1. $\left\{\begin{array}{l}a(\lambda, t)=a(\lambda, 0), \\ b(\lambda, t)=b(\lambda, 0) \mathrm{e}^{-8 i t \lambda^{3}} .\end{array}\right.$
Следующие свойства описывают зависимость данных рассеяния от $\lambda$. Будем опускать аргумент $t$, если это не вызывает недоразумений.
2. $|a(\lambda)|^{2}-|b(\lambda)|^{2}=1, \quad \lambda \in \mathbb{R}$.
Доказательство следует из закона сохранения вронскиана $W=\mathrm{const}$, где $W\left(\Phi_{1}, \Phi_{2}\right)=\Phi_{1}^{\prime} \Phi_{2}-\Phi_{1} \Phi_{2}^{\prime}$, а $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ – два произвольных решения уравнения Шредингера.
\[
\Phi_{x x}+\left(\lambda^{2}+u(x)\right) \Phi=0 .
\]
В самом деле, из вещественности $\lambda^{2}+u$ следует, что $\bar{\Phi}$ также является решением уравнения (7.6), а в силу нормировки (6.5)
\[
\bar{\Phi} \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{i \lambda x}, & x \rightarrow-\infty, \\
\bar{a}(\lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x}+\bar{b}(\lambda) \mathrm{e}^{-i \lambda x}, & x \rightarrow+\infty .
\end{array}\right.
\]
Тогда
\[
\left.W(\Phi, \bar{\Phi})\right|_{x \rightarrow-\infty}=2 i \lambda=\left.W(\Phi, \bar{\Phi})\right|_{x \rightarrow+\infty}=2 i \lambda\left(|a|^{2}-|b|^{2}\right),
\]
что и доказывает свойство 2.
3. $a(\lambda)=-\frac{1}{2 i \lambda} W(\Phi, \Theta)$, где $\Phi$ и $\Theta$ – два решения уравнения (7.6), заданные условиями
\[
\begin{array}{c}
\Phi \rightarrow \mathrm{e}^{-i \lambda x}, \quad x \rightarrow-\infty, \\
\Theta \rightarrow \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]
Доказательство следует из вычислений вронскиана решений $\Phi$ и $\Theta$
\[
\begin{array}{l}
\left.W(\Phi, \Theta)\right|_{x \rightarrow+\infty}=\left(-i \lambda a \mathrm{e}^{-i \lambda x}+i \lambda b \mathrm{e}^{i \lambda x}\right) \mathrm{e}^{i \lambda x}- \\
-\left(a \mathrm{e}^{-i \lambda x}+b \mathrm{e}^{i \lambda x}\right) i \lambda \mathrm{e}^{i \lambda x}=\left.W(\Phi, \Theta)\right|_{x \rightarrow-\infty}=-2 i \lambda a .
\end{array}
\]
4. Функция $a(\lambda)$ аналитична при $\operatorname{Im} \lambda>0$, причем $a(\lambda) \rightarrow 1$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Аналогично, $\bar{a}(\lambda)$ – аналитическая функция при $\operatorname{Im} \lambda<0, u \bar{a}(\lambda) \rightarrow 1$, $\lambda \rightarrow \infty$.
Доказательство: Покажем, что $\Phi$ и $\Theta$ – аналитические в полуплоскости $\operatorname{Im}(\lambda)>0$. Функция $\Phi$ удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
\[
\Phi(x, \lambda)=\mathrm{e}^{-i \lambda x}-\int_{-\infty}^{x} \frac{\sin \lambda(x-\xi)}{\lambda} u(\xi) \Phi(\xi, \lambda) d \xi .
\]
Оно получается из нормировки (7.4) и функции Грина $G$ для уравнения Шредингера (7.6), где $G(\lambda, x, \xi)=\sin \lambda(x-\xi) / \lambda$ при $\xi<x$ и $G(\lambda, x, \xi)=0$ при $\xi>x$. Впрочем, уравнение (7.7) можно проверить и непосредственно, что удобно сделать для функции
\[
\chi(x, \lambda)=\Phi(x, \lambda) \mathrm{e}^{i \lambda x} .
\]
Подставляя (7.8) в уравнение (7.7), получим эквивалентное интегральное уравнение
\[
\chi(x, \lambda)=1-\int_{-\infty}^{x} \frac{\mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)}-1}{2 i \lambda} u(\xi) \chi(\xi, \lambda) d \xi .
\]
С другой стороны, подставляя (7.8) в уравнение Шредингера (7.6), получим
\[
\Phi_{x x}=\left(\chi_{x x}-2 i \lambda \chi_{x}-\lambda^{2} \chi\right) \mathrm{e}^{-i \lambda x}=u(x) \chi \mathrm{e}^{-i \lambda x},
\]
то есть
\[
\chi_{x x}-2 i \lambda \chi_{x}+u \chi=0 .
\]
Продифференцируем теперь обе части интегрального уравнения (7.9)
\[
\begin{array}{c}
\chi_{x}=-\int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)} u(\xi) \chi d \xi, \quad \chi_{x x}=-u(x) \chi(\lambda, x)- \\
-2 i \lambda \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)} u(\xi) \chi(\lambda, \xi) d \xi=-u(x) \chi+2 i \lambda \chi_{x},
\end{array}
\]
так что выполнено дифференциальное уравнение (7.10) для функции $\chi(\lambda, x)$ и формула (7.7) доказана.
Выберем $\operatorname{Im} \lambda>0$. Тогда в интегральном уравнении (7.11) ядро аналитично и ограничено по $\lambda$, поскольку
\[
\left|\mathrm{e}^{2 i \lambda(x-\xi)}\right|=\mathrm{e}^{-2 \operatorname{Im} \lambda(x-\xi)}<1, \quad(x-\xi)>0, \quad \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]
Тогда его решение $\chi(\lambda, x)$ – суть аналитическая и ограниченная во всей верхней полуплоскости функция по $\lambda$. Отметим, что существование и единственность этого решения следует из того факта, что уравнение (7.11) является уравнением Вольтерра, причем абсолютная сходимость интеграла на бесконечности обеспечена оценками (7.3), (7.11) и условием $\chi(x, \lambda)=$ $=1+o(1)$ при $x \rightarrow-\infty$.
Аналогично, докажем аналитичность в верхней полуплоскости второй функции $\Theta(\lambda, x)$, входящей во вронскиан в свойстве 3 :
\[
\Theta(\lambda, x) \rightarrow \mathrm{e}^{i \lambda x}, \quad \lambda \rightarrow+\infty .
\]
Повторяя вышеприведенные рассуждения, легко получить интегральное уравнение
\[
\Theta(\lambda, x)=\mathrm{e}^{i \lambda x}+\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin \lambda(x-\xi)}{\lambda} u(\xi) \Theta(\lambda, \xi) d \xi,
\]
которое анализируется аналогично уравнению (7.11). Детали этого доказательства оставляем читателю в качестве упражнения.
Поскольку функции $\Phi$ и $\Theta$ аналитичны по $\lambda$ в верхней полуплоскости, то таковым же будет и их вронскиан $W$, а значит, и функция $a(\lambda)=$ $=-W(\Phi, \Theta) / 2 i \lambda$ (свойство 3).
