Воспользуемся доказанными свойствами для вывода уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко при наличии дискретного спектра.

Возвращаясь к первоначальному выводу этого уравнения (см. начало Лекции 10), умножим уравнение (10.1) на е ${ }^{i \lambda y}$ и проинтегрируем по $\lambda$ вдоль вещественной оси:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Phi(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y}}{a(\lambda)} d \lambda=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y} d \lambda+\int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) \Psi(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y} d \lambda .
\]

В левой части имеем по теореме о вычетах (см. формулу (10.2)) и в силу соотношения $\Phi\left(x, i \varkappa_{n}\right)=b_{n} \Psi\left(x, i \varkappa_{n}\right)$
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Phi(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda y}}{a(\lambda)} d \lambda=2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \Psi\left(x, i \varkappa_{n}\right) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} y}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)} .
\]

В правую часть (10.1) подставим выражения для $\Psi$ и $\bar{\Psi}$ :
\[
\begin{array}{c}
\bar{\Psi}(x, \lambda)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{-i \lambda \xi} d \xi, \\
\Psi(x, \lambda)=\mathrm{e}^{i \lambda x}+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi .
\end{array}
\]

В результате соотношение (11.4) примет вид
\[
\begin{array}{c}
2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \Psi\left(x, i \varkappa_{n}\right) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} y}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}= \\
=2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n}(x+y)}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}+2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n}(\xi+y)} \frac{b_{n}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}= \\
=2 \pi K(x, y)+\int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(x+y)} d \lambda+\int_{-\infty}^{+\infty} K(x, \xi) \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(x+y)} d \lambda d \xi .
\end{array}
\]

Перенося в левую часть и группируя слагаемые в последнем равенстве, имеем
\[
\begin{array}{l}
2 \pi K(x, y)+\left[-2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n}(x+y)}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}+\int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(x+y)} d \lambda\right]+ \\
+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi)\left[-2 \pi i \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n}(\xi+y)}}{a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}+\int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda(\xi+y)} d \lambda\right] d \xi=0 .
\end{array}
\]

Обозначив
\[
F(z)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda z} d \lambda+2 \pi \sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} z}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)},
\]

приходим к старому виду уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко:
\[
K(x, y)+F(x+y)+\int_{x}^{+\infty} K(x, \xi) F(\xi+y) d \xi=0,
\]

Таким образом, алгоритм решения обратной задачи остается прежним (см. Лекцию 9): по данным рассеяния $\left\{r(\lambda), \varkappa_{n}, b_{n}, n=1,2, \ldots, N\right\}$ вычисляется ядро $F(z)$, решается уравнение ГЛМ и потенциал $u$ восстанавливается по формуле обращения
\[
u(x)=-2 \frac{d}{d x} K(x, x) .
\]

Покажем, как можно решить уравнение ГЛМ (9.13) в безотражательном случае, то есть при
\[
b(\lambda) \equiv 0 \quad \Leftrightarrow \quad r(\lambda) \equiv 0,
\]
и выведем новую формулу для общих $N$-солитонных решений.
Ясно, что при условии (11.7) ядро $F(z)$ уравнения ГЛМ станет вырожденным, то есть превратится в конечную сумму экспонент:
\[
F(z)=\sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} z}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}=\sum_{n=1}^{N} \beta_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} z}, \quad \text { где } \quad \beta_{n}=\frac{b_{n}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)} .
\]

Будем искать решение уравнения ГЛМ в виде аналогичной суммы
\[
K(x, y)=\sum_{n=1}^{N} K_{n}(x) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} y} .
\]

Тогда интеграл в уравнении ГЛМ (9.13) вычислится явно
\[
\begin{array}{c}
\int_{x}^{\infty} \sum_{n=1}^{N} K_{n}(x) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} \xi} \sum_{m=1}^{N} \beta_{m} \mathrm{e}^{-\varkappa_{m}(\xi+y)} d \xi=\sum_{n, m=1}^{N} K_{n}(x) \times \\
\times \int_{x}^{\infty} \beta_{m} \mathrm{e}^{-\xi\left(\varkappa_{n}+\varkappa_{m}\right)} \mathrm{e}^{-\varkappa_{m} y} d \xi=\sum_{n, m=1}^{N} K_{n}(x) \frac{\beta_{m} \mathrm{e}^{-\left(\varkappa_{n}+\varkappa_{m}\right) x}}{\varkappa_{n}+\varkappa_{m}} \mathrm{e}^{-\varkappa_{m} y},
\end{array}
\]

а само уравнение (9.13) распадется на систему алгебраических уравнений, поскольку следует приравнять коэффициенты при каждой экспоненте $\mathrm{e}^{-\varkappa_{n} y}$ (все $\varkappa_{n}-$ различны!)
\[
\mathrm{e}^{-\varkappa_{n} y}: \quad K_{n}(x)+\sum_{m=1}^{N} K_{m}(x) \frac{\beta_{m} \mathrm{e}^{-\left(\varkappa_{n}+\varkappa_{m}\right) x}}{\varkappa_{n}+\varkappa_{m}}=-\beta_{n} \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x} .
\]

Перепишем систему (11.10) в стандартном виде

где матрица коэффициентов этой системы $A(x)=\left\{A_{i j}(x)\right\}$ составлена из функций
\[
A_{i j}=\delta_{i j}+\frac{\beta_{i} e^{-x\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{j}\right)}}{\varkappa_{i}+\varkappa_{j}}, \quad \delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & i=j, \\
0 & i
eq j .
\end{array}\right.
\]

Решаем систему (11.11) по правилу Крамера
\[
K_{n}(x)=\frac{\operatorname{det} A_{(n)}(x)}{\operatorname{det} A(x)}, \quad n=1,2, \ldots, N,
\]
где матрица $A_{(n)}(x)$ получается из матрицы $A(x)$ заменой $n$-го столбца на столбец коэффициентов правой части
\[
A_{(n)}(x)=\left(\begin{array}{ccccc}
A_{11}(x) & \ldots & -\beta_{1} \mathrm{e}^{-\varkappa_{1} x} & \ldots & A_{1 N}(x) \\
A_{21}(x) & \ldots & -\beta_{2} \mathrm{e}^{-\varkappa_{2} x} & \ldots & A_{2 N}(x) \\
\vdots & \ldots & \vdots & \ldots & \vdots \\
A_{N 1}(x) & \ldots & -\beta_{N} \mathrm{e}^{-\varkappa_{N} x} & \ldots & A_{N N}(x)
\end{array}\right) .
\]

В действительности нас интересуют не сами решения $K_{n}(x)$, а функция $K(x, x)$, фигурирующая в формуле обращения (11.6). По формуле (11.9) имеем
\[
\begin{aligned}
K(x, x) & =\sum_{n=1}^{N} K_{n}(x) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}=\frac{1}{\operatorname{det} A(x)} \sum_{n=1}^{N} \operatorname{det} A_{(n)}(x) \mathrm{e}^{-\varkappa_{n} x}= \\
& =\frac{\partial}{\partial x} \ln \operatorname{det} A(x) .
\end{aligned}
\]

Последнее равенство вытекает из правила дифференцирования логарифма и детерминанта матрицы, а также из соотношения
\[
\frac{\partial}{\partial x} A_{i n}(x)=-\beta_{i} \mathrm{e}^{-\left(\varkappa_{i}+\varkappa_{n}\right) x} .
\]

Окончательно формула обращения (11.6) примет вид
\[
u(x)=-2 \frac{\partial}{\partial x} K(x, x)=-2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \operatorname{det} A(x) .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Включение времени в формуле (11.14) производится стандартным образом – константы $\beta_{n}$ заменяются на функции от $t$ согласно

Свойству 6 данных рассеяния:
\[
\beta_{n}=\frac{b_{n}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)} \quad \mapsto \quad \beta_{n}(\dot{t})=\frac{b_{n} \mathrm{e}^{-8 \varkappa_{n}^{3} t}}{i a^{\prime}\left(i \varkappa_{n}\right)}=\beta_{n} \mathrm{e}^{-8 \varkappa_{n}^{3} t},
\]
где $\beta_{n}=$ const.
ПРИМЕР. Покажем, что формула (11.14) определяет солитонное решение при $N=1$.
В этом случае матрица $A(x)$ становится скаляром
\[
A(x)=1+\frac{\beta \mathrm{e}^{-2 \varkappa x-8 \varkappa^{3} t}}{2 \varkappa}
\]
и ее определитель совпадает с ней самой. Вычисляя вторую логарифмическую производную по формуле (11.14), получим знакомое выражение для 1 -солитона
\[
u(x, t)=-\frac{2 \varkappa^{2}}{\operatorname{ch}^{2}\left(\varkappa\left(x-4 \varkappa^{2} t-\varphi\right)\right)},
\]
где фазовый сдвиг $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi=\frac{1}{2 \varkappa} \ln \frac{\beta}{2 \varkappa} .
\]