Сейчас достаточно просто вывести уравнение (6.4) из первого уравнения пары Лакса (6.6)
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{ll}{\mathrm{\Psi }}_{11}& {\mathrm{\Psi }}_{12}\\ {\mathrm{\Psi }}_{21}& {\mathrm{\Psi }}_{22}\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{ll}{\mathrm{\Psi }}_{11}& {\mathrm{\Psi }}_{12}\\ {\mathrm{\Psi }}_{21}& {\mathrm{\Psi }}_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i\lambda & iu\\ i& -i\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}{\mathrm{\Psi }}_{11}& {\mathrm{\Psi }}_{12}\\ {\mathrm{\Psi }}_{21}& {\mathrm{\Psi }}_{22}\end{array}\right).$$

Найдем из этой системы уравнение для ${\mathrm{\Psi }}_{21}$, для чего перепишем систему в скалярном виде для первого столбца матрицы $\mathrm{\Psi }$.
$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Psi }}_{11}^{\prime }=i\lambda {\mathrm{\Psi }}_{11}+iu{\mathrm{\Psi }}_{21},\\ {\mathrm{\Psi }}_{21}^{\prime }=i{\mathrm{\Psi }}_{11}-i\lambda {\mathrm{\Psi }}_{21}.\end{array}$$

Дифференцируя второе уравнение, получим
$${\mathrm{\Psi }}_{21}^{\prime \prime }=i{\mathrm{\Psi }}_{11}^{\prime }-i\lambda {\mathrm{\Psi }}_{21}^{\prime }=i(i\lambda {\mathrm{\Psi }}_{11}+iu{\mathrm{\Psi }}_{21})-i\lambda (i{\mathrm{\Psi }}_{11}-i\lambda {\mathrm{\Psi }}_{21}),$$
откуда
$${\mathrm{\Psi }}_{21}^{\prime \prime }+({\lambda }^2+u){\mathrm{\Psi }}_{21}=0,$$
что совпадает с уравнением (6.4) при ${\mathrm{\Psi }}_{21}=\mathrm{\Phi }$.
Таким образом, задача интегрирования уравнения КдФ сведена к задаче интегрирования уравнений пары Лакса (6.6), поскольку, зная решение $\mathrm{\Psi }$, легко найти $u$ из соотношений (6.6) и (6.8)
$$\left(\begin{array}{cc}i\lambda & u\\ 1& -i\lambda \end{array}\right)={\mathrm{\Psi }}_x{\mathrm{\Psi }}^{-1}.$$