Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Данные рассеяния позволяют вывести другое важное свойство нелинейных солитонных уравнений — их законы сохранения. Рассмотрим их построение на примере уравнения КдФ Пусть $u=u(x, t)$ — его решение, а $P\left(u, u_{x}, \ldots, u_{x}^{(n)}\right)$ — некоторый полином от $u$ и его производных по $x$. называется полиномиальным законом сохранения $с$ плотностью $P$ для уравнения (12.3), если он не зависит от времени, то есть $\frac{d I}{d t}=0$ в силу уравнения (12.3). Ниже мы ограничимся классом убывающих на бесконечности по $x$ решений, так чтобы оставаться в рамках метода обратной задачи рассеяния. Рассмотрим уравнение Шредингера интегрирующее уравнение КдФ (12.3). Данные рассеяния для него определяются соотношениями и обладают свойствами, перечисленными в Лекции 8, главным из которых сейчас будет независимость $a(\lambda)$ от времени $t$. Как мы видели выше, в данных рассеяния заключена вся информация о решении $u(x, t)$, иными словами, $a$ и $b$ являются функционалами от $u$. Выяснение этой функциональной зависимости для $a(\lambda)$ как раз и приводит к конструкции законов сохранения. В силу аналитичности $\Phi$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеем при $x \rightarrow+\infty \Phi(x, t, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x} \rightarrow$ $a(\lambda)$, так что Выясним теперь вид новой неизвестной функции $\chi$. Дифференцируя (12.4), имеем что дает для $\chi$ уравнение Риккати: Для произвольной функции $u$ уравнение Риккати не решается в явном виде (так же как и уравнение Штурма-Лиувилля), но дает удобный способ построения $\chi$ при больших значениях $\lambda$, а именно: будем искать при $\lambda \rightarrow \infty$ его решение в виде степенного ряда Для его производной и его квадрата имеем соответственно Подставляя ряд (12.6) в уравнение Риккати и приравнивая выражения при одинаковых степенях $(2 i \lambda)^{-n}, n=1,2, \ldots$, получим: Несколько первых коэффициентов $\chi_{k}$ имеют вид ТЕОРЕМА. Все коэффициенты $\chi_{n}$ разложения (12.6) являются плотностями полиномиальных законов сохранения для уравнения $К \partial Ф(12.3)$. ДоКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что все $\chi_{n}$ есть полиномы по своим аргументам, следует непосредственно из их построения. Подставим ряд (12.6) в равенство (12.5), возьмем логарифм и производную по $t$ от обеих частей Степенной ряд тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его слагаемые равны нулю. Следовательно, величины не зависят от $t$ и являются, по определению, законами сохранения. Теорема доказана. Заметим, что не все плотности законов сохранения содержат нетривиальную информацию о решении $u(x, t)$. Часть из них, как это видно из явных формул (12.7), являются полными производными, так что интегралы от них всегда тождественно равны константе, например, $I_{2}$ : Оказывается, что тривиальными в этом смысле являются все законы сохранения с четными номерами. Чтобы в этом убедиться, выделим вещественные и чисто мнимые части $\chi=\chi_{R}+i \chi_{I}$ и положим $\lambda \in R$, тогда из уравнения Риккати Из последнего равенства так что все плотности законов сохранения, входящие в $\chi_{R}$, тривиальны. Из формулы (12.6) видно, что это как раз слагаемые ряда с четными номерами. В заключение отметим физический смысл первых трех законов сохранения. Как уже вычислялось в Лекции 4 на примере 1-солитонного решения, величина имеет смысл полной массы солитона. В общем случае $I_{1}$ представляет собой закон сохранения массы. Рассуждая аналогично, на примере 1-солитонного решения можно показать, что $I_{3}$ выражает полный импульс, а $I_{5}$ — полную энергию солитона, рассматриваемого как механическая частица (об этой интерпретации см. Лекцию 4). Отсюда и в общем случае естественно называть законом сохранения импульса, а
|
1 |
Оглавление
|