Как отмечалось в Лекции 13, уравнение синус-Гордон имеет две эвивалентные формы. Одна из них, связанная с (15.2) заменой $\xi=t+x, \tau=t-x$
\[
u_{\tau \tau}-u_{\xi \xi}+\sin u=0,
\]

более удобна для изучения движения и взаимодействия солитонов. В самом деле, кинк и антикинк (15.10) в координатах $\xi, \tau$ выглядят так:
\[
u(\xi, \tau)=4 \operatorname{arctg} \exp \left(-\epsilon \frac{\xi-\xi_{0}-v \tau}{2 \sqrt{1-v^{2}}}\right),
\]
где
\[
v=\frac{\lambda^{2}-1}{\lambda^{2}+1}, \quad \xi_{0}=\frac{2\left(x_{0} \lambda^{2}+t_{0}\right)}{\lambda^{2}+1}, \quad \epsilon=\left\{\begin{array}{c}
1, \lambda>0, \\
-1, \lambda<0 .
\end{array}\right.
\]

Здесь величину $v$ естественно интерпретировать как скорость солитона, а $\xi_{0}$ – как его фазовый сдвиг.

Общее двухсолитонное решение (16.3) в переменных $\xi, \tau$ переписывается следующим образом:
\[
=4 \operatorname{arctg}\left\{\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \frac{\exp \left(-\frac{\xi-v_{1} \tau-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v_{1}^{2}}}\right)-\exp \left(-\frac{\xi-v_{2} \tau-\xi_{2}}{2 \sqrt{1-v_{2}^{2}}}\right)}{1+\exp \left(-\frac{\xi-v_{1} \tau-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v_{1}^{2}}}-\frac{\xi-v_{2} \tau-\xi_{2}}{2 \sqrt{1-v_{2}^{2}}}\right)}\right\} \text {, }
\]
где $v_{i}=\frac{\lambda_{i}^{2}-1}{\lambda_{i}^{2}+1}$. Непосредственный анализ этого выражения (ср. с Лекцией 4) показывает, что (16.7) описывает при $\tau \rightarrow \pm \infty$ пару невзаимодействующих солитонов, движущихся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$. Действительно, полагая, например, $v_{2}>v_{1}$, рассмотрим асимптотику (16.7) на прямой $\xi=$ $=v_{1} \tau+\xi^{\prime}$ при $\tau \rightarrow-\infty$ как функцию $\xi^{\prime}$ :
\[
u\left(v_{1} \tau+\xi^{\prime}, \tau\right) \rightarrow 4 \operatorname{arctg}\left\{\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \exp \left(-\frac{\xi^{\prime}-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v^{2}}}\right)\right\} .
\]

Ясно, что в зависимости от знака $\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}$ это выражение описывает кинк или антикинк (16.6) с координатой центра
\[
\xi_{0}^{(1)}(-\infty)=\xi_{1}+2 \sqrt{1-v^{2}} \ln \frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} .
\]

Рассматривая, далее, асимптотику (16.7) на той же прямой при $\tau \rightarrow+\infty$, находим, используя формулу $\operatorname{tg} \phi=\operatorname{tg}^{-1}(\pi / 2-\phi)$ :
\[
\begin{array}{c}
u\left(v_{1} \tau+\xi^{\prime}, \tau\right) \rightarrow-4 \operatorname{arctg}\left\{\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \exp \left(\frac{\xi^{\prime}-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v^{2}}}\right)\right\}= \\
=4\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{arctg}\left\{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}} \cdot \exp \left(-\frac{\xi^{\prime}-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v^{2}}}\right)\right\}\right)= \\
=2 \pi+4 \operatorname{arctg}\left\{\left(\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}}\right)^{2} \cdot \frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \exp \left(\frac{\xi^{\prime}-\xi_{1}}{2 \sqrt{1-v^{2}}}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Тем самым это снова солитон (16.6) с тем же топологическим зарядом, что и на $-\infty$ по $\tau$; его координата есть
\[
\xi_{0}^{(1)}(+\infty)=\xi_{0}^{(1)}(-\infty)+2 \sqrt{1-v_{1}^{2}} \ln \left(\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}}\right)^{2} .
\]

Отсюда видно, что подобно солитонам в уравнении КдФ (см. Лекцию 4), при столкновении со вторым солитоном первый испытывает сдвиг на величину
\[
\Delta \xi_{0}^{(1)}=\xi_{0}^{(1)}(+\infty)-\xi_{0}^{(1)}(-\infty)=2 \sqrt{1-v_{1}^{2}} \ln \left(\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}}\right)^{2}<0 .
\]

Совершенно аналогично для второго (быстрого) солитона
\[
\Delta \xi_{0}^{(2)}=2 \sqrt{1-v_{2}^{2}} \ln \left(\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}}\right)^{2}>0 .
\]

Мы видим, что быстрый солитон дополнительно сдвигается вперед, а медленный – назад. При этом рассеяние солитонов совершенно не зависит от их зарядов. Это подтверждает концепцию солитонов как квазичастиц, поскольку здесь, так же как в уравнении КдФ, для них выполняются законы сохранения суммарной массы, импульса и энергии. Можно показать, анализируя формулу для $N$-солитонного решения, что при многосолитонном рассеянии полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при столкновении со всеми остальными по отдельности, то есть многочастичные эффекты отсутствуют.