В конце Лекции 5 было получено преобразование Беклунда (5.10) для уравнения синус-Гордон
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{u_{x}-v_{x}}{2}=-\lambda \sin \frac{u+v}{2}, \\
\frac{u_{t}+v_{t}}{2}=-\frac{1}{\lambda} \sin \frac{u-v}{2}
\end{array}\right.
\]

с произвольным параметром $\lambda$.

Построим с его помощью одно- и двухсолитонные решения SG. Стартуем, как всегда, с нулевого решения $u=0$, тогда
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2} v_{x}=\lambda \sin \frac{v}{2}, \\
\frac{1}{2} v_{t}=\frac{1}{\lambda} \sin \frac{v}{2} .
\end{array}\right.
\]

Обозначим $\omega=v / 2$, тогда первое уравнение запишется в виде
\[
\frac{d \omega}{\sin \omega}=\lambda d x \text {. }
\]

Интегрируя левую часть, получим
\[
\int \frac{d \omega}{\sin \omega}=\int \frac{\sin \omega d \omega}{\sin ^{2} \omega}=-\int \frac{d(\cos \omega)}{1-\cos ^{2} \omega}=-\ln \frac{1-\cos \omega}{1+\cos \omega},
\]

так что общее решение первого уравнения (15.9) найдется в виде
\[
\frac{1-\cos \omega}{1+\cos \omega}=\mathrm{e}^{-\lambda(x-c)},
\]

где $c$ – константа интегрирования.
Воспользовавшись известной формулой из тригонометрии $\operatorname{tg}^{2} \frac{\omega}{2}=$ $=\frac{1-\cos \omega}{1+\cos \omega}$, явно выразим $v$ через $x$
\[
\operatorname{tg} \frac{\omega}{2}=\mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{2}(x-c)} \Rightarrow \frac{v}{4}=\operatorname{arctg} \mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{2}(x-c)} .
\]

Здесь константа интегрирования $c$ должна зависеть от $t$, так, чтобы удовлетворялось второе уравнение (15.9). Его нетрудно решить, проделав те же выкладки, поскольку по виду оно не отличается от первого уравнения (15.9):
\[
\frac{v}{4}=\operatorname{arctg} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 \lambda}\left(t-t_{0}\right)}
\]

Отсюда, выбирая $\mathrm{e}^{\frac{\lambda}{2} c(t)}=\mathrm{e}^{\frac{\lambda}{2} x_{0}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 \lambda}\left(t-t_{0}\right)}$, получим окончательно решение системы (15.9)
\[
v(x, t)=4 \operatorname{arctg} \mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{2}\left(x-x_{0}\right)-\frac{1}{2 \lambda}\left(t-t_{0}\right)}, \quad x_{0}, t_{0}=\text { const. }
\]

Здесь мы выбрали ветвь арктангенса от $-\pi / 2$ до $\pi / 2$. Другой выбор ветви приводит лишь к сдвигу решения $v \mapsto v+2 \pi n$, где $n$ – целое. Уравнение синус-Гордон инвариантно относительно таких сдвигов, причем константы $u=2 \pi n$ являются устойчивыми невозмущенными решениями (аналог $u=0$ для уравнения КдФ).

Тем самым построено односолитонное решение уравнения синусГордон, которое, в отличие от солитонов уравнения КдФ, не стремится к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$, поскольку $\operatorname{arctg} \phi \rightarrow \pm \pi / 2$ при $\phi \rightarrow \pm \infty$. В зависимости от знака вещественного параметра $\lambda$ различают два случая: кинк $(\lambda<0)$ и антикинк $(\lambda<0)$. Эти названия произошли из вида графиков этих решений, изображенных на рисунке (от английского слова «kink»изгиб, петля).
Рис. 7. Односолитонные решения уравнения синус-Гордон
Хотя эта картина слегка противоречит рассуждениям Лекции 3 о солитонах как об уединенных волнах, быстроубывающих на бесконечности, решения (15.10) с полным правом можно называть солитонным, поскольку в них локализована область перехода из одного невозмущенного состояния $u=0$ в другое $u=2 \pi$. В самом деле, производная (15.10) имеет чисто солитонный вид
\[
v_{x}(x, t)=-\frac{\lambda}{\operatorname{ch}\left(\frac{\lambda}{2}\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2 \lambda}\left(t-t_{0}\right)\right)} .
\]

Другим отличием от уравнения КдФ является нетривиальный закон сохранения
\[
Q=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} u_{x} d x
\]

принимающий целочисленные значения. Действительно, поскольку согласно предположению (15.3) кратные $2 \pi$ значения являются устойчивыми со-

стояниями решения, интеграл (15.11) равен
\[
Q=\frac{1}{2 \pi}(u(+\infty, t)-u(-\infty, t))=n-m, \quad n, m-\text { целые. }
\]

Этот закон сохранения называется топологическим зарядом решения $u(x, t)$. Нетрудно подсчитать, что топологические заряды кинка и антикинка равны соответственно $Q_{k i n k}=1$ и $Q_{\text {antikink }}=-1$. Ниже мы увидим, что при взаимодействии эти солитоны ведут себя как частица и античастица, давая в итоге состояние с нулевым топологическим зарядом. Этим можно объяснить термин «заряд» для закона сохранения (15.11) и приставку «анти-» в названии солитона.