Выкладки предыдущей лекции позволяют выписать компактную формулу для общего $N$-солитонного решения уравнения КдФ.

ТЕОРЕМа 1. Все солитонные решения уравнения КдФ определяются формулой
\[
u_{N}(x, t)=-2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \operatorname{det} A(x, t),
\]

где матрица $A(x, t)=\left\{A_{i j}(x, t)\right\}$ составлена из элементов
\[
A_{i j}=\delta_{i j}+\frac{\beta_{i} e^{-\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{j}\right) x-8 \varkappa_{i}^{3} t}}{\varkappa_{i}+\varkappa_{j}}, \quad i, j=1,2, \ldots, N .
\]

Доказательство теоремы достаточно громоздко и состоит в проверке идентичности формулы (12.1) с формулой Хироты (3.3) (см. Лекцию 4) для любого $N \geqslant 1$. Вместо этого ниже будет рассмотрен пример с вычислением по формуле (12.1) при $N=1$.

Для полного обоснования формулы (12.1) следует убедиться в том, что при всех $x$ и $t$ величина $\operatorname{det} A(x, t)$ не обращается в нуль.

Пусть, от противного, $\operatorname{det} A=0$. Тогда найдутся номера $i, k$ такие, что $A_{i j}=\alpha A_{k j}, j=1, \ldots, N$, в частности $\alpha=A_{i i} / A_{k i}=A_{i k} / A_{k k}$. Подставляя в это равенство значения $A_{i j}$ из формулы (11.12), получим
\[
\left(1+\frac{\beta_{i}}{2 \varkappa_{i}} \mathrm{e}^{-2 \varkappa_{i} x}\right)\left(1+\frac{\beta_{k}}{2 \varkappa_{k}} \mathrm{e}^{-2 \varkappa_{k} x}\right)=\frac{\beta_{i} \beta_{k} \mathrm{e}^{-2 x\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{k}\right)}}{\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{k}\right)^{2}} .
\]

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к равенству
\[
1+\frac{\beta_{i}}{2 \varkappa_{i}} \mathrm{e}^{-2 \varkappa_{i} x}+\frac{\beta_{k}}{2 \varkappa_{k}} \mathrm{e}^{-2 \varkappa_{k} x}+\frac{\beta_{i} \beta_{k}}{2 \varkappa_{i} \varkappa_{k}} \mathrm{e}^{-2 x\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{k}\right)} \frac{\left(\varkappa_{i}-\varkappa_{k}\right)^{2}}{\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{k}\right)^{2}}=0 .
\]

Здесь все слагаемые положительны, поскольку $\varkappa_{j}>0$ в силу свойства 3 дискретного спектра, а по свойству 5 имеем
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \Phi^{2}\left(x, i \varkappa_{k}\right) d x=i a^{\prime}\left(i \varkappa_{k}\right) b_{k}>0
\]
так что $\operatorname{sign} b_{k}=\operatorname{sign}\left(i a^{\prime}\left(i \varkappa_{k}\right)\right)$, откуда $\beta_{k}=\frac{b_{k}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{k}\right)}>0$. Тем самым равенство (12.2) невозможно и это противоречие доказывает теорему.

Уравнение ГЛМ (9.13) может служить не только для построения точных решений, но и для асимптотического анализа поведения общего решения задачи Коши для уравнения КдФ.

ТЕОРЕМа 2. Пусть гладкое начальное условие уравнения КдФ удовлетворяет оценке
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}(1+|x|)\left|u_{0}(x)\right| d x<\text { const }
\]
тогда решение задачи Коши
\[
\begin{array}{c}
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0, \\
u(x, 0)=u_{0}(x)
\end{array}
\]
имеет следующую асимптотику при больших временах:
\[
u(x, t)=u_{N}(x, t)+O\left(t^{-1 / 2}\right), \quad t \rightarrow \infty,
\]
где $u_{N}(x, t)$ является $N$-солитонным решением, определенным формулой (12.1) по дискретному спектру начального условия $u_{0}(x)$.