Покажем сначала, что формула (16.3) описывает пару кинк-антикинк, если «центры ступенек» разнесены достаточно далеко друг от друга. Этот случай отвечает, например, большому значению времени $t \gg 1$.

Подобно тому, как мы поступали в Лекции 4, когда изучали взаимодействие солитонов уравнения КдФ, положим $\lambda_{2}>\lambda_{1}>0$ и рассмотрим сначала окрестность первого солитона
\[
\theta_{1}=O(1), \quad \theta_{2} \gg 1 .
\]

Этого можно добиться, решив относительно $x$ первое уравнение
\[
\theta_{1}=\frac{\lambda_{1}}{2} x+\frac{t}{2 \lambda_{1}}+\delta_{1}=\text { const }, \quad t \gg 1 .
\]

Тогда формула (16.3) превращается в формулу для кинка
\[
u(x, t) \rightarrow 4 \operatorname{arctg}\left(-\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \mathrm{e}^{-\theta_{1}}\right)=4 \operatorname{arctg}\left(-\mathrm{e}^{-\theta_{1}+x_{0}}\right),
\]

где $x_{0}=\ln \frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}$.

Рис. 9. Связанное состояние кинк-антикинк и бризер в различные моменты времени
Аналогично при $\theta_{1} \gg 1, \quad \theta_{2}=O(1)$ имеем
\[
u(x, t) \rightarrow 4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\lambda_{2}+\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \mathrm{e}^{-\theta_{2}}\right)=4 \operatorname{arctg}\left(\mathrm{e}^{-\theta_{2}+x_{0}}\right),
\]
что отвечает формуле (15.10) для антикинка.
Тем самым двойные солитоны уравнения синус-Гордон можно рассматривать как связанные состояния одиночных солитонов – кинка и антикинка (рис. 16.2). Топологический заряд этого связанного состояния равен,очевидно, нулю, поскольку в формуле (16.3) $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$.

Несколько более экзотично выглядит другое связанное состояние кинка и антикинка, которе получается в случае выбора в формуле (16.3)
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ \lambda _ { 1 } = \operatorname { R e } \lambda + i \operatorname { I m } \lambda , } \\
{ \lambda _ { 2 } = \operatorname { R e } \lambda – i \operatorname { I m } \lambda , }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
\delta_{1}=\operatorname{Re} \delta+i \operatorname{Im} \delta \\
\delta_{2}=\operatorname{Re} \delta-i \operatorname{Im} \delta
\end{array}\right.\right.
\]
который приводит к решению
\[
u(x, t)=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{Re} \lambda}{\operatorname{Im} \lambda} \cdot \frac{\sin \left\{\operatorname{Im} \lambda\left(\frac{x}{2}-\frac{t}{2|\lambda|}\right)+\operatorname{Im} \delta\right\}}{\operatorname{ch}\left\{\operatorname{Re} \lambda\left(\frac{x}{2}+\frac{t}{2|\lambda|}\right)+\operatorname{Re} \delta\right\}}\right) .
\]

Это решение называется бризером или пульсирующим солитоном (от английского слова «breath» – дышать). Его вид представлен на рис. 16.2 b.

Повторяя вышеприведенные рассуждения, легко убедиться, что бризер также представляет собой связанное состояние двух одиночных солитонов. Выбор параметров $\lambda$ и $\delta$ обеспечивает периодическое изменение профиля этого решения. Проще всего понять эту периодичность в переменных $\xi=$

$=t+x$ и $\tau=t-x$, причем удобно положить $|\lambda|=1$ :
\[
u(\xi, \tau)=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{Re} \lambda}{\operatorname{Im} \lambda} \cdot \frac{\sin \left\{-\operatorname{Im} \lambda \frac{\tau}{2}+\operatorname{Im} \delta\right\}}{\operatorname{ch}\left\{\operatorname{Re} \lambda \frac{\xi}{2}++\operatorname{Re} \delta\right\}}\right) .
\]

Ясно, что при фиксированном $\xi$ это периодическая фкнкция от $\tau$. С другой стороны, при фиксированном $\tau$ она представляет собой неподвижный двойной солитон, изображенный на рис. $16.2 \mathrm{a}$.