Обсудим свойства решений уравнения (6.4) при убывающем на бесконечности по $x$ коэффициенте $u(x, t)$.
Уравнение (6.4) играет существенную роль в одномерной квантовой механике, где оно описывает поведение волновой функции $\Phi$ одномерной квантовой частицы в потенциальном поле $u$. Поэтому принято называть уравнение (6.4)
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u\right) \Phi=0, \quad x \in \mathbb{R},
\]
уравнением Шредингера, дифференциальный оператор $d^{2} / d x^{2}+u$ – оператором Шредингера, а его коэффициент $u$ – потенциалом уравнения или оператора Шредингера. Константу $\lambda$ принято называть спектральным параметром, поскольку она играет роль частоты свободной квантовой частицы
\[
\Phi=c_{1} \mathrm{e}^{i \lambda x}+c_{2} \mathrm{e}^{-i \lambda x} \quad \text { при } \quad u \equiv 0 .
\]
Будем рассматривать класс потенциалов, удовлетворяющий условиям
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}(1+|x|)|u(x, t)| d x<\infty, \quad u \in C^{\infty} .
\]
Условия (7.3) означают, что потенциал $u$ достаточно быстро (быстрее, чем $x^{-\delta}, \delta \geqslant 2$ ) убывает при $|x| \rightarrow \infty$. Это обстоятельство позволяет явно определить «асимптотические состояния» исходной и рассеянной волны на бесконечности
\[
\Phi^{\prime \prime}+\lambda^{2} \Phi=0, \quad|x| \gg 1,
\]
откуда имеем
\[
\Phi \rightarrow c_{1} \mathrm{e}^{i \lambda x}+c_{2} \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow \pm \infty .
\]
Выберем начальное условие на минус бесконечности
\[
\Phi \rightarrow \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow-\infty,
\]
тогда на плюс бесконечности получим
\[
\Phi \rightarrow a(\lambda, t) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\]
Коэффициенты $a=a(\lambda, t)$ и $b=b(\lambda, t)$ называются коэффициентом прохождения и коэффициентом отражения соответственно. Вместе они составляют данные рассеяния потенциала $u(x, t)$. Вычисление данных рассеяния по заданному потенциалу согласно формулам (7.2), (7.4) и (7.5) называется прямой задачей рассеяния.
Выясним поведение данных рассеяния по $t$. Поскольку $u, u_{x}, u_{x x} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$, для матрицы $A$ во втором уравнении (6.6) $\Psi_{t}=A \Psi$ имеем
\[
A \rightarrow-4 \lambda^{2}\left(\begin{array}{cc}
i \lambda & 0 \\
i & -i \lambda
\end{array}\right), \quad x \rightarrow \infty .
\]
Тогда для первого столбца матрицы $\Psi$ будем иметь
\[
\left(\begin{array}{l}
\Psi_{11} \\
\Psi_{21}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
0 \\
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}} \mathrm{e}^{-i \lambda x}
\end{array}\right), \quad x \rightarrow-\infty,
\]
\[
\left(\begin{array}{l}
\Psi_{11} \\
\Psi_{21}
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}} 2 \lambda b \mathrm{e}^{i \lambda x} \\
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}}\left(a \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b \mathrm{e}^{i \lambda x}\right.
\end{array}\right), \quad x \rightarrow+\infty .
\]
Уравнение $\Psi_{t}=A \Psi$ для первого столбца при $x \rightarrow+\infty$ переписывается в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{c}
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}}\left(2 \lambda b_{t}+4 i \lambda^{3} \cdot 2 \lambda b\right) \mathrm{e}^{i \lambda x} \\
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}}\left(a_{t}+4 i \lambda^{3} a\right) \mathrm{e}^{-i \lambda x}+\left(b_{t}+4 i \lambda^{3} b\right) \mathrm{e}^{i \lambda x}
\end{array}\right)= \\
=-4 \lambda^{2}\left(\begin{array}{cc}
i \lambda & 0 \\
i & -i \lambda
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}} \cdot 2 \lambda b \mathrm{e}^{i \lambda x} \\
\mathrm{e}^{4 i t \lambda^{3}}\left(a \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b \mathrm{e}^{i \lambda x}\right)
\end{array}\right),
\end{array}
\]
откуда получаем
\[
\left\{\begin{array}{l}
2 b_{t}+4 i \lambda^{3} \cdot 2 b=-4 i \lambda^{3} \cdot 2 b \\
a_{t}+4 i \lambda^{3} a=4 i \lambda^{3} a .
\end{array}\right.
\]
Таким образом, эволюция от $t$ данных рассеяния очень проста и составляет содержание первого из свойств данных рассеяния, формулируемых ниже.
