Дадим очень краткий обзор формул (без вывода), позволяющих проинтегрировать уравнение синус-Гордон методом обратной задачи рассеяния. Начнем с пары Лакса, которая здесь имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\Psi_{x}=\left(\begin{array}{cc}
i \lambda & \frac{i u_{x}}{2} \\
\frac{i u_{x}}{2}-i \lambda
\end{array}\right) \Psi, \\
\Psi_{t}=\frac{1}{4 i \lambda}\left(\begin{array}{c}
\cos u-i \sin u \\
i \sin u-\cos u
\end{array}\right) \Psi .
\end{array}
\]
Действуя так же, как в Лекции 7, нетрудно убедиться, что условие коммутации уравнений (15.1) эквивалентно уравнению синус-Гордон на функцию $u=u(x, t)$
\[
u_{x t}=\sin u .
\]
Функциональный класс для потенциала $u$ слегка отличается от случая уравнения КдФ
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left|u_{x}\right| d x<\infty, \quad u \rightarrow \pi k \quad \text { при } \quad x \rightarrow \pm \infty, \quad k-\text { целое. }
\]
Ключевую роль в интегрировании (15.2) играет первое уравнение пары Лакса. В данном случае оно не сводится к простому скалярному уравнению второго порядка, а может быть записано в виде системы на пару скалярных функций $\Phi_{1}=\Psi_{21}$ и $\Phi_{2}=\Psi_{22}$
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left(\Phi_{1}\right)_{x}=i \lambda \Phi_{1}+\frac{i u_{x}}{2} \Phi_{2}, \\
\left(\Phi_{2}\right)_{x}=\frac{i u_{x}}{2} \Phi_{1}-i \lambda \Phi_{2}
\end{array}\right.
\]
с условиями рассеяния
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{l}
\Phi_{1} \\
\Phi_{2}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
0 \\
\mathrm{e}^{-i \lambda x}
\end{array}\right), \quad x \rightarrow-\infty, \\
\left(\begin{array}{l}
\Phi_{1} \\
\Phi_{2}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
b(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda x} \\
a(\lambda, t) \mathrm{e}^{-i \lambda x}
\end{array}\right), \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]
Эти условия вытекают из вида решений системы (15.4) с нулевым потенциалом $u=0$ (так же как в Лекции 7)
\[
\begin{array}{l}
\left(\Phi_{1}\right)_{x}=i \lambda \Phi_{1} \quad \Longrightarrow \quad \Phi_{1}=C_{1} \mathrm{e}^{i \lambda x}, \\
\left(\Phi_{2}\right)_{x}=-i \lambda \Phi_{2} \quad \Longrightarrow \quad \Phi_{2}=C_{2} \mathrm{e}^{-i \lambda x} .
\end{array}
\]
Перечислим основные свойства данных рассеяния $a$ и $b$ :
1. $|a|^{2}+|b|^{2}=1, \quad \lambda \in \mathbb{R}$.
2. $a(\lambda, t)=a(\lambda), b(\lambda, t)=b(\lambda) \mathrm{e}^{-\frac{i t}{2 \lambda}}$.
3. $a(\lambda)$ аналитична в области $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0, \bar{a}(\lambda)$ аналитична в области $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$.
4. Существует не более чем конечное число точек дискретного спектра $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$, лежащих в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda>0$ и таких, что $a\left(\lambda_{n}\right)=0$ при $n=1, \ldots, N$.
5. Для каждой точки дискретного спектра выполняются соотношения
\[
\Phi_{1}\left(\lambda_{j}, x, t\right)=b_{j}(t) \Phi_{2}\left(\lambda_{j}, x, t\right),
\]
где $b_{j}(t)=b_{j} \mathrm{e}^{-\frac{i t}{2 \lambda_{j}}}, \quad b_{j}=$ const.
Уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко для восстановления потенциала по данным рассеяния выводится так же, как в Лекции 9, однако здесь оно превращается в систему двух интегральных уравнений. Коэффициент отражения и ядро уравнения ГЛМ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
r(\lambda, t)=\frac{b(\lambda, t)}{a(\lambda)} ; \\
\beta_{j}=\frac{b_{j}}{i a^{\prime}\left(\lambda_{j}\right)} ;
\end{array}
\]
\[
F(z, t)=\sum_{j=1}^{N} \beta_{j} \mathrm{e}^{\frac{i t}{2 \lambda_{j}}}+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda z} d \lambda,
\]
а система уравнений ГЛМ выглядит так:
\[
\left\{\begin{array}{l}
K_{1}(x, y, t)+\int_{x}^{+\infty} K_{2}(x, \xi, t) F(\xi+y, t) d \xi=0, \\
K_{2}(x, y, t)+\int_{x}^{+\infty} K_{1}(x, \xi, t) \bar{F}(\xi+y, t) d \xi=\bar{F}(x+y, t) .
\end{array}\right.
\]
Решение уравнения синус-Гордон находится по формуле обращения
\[
u(x, t)=-2 K_{2}(x, x, t) .
\]
Подобно уравнению КдФ, $N$-солитонные решения здесь представляют собой безотражательные потенциалы, то есть отвечают условию $b(\lambda, t) \equiv 0$ или $r(\lambda, t) \equiv 0$ в ядре уравнения ГЛМ. В этом случае, так же как в Лекции 11, система (15.5) сводится к линейной системе алгебраических уравнений с матрицей
\[
\begin{array}{c}
A(x, t)=\left\{A_{k j}(x, t)\right\}, \quad k, j=1,2, \ldots, N, \\
A_{k j}(x, t)=\frac{\beta_{j}}{\lambda_{k}+\lambda_{j}} \exp \left(i \lambda_{j} x-\frac{i t}{\lambda_{j}}\right) .
\end{array}
\]
Тогда $N$-солитонное решение уравнения синус-Гордон находится по формуле
\[
u(x, t)=-\frac{i}{2} \ln \frac{\operatorname{det}(I+A(x, t))}{\operatorname{det}(I-A(x, t))},
\]
где $I$ – единичная $N \times N$-матрица, а матрица $A(x, t)$ определена формулами (15.6).
