Самое раннее из известных приложений уравнения синус-Гордон связано с описанием двумерных поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Важная работа А. Беклунда о преобразованиях поверхностей в $\mathbb{R}^{n}$, написанная в 1880 году, была посвящена этому приложению. Приводимое здесь обсуждение проблемы, которое предполагает некоторое знакомство с дифференциальной геометрией, яв.тяется сокращенным вариантом более подробного обсуждения проблемы из работы Л. Эйзенхарта (см. [7], с.371).

Рассмотрим гладкую двумерную поверхность в трехмерном еклидовом пространстве. Пусть $r_{i}, i=1,2,3$ обозначают ортогональные декартовы

координаты в трехмерном пространстве, а $x, y$ – координаты на плоскости. Три уравнения вида
\[
r_{i}=r_{i}(x, y), \quad i=1,2,3,
\]

определяют поверхность. Пусть $\vec{r}=\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ – радиус-вектор точки $P$, лежащей на поверхности. Если точку $P$ переместить вдоль поверхности на бесконечно малую величину, приращение радиус-вектора определяется формулой
\[
d \vec{r}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} d x+\frac{\partial \vec{r}}{\partial y} d y .
\]

Модуль приращения определяется первой фундаментальной квадратичной формой
\[
I=(d \vec{r}, d \vec{r})=I_{1} d x^{2}+I_{2} d x d y+I_{3} d y^{2},
\]
где
\[
I_{1}=\left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial x}\right), \quad I_{2}=\left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial y}\right), \quad I_{3}=\left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial y}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial y}\right) .
\]

Матрица
\[
g=\left\{g_{\alpha \beta}\right\}=\left(\begin{array}{ll}
I_{1} & I_{2} \\
I_{2} & I_{3}
\end{array}\right)
\]

называется метрическим тензором поверхности. Он служит, например, для измерения длины кривой $\vec{l}=\vec{l}(x(t), y(t)), t \in[a, b]$ на поверхности:
\[
\text { Длина кривой } \vec{l}=\int_{a}^{b} \sqrt{g_{11} \dot{x}^{2}+2 g_{12} \dot{x} \dot{y}+g_{22} \dot{y}^{2}} d t \text {. }
\]

Аналогично пусть $\vec{n}$ – единичный вектор, нормальный к поверхности в точке $P$. При бесконечно малом перемещении $P$ вектор $\vec{n}$ изменится согласно формуле
\[
d \vec{n}=\frac{\partial \vec{n}}{\partial u_{1}} d u_{1}+\frac{\partial \vec{n}}{\partial u_{2}} d u_{2} .
\]

Вторая фундаментальная квадратичная форма имеет вид
\[
I I=-(d \vec{n}, d \vec{r})=\sum_{\alpha, \beta=1}^{2} h_{\alpha \beta} d u_{\alpha} d u_{\beta},
\]

где $h_{\alpha \beta}$ – тензор внешней кривизны.
Любая гладкая кривая на поверхности, проходящая через точку $P$, имеет в этой точке некоторый радиус кривизны (в евклидовом пространстве).

Три модели SG

$1^{\circ} . K>0$ – эллиптическая точка
$2^{\circ} . K=0$ – цилиндрическая точка
$3^{\circ} . K<0$ – гиперболическая точка

Рис. 6. Главные кривизны и асимптотические линии

Меняя направление, в котором кривая пересекает точку $P$, можно найти максимальный ( $\rho_{1}$ ) и минимальный $\left(\rho_{2}\right.$ ) радиусы кривизны, соответствующие двум главным направлениям $\vec{\lambda}_{1}$ и $\vec{\lambda}_{2}$ в точке $P$, эти направления ортогональны друг другу. Полная (гауссова) кривизна поверхности в точке $P$ определяется формулой
\[
K=\frac{1}{\rho_{1} \rho_{2}} .
\]

Числа $\rho_{1}^{-1}, \rho_{2}^{-1} \in \mathbb{R}$, называемые главными кривизнами, являются собственными значениями первой квадратичной формы (13.7). Это значит, что матрицу $I=\left(\begin{array}{ll}I_{1} & I_{2} \\ I_{2} & I_{3}\end{array}\right)$ можно представить в виде
\[
\left(\begin{array}{ll}
I_{1} & I_{2} \\
I_{2} & I_{3}
\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{cc}
\rho_{1}^{-1} & 0 \\
0 & \rho_{2}^{-1}
\end{array}\right) T^{-1},
\]

где $T$ – невырожденная матрица.
Пусть $\vec{\lambda}=\left\{
u_{1},
u_{2}\right\}$ – единичный касательный вектор к главным направлениям в точке $P$. Их огибающая $C$ является асимптотической линией, если
\[
\sum_{\alpha, \beta=1}^{2} h_{\alpha \beta}
u_{\alpha}
u_{\beta}=0
\]
вдоль $C$. Точку на поверхности пересекают две различные вещественные асимптотические линии тогда и только тогда, когда полная кривизна в этой точке отрицательна. Если вся поверхность целиком имеет отрицательную кривизну, мы можем использовать систему асимптотических линий в качестве внутренних координат на поверхности.

Значения кривизны в точке определяют локальную классификацию точки поверхности как показано на рис. 13.2.

Поверхность имеет отрицательную полную кривизну ( $K<0$ ), если главные радиусы находятся с противоположных сторон касательной плоскости в точке $P$. Раструб духовой трубы, седло и тонкие ломтики жареного картофеля – все это примеры поверхностей с отрицательной кривизной.