Сейчас достаточно просто вывести уравнение (6.4) из первого уравнения пары Лакса (6.6)
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\begin{array}{ll}
\Psi_{11} & \Psi_{12} \\
\Psi_{21} & \Psi_{22}
\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{ll}
\Psi_{11} & \Psi_{12} \\
\Psi_{21} & \Psi_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
i \lambda & i u \\
i & -i \lambda
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
\Psi_{11} & \Psi_{12} \\
\Psi_{21} & \Psi_{22}
\end{array}\right) .
\]

Найдем из этой системы уравнение для $\Psi_{21}$, для чего перепишем систему в скалярном виде для первого столбца матрицы $\Psi$.
\[
\left\{\begin{array}{l}
\Psi_{11}^{\prime}=i \lambda \Psi_{11}+i u \Psi_{21}, \\
\Psi_{21}^{\prime}=i \Psi_{11}-i \lambda \Psi_{21} .
\end{array}\right.
\]

Дифференцируя второе уравнение, получим
\[
\Psi_{21}^{\prime \prime}=i \Psi_{11}^{\prime}-i \lambda \Psi_{21}^{\prime}=i\left(i \lambda \Psi_{11}+i u \Psi_{21}\right)-i \lambda\left(i \Psi_{11}-i \lambda \Psi_{21}\right),
\]
откуда
\[
\Psi_{21}^{\prime \prime}+\left(\lambda^{2}+u\right) \Psi_{21}=0,
\]
что совпадает с уравнением (6.4) при $\Psi_{21}=\Phi$.
Таким образом, задача интегрирования уравнения КдФ сведена к задаче интегрирования уравнений пары Лакса (6.6), поскольку, зная решение $\Psi$, легко найти $u$ из соотношений (6.6) и (6.8)
\[
\left(\begin{array}{cc}
i \lambda & u \\
1 & -i \lambda
\end{array}\right)=\Psi_{x} \Psi^{-1} .
\]