Роль преобразования Фурье в случае (нелинейного) уравнения КдФ
\[
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0
\]

будет играть преобразование рассеяния, осуществляемое линейным обыкновенным дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d x^{2}}+\left(\lambda^{2}+u\right) \Phi=0
\]
с коэффициентом $u=u(x, t)$ – решением уравнения КдФ. Предполагая $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$, определим данные рассеяния $a(\lambda, t)$ и $b(\lambda, t)$ соотношением $\mathscr{S}(u)=\{a, b\}$ :
\[
\Phi \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{-i \lambda x}, & x \rightarrow-\infty, \\
a(\lambda, t) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda x}, & x \rightarrow+\infty .
\end{array}\right.
\]

Оказывается, что динамика по $t$ так определенных данных рассеяния очень похожа на динамику по $t$ данных Фурье для линеаризованного уравнения КдФ, рассмотренного выше:
\[
a(\lambda, t)=a(\lambda, 0), \quad b(\lambda, t)=b(\lambda, 0) \mathrm{e}^{-8 i \lambda^{3} t} .
\]

Таким образом, общая схема метода обратной задачи рассеяния, которая будет уточнена и обоснована в дальнейшем, выглядит так:
\[
\begin{array}{c}
u(x, 0) \xrightarrow{\mathscr{S}}\left\{\begin{array}{c}
a(\lambda, 0) \\
b(\lambda, 0)
\end{array}\right\} \\
\downarrow \\
u(x, t) \stackrel{\mathscr{S}^{-1}}{\longleftrightarrow}\left\{\begin{array}{c}
a(\lambda, t)=a(\lambda, 0) \\
\left.b(\lambda, t)=b(\lambda, 0) \mathrm{e}^{-8 i \lambda^{3} t}\right\}
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Корректность этой схемы и свойства данных рассеяния будут обсуждены в следующих лекциях. Сейчас важно понять, откуда взялось уравнение (6.4) и какое отношение оно имеет к уравнению КдФ.

Ответ заключается в том, что уравнение (6.4) входит в так называемую пару Лакса, определяемую следующим образом ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ По имени американского математика Питера Лакса, предложившего эту конструкцию в работе [9].

Рассмотрим пару линейных дифференциальных уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\Psi_{x}=L \Psi \\
\Psi_{t}=A \Psi
\end{array}\right.
\]
где неизвестная функция является $2 \times 2$-матрицей
\[
\Psi=\Psi(x, t, \lambda)=\left(\begin{array}{ll}
\Psi_{11} & \Psi_{12} \\
\Psi_{21} & \Psi_{22}
\end{array}\right),
\]
так же как и коэффициенты $L=L(t, x, \lambda)$ и $A=A(t, x, \lambda)$, стоящие в правых частях.

Очевидно, $L$ и $A$ не могут быть произвольными, поскольку они задают два независимых уравнения пары Лакса (6.6) на одну неизвестную функцию $\Psi$. Предполагая все компоненты $\Psi, L$ и $A$ гладкими, а $\Psi$ – фундаментальным решением ( $\operatorname{det} \Psi
eq 0$ ), найдем условие совместности уравнений (6.6).
Дифференцируя первое уравнение по $t$, а второе – по $x$, имеем
\[
\Psi_{x t}=L_{t} \Psi+L \Psi_{t}=\Psi_{t x}=A_{x} \Psi+A \Psi_{x} .
\]

Выражая далее $\Psi_{t}$ и $\Psi_{x}$ из уравнений (6.6) и «сокращая» на $\Psi$ справа, получим окончательно
\[
L_{t}+L A=A_{x}+A L, \text { или } L_{t}-A_{x}=[A, L],
\]
где $[A, L]$ – коммутатор матриц $A$ и $L$, то есть $[A, L]=A L-L A$. Уравнение (6.7) и есть необходимое и достаточное условие совместности системы (6.6).
Выберем матрицы $A$ и $L$ в виде
\[
\begin{array}{c}
L=i \lambda\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{ll}
0 & u \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \lambda \in \mathbb{C}, \\
A=-4 \lambda^{2} L-2 i \lambda\left(\begin{array}{cc}
-u-i u_{x} \\
0 & u
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
u_{x} i u_{x x}+2 i u^{2} \\
2 i u & -u_{x}
\end{array}\right),
\end{array}
\]
где $\lambda$ – произвольный комплексный параметр, а $u=u(x, t)$ – некоторая функция, не зависящая от $\lambda$.

Подставим матрицы в условие совместности (6.7), для чего вычислим соответствующие производные и коммутаторы. Имеем
\[
L_{t}=i\left(\begin{array}{ll}
0 & u_{t} \\
0 & 0
\end{array}\right),
\]

\[
\begin{array}{l}
A_{x}=-4 \lambda^{2} i\left(\begin{array}{cc}
0 & u_{x} \\
0 & 0
\end{array}\right)-2 i \lambda\left(\begin{array}{cc}
-u_{x}-i u_{x x} \\
0 & u_{x}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
u_{x x} & i u_{x x x}+4 i u u_{x} \\
2 i u_{x} & -u_{x x}
\end{array}\right), \\
\left(\begin{array}{ll}
0 & u \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-u-i u_{x} \\
0 & u
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
-u-i u_{x} \\
0 & u
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
0 & u \\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
i u_{x} & 2 u^{2} \\
-2 u & -i u_{x}
\end{array}\right) \text {, } \\
\left(\begin{array}{ll}
0 & u \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
u_{x} & i u_{x x}+2 i u^{2} \\
2 i u & -u_{x}
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
u_{x} & i u_{x x}+2 i u^{2} \\
2 i u & -u_{x}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
0 & u \\
1 & 0
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
-i u_{x x}-2 u u_{x} \\
2 u_{x} & i u_{x x}
\end{array}\right) . \\
\end{array}
\]

Поскольку матрицы $L$ и $A$ являются многочленами по $\lambda$, в равенстве (6.7) следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$. Имеем равенства
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2}: 4 i\left(\begin{array}{cc}
0 & u_{x} \\
0 & 0
\end{array}\right)+i(-2 i)\left(\begin{array}{cc}
0 & -2 i u_{x} \\
0 & 0
\end{array}\right)=0 \\
\lambda^{1}: 2 i\left(\begin{array}{cc}
-u_{x} & -i u_{x x} \\
0 & u_{x}
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{cc}
0 & 2 i u_{x x}+4 i u^{2} \\
-4 i u & 0
\end{array}\right)+ \\
\quad+2\left(\begin{array}{cc}
i u_{x} & 2 u^{2} \\
-2 u & -i u_{x}
\end{array}\right)=0
\end{array}
\]
которые выполняются тождественно по $u$. Последнее равенство при нулевой степени $\lambda$ дает
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{0}: i\left(\begin{array}{cc}
0 & u_{t} \\
0 & 0
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}
u_{x x} & i u_{x x x}+4 i u u_{x} \\
2 i u_{x} & -u_{x x}
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{cc}
-i u_{x x}-2 u u_{x} \\
2 u_{x} & i u_{x x}
\end{array}\right)=0, \\
i u_{t}-i u_{x x x}-4 i u u_{x}-2 i u u_{x}=0, \quad u_{t}-u_{x x x}-6 u u_{x}=0 . \\
\end{array}
\]

Тем самым мы вывели уравнение КдФ из равенства (6.7). Верно и обратное утверждение, то есть если $u$ удовлетворяет уравнению КдФ, тогда имеет место условие совместности (6.7) с матрицами $A$ и $L$ вида (6.8) и (6.9). Доказательство следует непосредственно из алгебраических преобразований, выполненных выше.