Данные рассеяния позволяют вывести другое важное свойство нелинейных солитонных уравнений – их законы сохранения. Рассмотрим их построение на примере уравнения КдФ
\[
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

Пусть $u=u(x, t)$ – его решение, а $P\left(u, u_{x}, \ldots, u_{x}^{(n)}\right)$ – некоторый полином от $u$ и его производных по $x$.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интеграл
\[
I=\int_{-\infty}^{\infty} P\left(u, u_{x}, \ldots, u_{x}^{(n)}\right) d x
\]

называется полиномиальным законом сохранения $с$ плотностью $P$ для уравнения (12.3), если он не зависит от времени, то есть $\frac{d I}{d t}=0$ в силу уравнения (12.3).

Ниже мы ограничимся классом убывающих на бесконечности по $x$ решений, так чтобы оставаться в рамках метода обратной задачи рассеяния. Рассмотрим уравнение Шредингера
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x, t)\right) \Phi=0,
\]

интегрирующее уравнение КдФ (12.3). Данные рассеяния для него определяются соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\Phi \longrightarrow \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\Phi \longrightarrow a(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty
\end{array}
\]

и обладают свойствами, перечисленными в Лекции 8, главным из которых сейчас будет независимость $a(\lambda)$ от времени $t$. Как мы видели выше, в данных рассеяния заключена вся информация о решении $u(x, t)$, иными словами, $a$ и $b$ являются функционалами от $u$. Выяснение этой функциональной зависимости для $a(\lambda)$ как раз и приводит к конструкции законов сохранения.
Будем искать решение уравнения Шредингера в виде
\[
\Phi=\mathrm{e}^{-i \lambda x} \exp \int_{-\infty}^{x} \chi(\lambda, t, \xi) d \xi .
\]

В силу аналитичности $\Phi$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеем при $x \rightarrow+\infty \Phi(x, t, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x} \rightarrow$ $a(\lambda)$, так что
\[
a(\lambda)=\exp \int_{-\infty}^{+\infty} \chi(\lambda, t, \xi) d \xi .
\]

Выясним теперь вид новой неизвестной функции $\chi$. Дифференцируя (12.4), имеем
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{x}=(-i \lambda+\chi(\lambda, t, x)) \Phi \\
\Phi_{x x}=\chi_{x} \Phi+(-i \lambda+\chi)(i \lambda+\chi) \Phi=\left(\chi_{x}-\lambda^{2}-2 i \lambda \chi+\chi^{2}\right) \Phi,
\end{array}
\]

что дает для $\chi$ уравнение Риккати:
\[
\chi_{x}-2 i \lambda \chi+\chi^{2}+u=0 .
\]

Для произвольной функции $u$ уравнение Риккати не решается в явном виде (так же как и уравнение Штурма-Лиувилля), но дает удобный способ построения $\chi$ при больших значениях $\lambda$, а именно: будем искать при $\lambda \rightarrow \infty$ его решение в виде степенного ряда
\[
\chi(\lambda, t, x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_{n}(x, t)}{(2 i \lambda)^{n}}=\frac{\chi_{1}}{2 i \lambda}+\frac{\chi_{2}}{(2 i \lambda)^{2}}+\frac{\chi_{3}}{(2 i \lambda)^{3}}+\ldots
\]

Для его производной и его квадрата имеем соответственно
\[
\chi_{x}=\frac{\chi_{1}^{\prime}}{2 i \lambda}+\frac{\chi_{2}^{\prime}}{(2 i \lambda)^{2}}+\frac{\chi_{3}^{\prime}}{(2 i \lambda)^{3}}+\ldots ; \quad \chi^{2}=\frac{\chi_{1}^{2}}{(2 i \lambda)^{2}}+\frac{2 \chi_{1} \chi_{2}}{(2 i \lambda)^{3}}+\ldots .
\]

Подставляя ряд (12.6) в уравнение Риккати и приравнивая выражения при одинаковых степенях $(2 i \lambda)^{-n}, n=1,2, \ldots$, получим:
\[
\begin{array}{l}
(2 i \lambda)^{0}: \quad-\chi_{1}+u=0, \\
(2 i \lambda)^{-1}: \quad\left(\chi_{1}\right)_{x}-\chi_{2}=0, \\
(2 i \lambda)^{-2}: \quad\left(\chi_{2}\right)_{x}-\chi_{3}+\chi_{1}^{2}=0, \\
(2 i \lambda)^{-k}: \cdots \quad \chi_{k+1}=\left(\chi_{k}\right)_{x}+\sum_{i+j=k+1} \chi_{i} \chi_{j} . \\
\text {… } \\
\end{array}
\]

Несколько первых коэффициентов $\chi_{k}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\chi_{1}=u, \quad \chi_{2}=\left(\chi_{1}\right)_{x}=u_{x}, \\
\chi_{3}=u_{x x}+u^{2}, \quad \chi_{4}=-u_{x x x}+2\left(u^{2}\right)_{x}, \\
\chi_{5}=-u_{x x x x}+\left(u^{2}\right)_{x x}+u_{x}^{2}+2 u_{x x} u-2 u^{3} .
\end{array}
\]

ТЕОРЕМА. Все коэффициенты $\chi_{n}$ разложения (12.6)
\[
\chi_{n}=P_{n}\left(u, u_{x}, u_{x x}, \ldots, u_{x}^{(n)}\right)
\]

являются плотностями полиномиальных законов сохранения для уравнения $К \partial Ф(12.3)$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что все $\chi_{n}$ есть полиномы по своим аргументам, следует непосредственно из их построения.

Подставим ряд (12.6) в равенство (12.5), возьмем логарифм и производную по $t$ от обеих частей
\[
0=\frac{d}{d t} \ln (a(\lambda))=\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_{n}(\xi, t)}{(2 i \lambda)^{n}} d \xi=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 i \lambda)^{n}}\left(\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{n}(\xi, t) d \xi\right) .
\]

Степенной ряд тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его слагаемые равны нулю. Следовательно, величины
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{n}(\xi, t) d \xi
\]

не зависят от $t$ и являются, по определению, законами сохранения. Теорема доказана.

Заметим, что не все плотности законов сохранения содержат нетривиальную информацию о решении $u(x, t)$. Часть из них, как это видно из явных формул (12.7), являются полными производными, так что интегралы от них всегда тождественно равны константе, например, $I_{2}$ :
\[
I_{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{2}(\xi) d \xi=\int_{-\infty}^{+\infty} u_{\xi}(\xi, t) d \xi=u(+\infty, t)-u(-\infty, t) \equiv 0 .
\]

Оказывается, что тривиальными в этом смысле являются все законы сохранения с четными номерами.

Чтобы в этом убедиться, выделим вещественные и чисто мнимые части $\chi=\chi_{R}+i \chi_{I}$ и положим $\lambda \in R$, тогда из уравнения Риккати
\[
\left\{\begin{array}{l}
\left(\chi_{R}\right)_{x}+2 \lambda \chi_{I}+\chi_{R}^{2}-\chi_{I}^{2}+u=0 \\
\left(\chi_{I}\right)_{x}-2 \lambda \chi_{R}+2 \chi_{R} \chi_{I}=0 .
\end{array}\right.
\]

Из последнего равенства
\[
\chi_{R}=\frac{\left(\chi_{I}\right)_{x}}{2\left(\lambda-\chi_{I}\right)}=\frac{1}{2} \frac{\left(\chi_{I}-\lambda\right)_{x}}{\lambda-\chi_{I}}=-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} \ln \left(\chi_{I}-\lambda\right),
\]

так что все плотности законов сохранения, входящие в $\chi_{R}$, тривиальны.
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{R} d x \equiv \mathrm{const}
\]

Из формулы (12.6) видно, что это как раз слагаемые ряда с четными номерами.

В заключение отметим физический смысл первых трех законов сохранения.

Как уже вычислялось в Лекции 4 на примере 1-солитонного решения, величина
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{+\infty} u(x, t) d x
\]

имеет смысл полной массы солитона. В общем случае $I_{1}$ представляет собой закон сохранения массы.

Рассуждая аналогично, на примере 1-солитонного решения можно показать, что $I_{3}$ выражает полный импульс, а $I_{5}$ – полную энергию солитона, рассматриваемого как механическая частица (об этой интерпретации см. Лекцию 4). Отсюда и в общем случае
\[
I_{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(u_{x x}+u^{2}\right) d x
\]

естественно называть законом сохранения импульса, а
\[
I_{5}=\int_{-\infty}^{-\infty} \chi_{5} d x
\]
– законом сохранения энергии.