Как отмечалось в Лекции 13, уравнение синус-Гордон имеет две эвивалентные формы. Одна из них, связанная с (15.2) заменой $\xi =t+x,\tau =t-x$
$$u_{\tau \tau }-u_{\xi \xi }+\sin u=0,$$

более удобна для изучения движения и взаимодействия солитонов. В самом деле, кинк и антикинк (15.10) в координатах $\xi ,\tau$ выглядят так:
$$u(\xi ,\tau )=4\mathrm{arctg}\exp (-ϵ\frac{\xi -{\xi }_0-v\tau }{2\sqrt{1-v^2}}),$$
где
$$v=\frac{{\lambda }^2-1}{{\lambda }^2+1},{\xi }_0=\frac{2(x_0{\lambda }^2+t_0)}{{\lambda }^2+1},ϵ=\{\begin{array}{c}1,\lambda >0,\\ -1,\lambda <0.\end{array}$$

Здесь величину $v$ естественно интерпретировать как скорость солитона, а ${\xi }_0$ — как его фазовый сдвиг.

Общее двухсолитонное решение (16.3) в переменных $\xi ,\tau$ переписывается следующим образом:
$$=4\mathrm{arctg}\{\frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\cdot \frac{\exp (-\frac{\xi -v_1\tau -{\xi }_1}{2\sqrt{1-v_1^2}})-\exp (-\frac{\xi -v_2\tau -{\xi }_2}{2\sqrt{1-v_2^2}})}{1+\exp (-\frac{\xi -v_1\tau -{\xi }_1}{2\sqrt{1-v_1^2}}-\frac{\xi -v_2\tau -{\xi }_2}{2\sqrt{1-v_2^2}})}\}\text{, }$$
где $v_i=\frac{{\lambda }_i^2-1}{{\lambda }_i^2+1}$. Непосредственный анализ этого выражения (ср. с Лекцией 4) показывает, что (16.7) описывает при $\tau \to \pm \mathrm{\infty }$ пару невзаимодействующих солитонов, движущихся со скоростями $v_1$ и $v_2$. Действительно, полагая, например, $v_2>v_1$, рассмотрим асимптотику (16.7) на прямой $\xi =$ $=v_1\tau +{\xi }^{\prime }$ при $\tau \to -\mathrm{\infty }$ как функцию ${\xi }^{\prime }$ :
$$u(v_1\tau +{\xi }^{\prime },\tau )\to 4\mathrm{arctg}\{\frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\cdot \exp (-\frac{{\xi }^{\prime }-{\xi }_1}{2\sqrt{1-v^2}})\}.$$

Ясно, что в зависимости от знака $\frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}$ это выражение описывает кинк или антикинк (16.6) с координатой центра
$${\xi }_0^{(1)}(-\mathrm{\infty })={\xi }_1+2\sqrt{1-v^2}\ln \frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}.$$

Рассматривая, далее, асимптотику (16.7) на той же прямой при $\tau \to +\mathrm{\infty }$, находим, используя формулу $\mathrm{tg}\varphi ={\mathrm{tg}}^{-1}(\pi /2-\varphi )$ :
$$\begin{array}{c}u(v_1\tau +{\xi }^{\prime },\tau )\to -4\mathrm{arctg}\{\frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\cdot \exp \left(\frac{{\xi }^{\prime }-{\xi }_1}{2\sqrt{1-v^2}}\right)\}=\\ =4(\frac{\pi }{2}+\mathrm{arctg}\{\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_2+{\lambda }_1}\cdot \exp (-\frac{{\xi }^{\prime }-{\xi }_1}{2\sqrt{1-v^2}})\})=\\ =2\pi +4\mathrm{arctg}\{{\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_2+{\lambda }_1}\right)}^2\cdot \frac{{\lambda }_2+{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\cdot \exp \left(\frac{{\xi }^{\prime }-{\xi }_1}{2\sqrt{1-v^2}}\right)\}.\end{array}$$

Тем самым это снова солитон (16.6) с тем же топологическим зарядом, что и на $-\mathrm{\infty }$ по $\tau$; его координата есть
$${\xi }_0^{(1)}(+\mathrm{\infty })={\xi }_0^{(1)}(-\mathrm{\infty })+2\sqrt{1-v_1^2}\ln {\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_2+{\lambda }_1}\right)}^2.$$

Отсюда видно, что подобно солитонам в уравнении КдФ (см. Лекцию 4), при столкновении со вторым солитоном первый испытывает сдвиг на величину
$$\mathrm{\Delta }{\xi }_0^{(1)}={\xi }_0^{(1)}(+\mathrm{\infty })-{\xi }_0^{(1)}(-\mathrm{\infty })=2\sqrt{1-v_1^2}\ln {\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_2+{\lambda }_1}\right)}^2<0.$$

Совершенно аналогично для второго (быстрого) солитона
$$\mathrm{\Delta }{\xi }_0^{(2)}=2\sqrt{1-v_2^2}\ln {\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_2+{\lambda }_1}\right)}^2>0.$$

Мы видим, что быстрый солитон дополнительно сдвигается вперед, а медленный — назад. При этом рассеяние солитонов совершенно не зависит от их зарядов. Это подтверждает концепцию солитонов как квазичастиц, поскольку здесь, так же как в уравнении КдФ, для них выполняются законы сохранения суммарной массы, импульса и энергии. Можно показать, анализируя формулу для $N$-солитонного решения, что при многосолитонном рассеянии полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при столкновении со всеми остальными по отдельности, то есть многочастичные эффекты отсутствуют.