Воспользуемся снова преобразованием Беклунда. Пусть $u=v_{0}=0$, а $v_{1}$ и $v_{2}$ — односолитонные решения (15.10) с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ соответственно. Наша цель — найти решение $u=v_{3}$, связанное преобразованиями Беклунда с $v_{0}, \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ по схеме, изображенной на рис. 16.1.
Рис. 8
Уравнения по $x$ (15.8) для $v_{j}, j=1,2,3$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{v_{1}}{2}\right)_{x}=\lambda_{1} \sin \frac{v_{1}}{2}, \quad\left(\frac{v_{3}-v_{1}}{2}\right)_{x}=\lambda_{2} \sin \frac{v_{3}+v_{1}}{2}, \\
\left(\frac{v_{2}}{2}\right)_{x}=\lambda_{2} \sin \frac{v_{2}}{2}, \quad\left(\frac{v_{3}-v_{2}}{2}\right)_{x}=\lambda_{1} \sin \frac{v_{3}+v_{2}}{2} .
\end{array}
\]

Выражая производные $v_{1}$ и $v_{2}$ из систем (16.1) и (16.2), имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{v_{3}}{2}\right)_{x}= & \lambda_{2} \sin \frac{v_{3}+v_{1}}{2}+\lambda_{1} \sin \frac{v_{1}}{2}= \\
& =\lambda_{1} \sin \frac{v_{3}+v_{2}}{2}+\lambda_{2} \sin \frac{v_{2}}{2} .
\end{aligned}
\]

Применяя тригонометрическую формулу для разности синусов, получим из последнего равенства
\[
\lambda_{2} \sin \frac{v_{3}+v_{1}-v_{2}}{4}=\lambda_{1} \sin \frac{v_{3}+v_{2}-v_{1}}{4}
\]
или
\[
\operatorname{tg} \frac{v_{3}}{4}=-\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \operatorname{tg} \frac{v_{2}-v_{1}}{2} .
\]

Вспоминая явную формулу (15.10) для $v_{1}$ и $v_{2}$,
\[
v_{1}, v_{2}=4 \operatorname{arctg} \exp \left(\theta_{1,2}\right), \quad \theta_{j}=\frac{\lambda_{j}}{2} x+\frac{t}{2 \lambda_{j}}+\delta_{j}, \quad j=1,2,
\]

получим окончательно
\[
u(x, t)=v_{3}=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\theta_{1}}-\mathrm{e}^{\theta_{2}}}{1+\mathrm{e}^{\theta_{1}+\theta_{2}}}\right) .
\]