Знаменитый физик-ядерщик, лауреат Нобелевской премии по физике Энрико Ферми в середине 50 -х годов отошел от дел, связанных с американским атомным проектом. Продолжая работать в ядерном центре в Лос-Аламосе, он получил доступ к первым ЭВМ, только что разработанным и установленным там для сложных физических расчетов. Совместно с двумя своими сотрудниками, Дж. Паста и С. Уламом, он занялся, как в то время казалось, совершенно изолированной проблемой – исследованием поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые первоначально были линейными, но в которые была привнесена нелинейность как возмущение. Если бы такого возмущения не было, то энергия каждой нормальной моды линейной системы, то есть колебаний с заданной частотой, была бы постоянной. Можно было надеяться, что нелинейные взаимодействия между модами приведут к тому, что энергия системы равномерно распределится между всеми модами – этот результат был бы в согласии с теоремой о равномерном распределении, которая предсказывает поведение нелинейных систем общего вида. Но полученные результаты противоречили этой идее.
Здесь можно поставить вопрос – какое всё это имеет отношение к уединенной волне Расселла и уравнению КдФ? Оказывается, что самое непосредственное, но, чтобы убедиться в этом, необходимо проделать некоторые выкладки. Важность задачи Ферми-Паста-Улама (ФПУ) обусловлена тем, что неожиданные результаты этой работы стимулировали исследование нелинейных систем такого типа и многие современные работы по солитонам берут свое начало именно оттуда. В связи с этим важно прояснить некоторые детали. В своей оригинальной работе ФПУ приводят результаты громоздких вычислений, которые мы не можем здесь ни привести, ни объяснить. Вместо этого мы дадим короткое резюме для того , чтобы объяснить, как эта нелинейная задача связана с уравнением КдФ.

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из $N$ идентичных частиц единичной массы на прямой с фиксированными конечными точками ( $N$ велико; ФПУ рассматривали $N=64$ ). Предположим, что между ближайшими соседями действуют упругие силы, как если бы они были связаны
пружинками. Будучи отклоненной из положения равновесия, каждая частица приводит в движение соседние, так что вся система в конце концов приходит в сложное колебательное движение.

Для описания этого движения обозначим через $Q_{n}$ смещение из состояния равновесия $n$-й частицы. Тогда по второму закону Ньютона уравнение движения этой частицы можно записать
\[
Q_{n}^{\prime \prime}=f\left(Q_{n+1}-Q_{n}\right)-f\left(Q_{n}-Q_{n-1}\right), \quad n=1,2, \ldots, N .
\]

Здесь $f(Q)$ – упругая сила взаимодействия между ближайшими соседями, которая включает в себя обычный линейный закон Гука для малых колебаний пружинки плюс некоторый малый нелинейный член. ФПУ рассматривали два случая:
\[
\begin{array}{l}
f(Q)=\gamma Q+\alpha Q^{2}, \\
f(Q)=\gamma Q+\beta Q^{3} .
\end{array}
\]

Здесь $\gamma$ – линейная константа цепочки, а константы $\alpha$ и $\beta$ выбираются таким образом, чтобы максимальное смещение $Q$, вызываемое нелинейным членом, было мало. Если использовать нелинейности такого вида и численно решить уравнение (2.1) с начальными условиями в виде, скажем, синусоидальной волны, то обнаружится, что энергия не распределяется между всеми нормальными модами, а остается в начальной моде и нескольких ближайших.

К тому же плотность энергии в этих ближайших модах имеет почти периодический характер зависимости от времени. Рисунок взят из оригинальной статьи, написанной ФПУ, и представляет собой график зависимости энергии от времени для первых пяти мод с синусоидальными начальными данными.

После большого числа колебаний энергия каждой нормальной моды выглядит как почти периодическая функция от времени, причем энергия не перераспределяется в более высокие моды с течением времени. Строгое объяснение этой периодичности стимулировало более глубокое изучение уравнений типа (2.1). При некоторых приближениях уравнение (2.1) можно преобразовать в уравнение КдФ в континуальном пределе, то есть при переходе к непрерывному случаю.

Введем шаг решетки $l$ и определим переменную $x=n l$ как расстояние вдоль решетки. Для того чтобы заменить члены типа $Q_{n}$ непрерывными переменными, используем разложение в ряд Тейлора, полагая
\[
Q_{n}(t)=l^{r} p(x, t), \quad x=n l, \quad l \ll 1 .
\]

Рис. 2. Распределение энергии единичной частицы по Фурье-модам с течением времени

Имеем
\[
\begin{aligned}
Q_{n+1}-Q_{n}= & l(p(x+l, t)-p(x, t))=l\left(l p_{x}(x, t)+\right. \\
& \left.+\frac{l^{2}}{2} p_{x x}(x, t)+\frac{l^{3}}{6} p_{x x x}(x, t)+\ldots\right), \\
Q_{n}-Q_{n-1}= & l(p(x, t)-p(x-l, t))=l\left(l p_{x}(x, t)-\right. \\
& \left.-\frac{l^{2}}{2} p_{x x}(x, t)+\frac{l^{3}}{6} p_{x x x}(x, t)+\ldots\right) .
\end{aligned}
\]

Теперь уравнение (2.1) приобретает вид
\[
\begin{aligned}
p_{t t}= & f^{\prime}(0)\left\{l^{2} p_{x x}+\frac{l^{4}}{12} p_{x x x x}+\ldots\right\}+ \\
& +\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)\left\{2 l^{r+3} p_{x x}+\ldots\right\}+\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(0)\left\{3 l^{r+4} p_{x x}+\ldots\right\} .
\end{aligned}
\]

Если функция $f$ выбрана в виде первого выражения (2.2), то получаем $f^{\prime}(0)=\gamma, f^{\prime \prime}(0)=2 \alpha, f^{\prime \prime \prime}(0)=0$. Поэтому если положить $r=1$, то члены с квадратичной нелинейностью оказываются одного порядка с членом, содержащим четвертую производную. Полагая $u(x, t)=p_{x}(x, t)$, с точностью

до $O\left(l^{4}\right)$ имеем
\[
u_{t t}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(\frac{l^{4}}{12} u_{x x}+\alpha l^{4} u^{2}+l^{2} \gamma u\right) .
\]

Уравнение (2.5) известно в гидродинамике под названием уравнения Буссинеска. Если рассматривать это уравнение с точностью до $O\left(l^{2}\right)$, то оно превращается в линейное волновое уравнение и влияние нелинейности пропадает. Учет следующего приближения порядка $O\left(l^{4}\right)$ описывает уединенные волны, которые могут перемещаться как влево, так и вправо. Это видно из явной формулы для одиночного солитона ( на бесконечной прямой по $x$ )
\[
u(x, t)=\frac{a^{2}}{8 \alpha} \frac{1}{\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{a x-\omega t+\delta}{2}\right)},
\]

где $\omega^{2}=\gamma a^{2} l^{2}+a^{4} l^{4} / 12$, константа $a$ произвольна.
С математической точки зрения то, что мы получили, есть сведение цепочки с квадратичной нелинейностью к нелинейному уравнению с частными производными, которое описывает нелинейные волны малой амплитуды на больших пространственных отрезках. Примененный нами асимптотический метод перехода к непрерывному пределу носит название автомодельной редукции и широко применяется в математической физике.
Поясним теперь, как солитоны уравнения Буссинеска объясняют эффект локализации Фурье-мод в нелинейной цепочке ФПУ. Волны вида (2.6), будучи бесконечно гладкими и не изменяющими своей формы при любых $t$ , при разложении в ряд Фурье
\[
Q_{n}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k, n} \mathrm{e}^{i \omega_{k} t}
\]

демонстрируют экспоненциально быстрое убывание коэффициентов Фурье
\[
a_{k, n}=O\left(\mathrm{e}^{-c k}\right), \quad k \gg 1 .
\]

Отсюда следует, что таким же свойством обладают коэффициенты Фурье для кинетической энергии $\left|Q_{n}^{\prime}(t)\right|^{2}$ единичной частицы, что находится в согласии с экспериментальными данными, изображенными на рисунке. При этом следует заметить, что солитоны вида (2.6) являются устойчивыми решениями, то есть мало изменяются при малом возмущении уравнения (2.5) и/или начальных условий. Этот факт будет доказан ниже для уравнения КдФ (см. Лекцию 12), хотя он справедлив для всех солитонных уравнений. Последнее означает, что выводы, сделанные относительно решения
солитонного уравнения (2.5), справедливы и для исходной цепочки (2.1), поскольку ее можно рассматривать (учитывая отброшенные члены в разложениях Тейлора для $Q_{n+1}-Q_{n}$ и $Q_{n}-Q_{n-1}$ ) как малое возмущение уравнения Буссинеска (2.5).

Покажем теперь, как с помощью еще одной автомодельной редукции уравнение (2.5) может быть сведено к уравнению КдФ. Для этого рассмотрим волны, распространяющиеся только в одном направлении вдоль цепочки. Используем масштабные прообразования переменных $x, t$ и $u$. Сначала введем малый параметр $\varepsilon$ и новые пространственную и временную переменные
\[
\xi=\varepsilon^{s}(x-c t), \quad \tau=\varepsilon^{q},
\]

затем разложим $u$ по степеням параметра $\varepsilon$ :
\[
u=\varepsilon U_{1}+\varepsilon^{2} U_{2}+\ldots .
\]

Для того чтобы все члены с четвертой производной, производные по времени, а также нелинейные члены были одного и того же порядка по $\varepsilon$, необходимо положить $c=\sqrt{\gamma} l, s=1 / 2$ и $q=3 / 2$. Полученное при этом уравнение для $U_{1}$ можно проинтегрировать один раз по $\xi$, при этом получится уравнение КдФ
\[
2 \sqrt{\gamma}\left(U_{1}\right)_{\tau}+2 \alpha l^{3} U_{1}\left(U_{1}\right)_{\xi}+\frac{l^{3}}{12}\left(U_{1}\right)_{\xi \xi \xi}=0 .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых случаях нелинейные цепочки вида (2.1) без всяких асимптотических приближений демонстрируют солитонное поведение. Таковой является, например, так называемая цепочка Toды
\[
Q_{n}^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{Q_{n+1}-Q_{n}}-\mathrm{e}^{Q_{n}-Q_{n-1}},
\]
названная в честь японского физика M. Toda, указавшего в 1971 году на существование в ней солитонных решений (см. [6]). В Лекции 5 мы построим односолитонное решение для бесконечной цепочки Тоды (номера $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ играют роль дискретной пространственной переменной).

Для кубически нелинейной цепочки с функцией $f(Q)$, определенной по второй формуле (2.2), имеем $f(0)=\gamma, f^{\prime \prime}(0)=0$ и $f^{\prime \prime \prime}(0)=6 \beta$. Теперь для того чтобы кубически нелинейные члены и члены с четвертой производной оказались одного порядка, придется выбрать $r=0$. Тогда с точностью до $O\left(l^{4}\right)$ получим
\[
u_{t t}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(\frac{l^{4}}{12} u_{x x}+\beta l^{4} u^{3}+l^{2} \gamma u\right) .
\]

Проделав такие же масштабные преобразования переменных, как и в предыдущем случае, мы сможем теперь привести интересующие нас члены к
одному порядку при $s=1, q=3$ и $c=l \sqrt{\gamma}$. Интегрирование по $\xi$ ведет к уравнению
\[
2 \sqrt{\gamma}\left(U_{1}\right)_{\tau}+3 \beta l^{3}\left(U_{1}\right)^{2}\left(U_{1}\right)_{\xi}+\frac{l^{3}}{12}\left(U_{1}\right)_{\xi \xi \xi}=0,
\]
у которого есть решения, распространяющиеся только вправо. В уравнении (2.9) присутствует кубическая, но не квадратичная нелинейность, и оно называется модифицированным уравнением Кортевега – де Фриза (мКдФ). Для бесконечной цепочки решение уравнения (2.9) в виде уединенной волны имеет вид
\[
U_{1}(\xi, \tau)=\frac{a}{\sqrt{6 \beta}} \frac{1}{\operatorname{ch}(a \xi-\omega t+\delta)},
\]

где $\omega=\frac{\sqrt{a^{3} l^{3}}}{24 \sqrt{\gamma}}$ и $a-$ произвольная постоянная.