В этой лекции будет выведено уравнение обратной задачи рассеяния в случае отсутствия дискретного спектра, то есть всюду в этой лекции будем предполагать, что
\[
a(\lambda)
eq 0 \quad \text { для всех } \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0 .
\]

Наша задача – восстановить потенциал $u(x)$ в уравнении Шредингера (7.6)
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi=0
\]
по его данным рассеяния $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ :
\[
\Phi \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{-i \lambda x}, & x \rightarrow-\infty, \\
a(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x}, & x \rightarrow+\infty .
\end{array}\right.
\]

Нам понадобится также каноническое решение $\Theta$, определенное выше уравнением Шредингера (7.6)
\[
\begin{array}{c}
\Theta_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Theta=0, \\
\Theta \rightarrow \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Выведем сначала формулу обращения для потенциала $u(x)$ по известной функции $\Phi$.

Поскольку интегральное уравнение (7.7) для $\Phi$ эквивалентно уравнению (7.9) для $\chi(\lambda, x)=\Phi(\lambda, x) \mathrm{e}^{i \lambda x}$,
\[
\chi(\lambda, x)=1-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)}}{2 i \lambda} u(\xi) \chi(\lambda, \xi) d \xi .
\]

Используя аналитичность $\chi$ по $\lambda$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$, перейдем к пределу при $\lambda \rightarrow \infty$. Воспользовавшись оценкой
\[
\left|\mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)}\right|=\mathrm{e}^{-2 \operatorname{Im} \lambda(x-\xi)} \rightarrow 0, \quad \lambda \rightarrow \infty, \quad x>\xi,
\]
получаем
\[
u(x)=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 i \lambda(\chi(\lambda, x)-1)=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 i \lambda\left(\Phi(\lambda, x) \mathrm{e}^{i \lambda x}-1\right) .
\]

Приступая непосредственно к выводу уравнения обратной задачи, напишем соотношение рассеяния (9.3) несколько по-другому. Считая $\lambda$ вещественным, введем третье решение $\bar{\Theta}(x, \lambda)$ уравнения Шредингера (7.6):
\[
\begin{array}{l}
\bar{\Theta}_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \bar{\Theta}=0, \\
\bar{\Theta} \rightarrow \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Тогда между тройкой функций $\Phi, \Theta$ и $\bar{\Theta}$ существует линейное соотношение, поскольку они являются решениями одного и того же уравнения (7.6) второго порядка. Коэффициенты этого соотношения достаточно вычислить в какой-нибудь одной точке $x$, так как они от $x$ не зависят. В силу асимптотик $(9.3),(9.4)$ и (9.7) имеем
\[
\Phi(\lambda, x)=a(\lambda) \bar{\Theta}(\lambda, x)+b(\lambda) \Theta(\lambda, x) \quad \text { для любых } x, \lambda \in \mathbb{R} .
\]

Разделим на $a(\lambda)$ обе части этого соотношения и умножим на экспоненту $\exp (i \lambda y)$, где $y$ – вещественный параметр.
\[
\frac{\Phi(\lambda, x)}{a(\lambda)} \mathrm{e}^{i \lambda y}=\left[\bar{\Theta}(\lambda, x)+\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)} \Theta(\lambda, x)\right] \mathrm{e}^{i \lambda y}=[\bar{\Theta}(\lambda, x)+r(\lambda) \Theta(\lambda, x)] \mathrm{e}^{i \lambda y} .
\]

Проинтегрируем это соотношение по $\lambda$, вычтя из обеих частей экспоненту $\exp (-i \lambda(x-y))$ :
\[
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\Phi(\lambda, x)}{a(\lambda)} \mathrm{e}^{i \lambda y}-\mathrm{e}^{-i \lambda(x-y)}\right] d \lambda= \\
= & \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda y}\left[\bar{\Theta}(\lambda, x)-\mathrm{e}^{-i \lambda x}+r(\lambda) \Theta(\lambda, x)\right] d \lambda .
\end{aligned}
\]

Интегралы в последней формуле определены корректно, поскольку их сходимость на бесконечности следует из оценки подынтегральных функций $O\left(\lambda^{-1} \exp (i \lambda(x-y))\right)$, которая, в свою очередь, обеспечена асимптотиками (9.3), (9.4), (9.7) и свойством 4.

Функции $\Phi(\lambda, x)$ и $a(\lambda)$ аналитичны по $\lambda$ в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda>0$, причем имеет место оценка
\[
\frac{\Phi(\lambda, x)}{a(\lambda)} \mathrm{e}^{i \lambda y}-\mathrm{e}^{-i \lambda(x-y)}=O\left(\lambda^{-1} \mathrm{e}^{-i \lambda(x-y)}\right), \quad \lambda \rightarrow \infty .
\]

Деформируем контур интегрирования в левой части (9.9) с вещественной оси на параллельную ей прямую $-\infty<\operatorname{Re} \lambda<+\infty, \quad \operatorname{Im} \lambda>0$. Поскольку $\left|\mathrm{e}^{-i \lambda(x-y)}\right|=\mathrm{e}^{\operatorname{Im} \lambda(x-y)} \rightarrow 0$ при $(x-y)<0, \quad \operatorname{Im} \lambda \rightarrow+\infty$, то в силу последней оценки экспонента пропадет и интеграл в левой части занулится. Уравнение (9.9) принимает вид
\[
0=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda y}\left[\bar{\Theta}(\lambda, x)-\mathrm{e}^{-i \lambda x}+r(\lambda) \Theta(\lambda, x)\right] d \lambda .
\]

Будем искать его решение в виде
\[
\bar{\Theta}(\lambda, x)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}+\int_{x}^{\infty} K(x, y) \mathrm{e}^{-i \lambda y} d y
\]

где $K$ – новая неизвестная вещественная функция. Это представление справедливо в силу интегрального уравнения (7.12), выведенного выше при рассмотрении прямой задачи рассеяния:
\[
\Theta(\lambda, x)=\mathrm{e}^{i \lambda x}+\int_{x}^{\infty} \frac{\sin \lambda(x-y)}{\lambda} u(y) \Theta(\lambda, y) d y .
\]

Подставляя эту функцию в уравнение (9.10) и заменяя переменную интегрирования $y$ на $\xi$, получим
\[
0=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda y}\left[\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi+r(\lambda)\left(\mathrm{e}^{i \lambda x}+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi\right)\right] d \lambda .
\]

Первый двойной интеграл здесь – суть последовательно примененные прямое и обратное преобразования Фурье. Точнее, вводя функцию
\[
\hat{K}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
K(x, y), & x<y \\
0, & x>y
\end{array}\right.
\]
имеем
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda y} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{K}(x, \xi) \mathrm{e}^{-i \lambda \xi} d \xi d \lambda=2 \pi \hat{K}(x, y)
\]

Уравнение (9.12) теперь перепишется при $x<y$ так:
\[
0=2 \pi K(x, y)+\int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(x+y)} d \lambda+\int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y} \int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi d \lambda .
\]

Введем обозначение
\[
F(z) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda z} d \lambda
\]
и в уравнении переставим порядок интегрирования в последнем двойном интеграле:
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i \lambda y} r(\lambda) \int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi d \lambda= \\
=\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(\xi+y)} d \lambda d \xi=\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) 2 \pi F(\xi+y) d \xi .
\end{array}
\]

Окончательно получается уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко
\[
K(x, y)+F(x+y)+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) F(\xi+y) d \xi=0, \quad x<y .
\]