{2}^{2}$. Рассмотрим теперь конечное состояние после взаимодействия, полагая $t \rightarrow+\infty$. Находясь по-прежнему в окрестности траектории первого солитона $\theta_{1} \sim 0$, имеем $\theta_{2} \rightarrow+\infty$, так что
\[
\begin{array}{l}
u(x, t)=\frac{\partial}{\partial x} \frac{a_{1} \mathrm{e}^{\theta_{1}}+a_{2} \mathrm{e}^{\theta_{2}}+A\left(a_{1}+a_{2}\right) \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}}{1+\mathrm{e}^{\theta_{1}}+\mathrm{e}^{\theta_{2}}+A \mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}}= \\
=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\mathrm{e}^{-\theta_{1}} a_{2}+A\left(a_{1}+a_{2}\right)}{\mathrm{e}^{-\theta_{1}}+A}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{a_{2} \mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}+\left(a_{1}+a_{2}\right)}{\mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}+1}= \\
=\frac{-a_{2} a_{1} \mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}+a_{1}\left(a_{1}+a_{2}\right) \mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}}{\left(\mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}+1\right)^{2}}=\frac{a_{1}^{2} \mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}}{\left(\mathrm{e}^{-\theta_{1}-\Delta_{1}}+1\right)^{2}}=
\end{array}
\]

\[
=\frac{a_{1}^{2}}{4\left(\frac{\exp \left(\frac{-\theta_{1}+\Delta_{1}}{2}\right)+\exp \left(\frac{\theta_{1}+\Delta_{1}}{2}\right)}{2}\right)^{2}}=\frac{a_{1}^{2}}{4 \operatorname{ch}^{2}\left(\frac{\theta_{1}+\Delta_{1}}{2}\right)},
\]
где $\Delta_{1}=-\ln A$.
Рис. 4. Сдвиги фаз при взаимодействии двух солитонов
Мы видим, что первый солитон претерпел фазовый сдвиг
\[
\delta x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{a_{1}}=\frac{1}{a_{1}} \ln \left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\right)^{2} .
\]

Проводя аналогичные рассуждения относительно второго солитона, найдем, что его фазовый сдвиг равен
\[
\delta x_{2}=\frac{-\ln A}{a_{2}}=-\frac{1}{a_{2}} \ln \left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\right)^{2} .
\]

С физической точки зрения картина взаимодействия напоминает столкновение тяжелых упругих шаров. Первый солитон большей амплитуды движется с большей скоростью $v_{1}=a_{1}^{2}>v_{2}=a_{2}^{2}$ и догоняет второй солитон, взаимодействует с ним и обгоняет, получив сдвиг (4.3) вперед, поскольку $\delta x_{1}<0$. Аналогично, второй солитон после взаимодействия сдвигается назад на величину (4.4), как это изображено на рисунке. Заметим, что амплитуду солитона можно трактовать как его массу, поскольку из гидродинамической интерпретации уравнения КдФ (см. Лекцию 1) следует, что $u(x, t)$ есть высота волны в точке $x$, так что суммарное количество жидкости под волной равно
\[
m=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a^{2}}{4 \operatorname{ch}^{2} \frac{\theta}{2}} d x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a d \theta}{4 \operatorname{ch}^{2} \frac{\theta}{2}}=a .
\]

Из формул (4.3) и (4.4) следует, что
\[
a_{1} \delta x_{1}+a_{2} \delta x_{2}=m_{1} \delta x_{1}+m_{2} \delta x_{2}=0,
\]
что можно трактовать как сохранение центра масс в системе двух солитонов или о сохранении их суммарного импульса.

В самом деле, из классической механики известно, что неизменность по времени центра масс в системе взаимодействующих частиц следует из закона сохранения импульса. Последний всегда имеет место в консервативной системе $N$ частиц, то есть в системе, не испытывающей действия внешних сил:
\[
m_{1} \vec{v}_{1}+m_{1} \vec{v}_{1}+\ldots+m_{N} \vec{v}_{N}=0 .
\]

Интегрируя по $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ и считая, что скорости $\vec{v}_{i}=d \vec{x}_{i} / d t$ и координаты частиц $\vec{x}_{i}(t)$ ограничены, получим закон сохранения центра масс
\[
m_{1} \delta \vec{x}_{1}+m_{1} \delta \vec{x}_{1}+\ldots+m_{N} \delta \vec{x}_{N}+=0 .
\]

Можно показать, что равенство (4.5) имеет место и для $N$ взаимодействующих солитонов. Этот факт подтверждает трактовку солитонов как упругих частиц.

Ниже (см. Лекцию 12) будет выведен закон сохранения импульса для решений уравнения КдФ $u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0$, более того, будет показано, что его решения подчиняются бесконечному набору законов сохранения, часть из которых имеет четкий физический смысл.