В этой лекции будет выведено уравнение обратной задачи рассеяния в случае отсутствия дискретного спектра, то есть всюду в этой лекции будем предполагать, что
$$a(\lambda )eq0\text{ для всех }\mathrm{Im}\lambda ⩾0.$$

Наша задача — восстановить потенциал $u(x)$ в уравнении Шредингера (7.6)
$${\mathrm{\Phi }}_{xx}+({\lambda }^2+u(x))\mathrm{\Phi }=0$$
по его данным рассеяния $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ :
$$\mathrm{\Phi }\to \{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-i\lambda x},& x\to -\mathrm{\infty },\\ a(\lambda ){\mathrm{e}}^{-i\lambda x}+b(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda x},& x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Нам понадобится также каноническое решение $\mathrm{\Theta }$, определенное выше уравнением Шредингера (7.6)
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Theta }}_{xx}+({\lambda }^2+u(x))\mathrm{\Theta }=0,\\ \mathrm{\Theta }\to {\mathrm{e}}^{i\lambda x},x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Выведем сначала формулу обращения для потенциала $u(x)$ по известной функции $\mathrm{\Phi }$.

Поскольку интегральное уравнение (7.7) для $\mathrm{\Phi }$ эквивалентно уравнению (7.9) для $\chi (\lambda ,x)=\mathrm{\Phi }(\lambda ,x){\mathrm{e}}^{i\lambda x}$,
$$\chi (\lambda ,x)=1-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{2i\lambda (x-\xi )}}{2i\lambda }u(\xi )\chi (\lambda ,\xi )d\xi .$$

Используя аналитичность $\chi$ по $\lambda$ при $\mathrm{Im}\lambda >0$, перейдем к пределу при $\lambda \to \mathrm{\infty }$. Воспользовавшись оценкой
$$\left|{\mathrm{e}}^{2i\lambda (x-\xi )}\right|={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{Im}\lambda (x-\xi )}\to 0,\lambda \to \mathrm{\infty },x>\xi ,$$
получаем
$$u(x)=\frac{\partial }{\partial x}\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}2i\lambda (\chi (\lambda ,x)-1)=\frac{\partial }{\partial x}\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}2i\lambda (\mathrm{\Phi }(\lambda ,x){\mathrm{e}}^{i\lambda x}-1).$$

Приступая непосредственно к выводу уравнения обратной задачи, напишем соотношение рассеяния (9.3) несколько по-другому. Считая $\lambda$ вещественным, введем третье решение $\overline{\mathrm{\Theta }}(x,\lambda )$ уравнения Шредингера (7.6):
$$\begin{array}{l}{\overline{\mathrm{\Theta }}}_{xx}+({\lambda }^2+u(x))\overline{\mathrm{\Theta }}=0,\\ \overline{\mathrm{\Theta }}\to {\mathrm{e}}^{-i\lambda x},x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Тогда между тройкой функций $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Theta }$ и $\overline{\mathrm{\Theta }}$ существует линейное соотношение, поскольку они являются решениями одного и того же уравнения (7.6) второго порядка. Коэффициенты этого соотношения достаточно вычислить в какой-нибудь одной точке $x$, так как они от $x$ не зависят. В силу асимптотик $(9.3),(9.4)$ и (9.7) имеем
$$\mathrm{\Phi }(\lambda ,x)=a(\lambda )\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)+b(\lambda )\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)\text{ для любых }x,\lambda \in \mathbb{R}.$$

Разделим на $a(\lambda )$ обе части этого соотношения и умножим на экспоненту $\exp (i\lambda y)$, где $y$ — вещественный параметр.
$$\frac{\mathrm{\Phi }(\lambda ,x)}{a(\lambda )}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}=[\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)+\frac{b(\lambda )}{a(\lambda )}\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)]{\mathrm{e}}^{i\lambda y}=[\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)+r(\lambda )\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)]{\mathrm{e}}^{i\lambda y}.$$

Проинтегрируем это соотношение по $\lambda$, вычтя из обеих частей экспоненту $\exp (-i\lambda (x-y))$ :
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[\frac{\mathrm{\Phi }(\lambda ,x)}{a(\lambda )}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}-{\mathrm{e}}^{-i\lambda (x-y)}]d\lambda =\\ =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}[\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)-{\mathrm{e}}^{-i\lambda x}+r(\lambda )\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)]d\lambda .\end{array}$$

Интегралы в последней формуле определены корректно, поскольку их сходимость на бесконечности следует из оценки подынтегральных функций $O({\lambda }^{-1}\exp (i\lambda (x-y)))$, которая, в свою очередь, обеспечена асимптотиками (9.3), (9.4), (9.7) и свойством 4.

Функции $\mathrm{\Phi }(\lambda ,x)$ и $a(\lambda )$ аналитичны по $\lambda$ в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\lambda >0$, причем имеет место оценка
$$\frac{\mathrm{\Phi }(\lambda ,x)}{a(\lambda )}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}-{\mathrm{e}}^{-i\lambda (x-y)}=O\left({\lambda }^{-1}{\mathrm{e}}^{-i\lambda (x-y)}\right),\lambda \to \mathrm{\infty }.$$

Деформируем контур интегрирования в левой части (9.9) с вещественной оси на параллельную ей прямую $-\mathrm{\infty }<\mathrm{Re}\lambda <+\mathrm{\infty },\mathrm{Im}\lambda >0$. Поскольку $\left|{\mathrm{e}}^{-i\lambda (x-y)}\right|={\mathrm{e}}^{\mathrm{Im}\lambda (x-y)}\to 0$ при $(x-y)<0,\mathrm{Im}\lambda \to +\mathrm{\infty }$, то в силу последней оценки экспонента пропадет и интеграл в левой части занулится. Уравнение (9.9) принимает вид
$$0={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}[\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)-{\mathrm{e}}^{-i\lambda x}+r(\lambda )\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)]d\lambda .$$

Будем искать его решение в виде
$$\overline{\mathrm{\Theta }}(\lambda ,x)={\mathrm{e}}^{-i\lambda x}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,y){\mathrm{e}}^{-i\lambda y}dy$$

где $K$ — новая неизвестная вещественная функция. Это представление справедливо в силу интегрального уравнения (7.12), выведенного выше при рассмотрении прямой задачи рассеяния:
$$\mathrm{\Theta }(\lambda ,x)={\mathrm{e}}^{i\lambda x}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \lambda (x-y)}{\lambda }u(y)\mathrm{\Theta }(\lambda ,y)dy.$$

Подставляя эту функцию в уравнение (9.10) и заменяя переменную интегрирования $y$ на $\xi$, получим
$$0={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}[{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi ){\mathrm{e}}^{i\lambda \xi }d\xi +r(\lambda )({\mathrm{e}}^{i\lambda x}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi ){\mathrm{e}}^{i\lambda \xi }d\xi )]d\lambda .$$

Первый двойной интеграл здесь — суть последовательно примененные прямое и обратное преобразования Фурье. Точнее, вводя функцию
$$\hat{K}(x,y)=\{\begin{array}{ll}K(x,y),& x<y\\ 0,& x>y\end{array}$$
имеем
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{K}(x,\xi ){\mathrm{e}}^{-i\lambda \xi }d\xi d\lambda =2\pi \hat{K}(x,y)$$

Уравнение (9.12) теперь перепишется при $x<y$ так:
$$0=2\pi K(x,y)+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda (x+y)}d\lambda +{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda y}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi ){\mathrm{e}}^{i\lambda \xi }d\xi d\lambda .$$

Введем обозначение
$$F(z)\stackrel{\text{ def }}{=}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda z}d\lambda$$
и в уравнении переставим порядок интегрирования в последнем двойном интеграле:
$$\begin{array}{c}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\lambda y}r(\lambda ){\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi ){\mathrm{e}}^{i\lambda \xi }d\xi d\lambda =\\ ={\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi ){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r(\lambda ){\mathrm{e}}^{i\lambda (\xi +y)}d\lambda d\xi ={\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi )2\pi F(\xi +y)d\xi .\end{array}$$

Окончательно получается уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко
$$K(x,y)+F(x+y)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,\xi )F(\xi +y)d\xi =0,x<y.$$