Иттрий-алюминиевый гранат $\left(\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}\right.$ с примесью ионов $\mathrm{Yt}^{+3}$ ) представляет собой темный, непрозрачный кристалл. Но он становится прозрачным для пучка лазерного света определенной частоты и интенсивности. Это свойство пропускать мощное оптическое излучение только в некотором узком диапазоне частот называется самоиндуированной прозрачностью (СИП). Эффект был открыт Мак-Коллом и Ханом в 1965 году (см. [7], с. 374). Они экспериментально установили, что показатель преломления (то есть линеаризованное дисперсионное соотношение этого кристалла как идеального диэлектрика) имеет сингулярности на частотах, совпадающих с любой из резонансных частот его атомов. Самоиндуцированная прозрачность

является чисто нелинейным эффектом, возникающим при взаимодействии диэлектрика с электрическим полем на частоте, близкой к резонансу.

Начнем с физического описания самоиндуцированной прозрачности. В простейшем случае СИП диэлектрик состоит из двухуровневых атомов, каждый из которых имеет основное и возбужденное состояния. Пусть вначале атомы находятся в основном состоянии, то есть среда является атmенюатором, а не усилителем. Падающее электрическое поле, настроенное на резонансную частоту, возбуждает атомы. Такой перенос энергии от электрического поля к веществу обычно необратим и в конце концов истощает энергетический запас электрического импульса.

Тем не менее можно сформировать достаточно мощный и очень короткий падающий импульс так, что фронт импульса отдает энергию (когерентно $^{1}$ ) в среду, которая запасает ее, а затем возвращает ее (когерентно) назад в импульс. Взаимодействуя с таким импульсом, атомы вещества остаются в своем основном состоянии, суммарный перенос энергии от излучения к веществу равен нулю, а импульс распространяется с постоянной (меньшей, чем скорость света) скоростью сквозь среду, которая становится как бы прозрачной. Это и есть самоиндуцированная прозрачность.

Теперь мы рассмотрим основные уравнения (уравнения Максвелла Блоха). Для простоты пренебрежем размерными константами и положим скорость света, постоянную Планка и диэлектрическую проницаемость кристалла равными единице: $c=h=\sigma=1$, а сам кристалл положим одномерным и расположенным вдоль оси $x$. Считая скорость изменения электрического поля волны много больше скорости поляризации, запишем уравнение Максвелла в среде
\[
E_{x}=\langle P\rangle,
\]

где в правой части стоит полная поляризация дипольных атомов среды $p(x, t, \omega)$ на всех частотах $\omega$
\[
\langle P\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} p(x, t, \omega) g(\omega) d \omega
\]

Предположим, что резонансные диполи распределены так редко, что они, взаимодействуя с внешним полем, не взаимодействуют друг с другом. При таких условиях величина относительной разности заселенностей между возбужденным и основным состояниями
\[
\eta(x, t, \omega)=\frac{N_{\text {осн. }}-N_{\text {возб. }}}{N_{\text {возб. }}+N_{\text {осн. }}}
\]
1 «coherent»- согласованно, связанно.

зависит только от поляризации $p(x, t, \omega)$ индивидуального двухуровневого атома с частотой перехода $\omega$ и внешнего поля $E(x, t)$. Эта зависимость была найдена Дж. Лэмом (G. L. Lamb) в 1971 году из простых квантовомеханических соображений. Он показал, что $p, \eta$ удовлетворяют уравнениям типа Блоха (F.Bloch)
\[
p_{t}=E \eta, \quad \eta_{t}=-\frac{1}{2}(E \bar{p}+\bar{E} p) .
\]

При $t \rightarrow \infty$ в силу сделанных предположений должны выполняться следующие начальные и граничные условия:
\[
\begin{array}{l}
E \rightarrow 0, \quad t \rightarrow \pm \infty, \\
p \rightarrow 0, \quad \eta \rightarrow 1, \quad t \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

Уравнение синус-Гордон является частным случаем системы МаксвеллаБлоха в пределе «бесконечно-узкой линии», т.е. когда $\langle P\rangle=p$ или, что то же самое, $g(\omega)=\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)$. В самом деле, объединяя последние три уравнения, имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
E_{x}=p, \\
p_{t}=E \eta, \\
\eta_{t}=-\frac{1}{2}(E \bar{p}+\bar{E} p) .
\end{array}\right.
\]

Умножая второе уравнение на $\bar{p}$ и беря комплексное сопряжение, перепишем его в виде ( $\eta$ – вещественно)
\[
\frac{1}{2}(p \bar{p}+\bar{p} p)=\frac{1}{2}(E \bar{p}+\bar{E} p) \eta .
\]

Складывая его далее с третьим уравнением, интегрируя по $t$ и учитывая граничные условия (14.2), получим закон сохранения
\[
|p|^{2}+|\eta|^{2}=1 .
\]

Это соотношение наводит на мысль о возможности параметризации решений
\[
\eta=\cos u, \quad p=\mathrm{e}^{i \theta} \sin u .
\]

Тогда, если при $t \rightarrow-\infty$ фаза $E$ была постоянна $\theta=$ const, то из второго уравнения (14.3)
\[
E=\mathrm{e}^{i \theta} u_{t},
\]

а из первого уравнения (14.3) имеем
\[
u_{x t}=\sin u .
\]

В Лекции 15 будет показано, что это уравнение имеет односолитонное решение вида
\[
u(x, t)=4 \operatorname{arctg} \mathrm{e}^{-2 \varkappa\left(x-x_{0}\right)-\left(t-t_{0}\right) / 2 \varkappa},
\]

которое в оптике СИП называется « $2 \pi$-импульсом»
\[
E=\frac{\mathrm{e}^{i \theta}}{2 \varkappa \operatorname{ch}\left(2 \varkappa\left(x-x_{0}\right)+\frac{t-t_{0}}{\varkappa}\right)} .
\]

Нетрудно проверить, что полная энергия, необходимая для возбуждения этого импульса, должна быть не меньше
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|E(x, t)| d t=2 \pi .
\]