Нам осталось сделать последний шаг в схеме метода обратной задачи рассеяния – перейти от решения $K(x, y)$ уравнения ГЛМ к искомому решению уравнения КдФ $u(x, t)$. Этот переход дается модификацией формулы обращения (9.6), выведенной в начале этой лекции.

Перепишем выражение (9.6) для потенциала $u$ в терминах функции $\Theta=\chi \mathrm{e}^{-i \lambda x}$ :
\[
u(x)=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 i \lambda(\chi(\lambda, x)-1)=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 i \lambda\left(\Theta(\lambda, x) \mathrm{e}^{-i \lambda x}-1\right) .
\]

Подставим сюда выражение (9.11) для $\Theta(\lambda, x)$
\[
\Theta(\lambda, x)=\mathrm{e}^{i \lambda x}+\int_{x}^{+\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda \xi} d \xi,
\]
что дает
\[
\begin{array}{l}
u(x)=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 i \lambda\left(\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \mathrm{e}^{i \lambda(\xi-x)} d \xi\right)= \\
=\frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} 2 \int_{x}^{\infty} K(x, \xi) d\left(\mathrm{e}^{i \lambda(\xi-x)}\right)= \\
=2 \frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\{-K(x, x)-\int_{x}^{\infty} \mathrm{e}^{i \lambda(\xi-x)} K_{\xi}(x, \xi) d \xi\right\}= \\
=-2 \frac{\partial}{\partial x} K(x, x)+2 \frac{\partial}{\partial x} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \frac{1}{i \lambda}\left\{K_{\xi}(x, x)+\int_{x}^{\infty} \mathrm{e}^{i \lambda(\xi-x)} K_{\xi \xi}(x, \xi) d \xi\right\} .
\end{array}
\]

Здесь последнее слагаемое обращается в нуль, поскольку интеграл в силу гладкости $K(x, \xi)$ имеет порядок $O\left(\lambda^{-N}\right)$ при $\lambda \rightarrow \infty, N$ – любое положительное число ( $N$ раз проинтегрировать по частям).

Таким образом, окончательно получим следующую формулу, которая называется формулой обращения:
\[
u(x)=-2 \frac{\partial}{\partial x} K(x, x) .
\]

Подводя итог всему сказанному, сформулируем стандартный алгоритм решения обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ.
– По данным рассеяния $a(\lambda)=a(\lambda, 0)$ и $b(\lambda, t)=b(\lambda, 0) \mathrm{e}^{-8 i \lambda^{3} t}$ находим коэффициент отражения
\[
r(\lambda, t)=\frac{b(\lambda, t)}{a(\lambda, t)}=\frac{b(\lambda, 0)}{a(\lambda, 0)} \mathrm{e}^{-8 i \lambda^{3} t} .
\]

– Вычисляем ядро уравнения ГЛМ
\[
F(z, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} r(\lambda, t) \mathrm{e}^{i \lambda z} d \lambda .
\]
– Решаем уравнение ГЛМ (9.13)
\[
K(x, y, t)+F(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi, t) F(\xi+y, t) d \xi=0, \quad x<y .
\]
– Находим решение уравнения КдФ по формуле обращения (9.14)
\[
u(x, t)=-2 \frac{\partial}{\partial x} K(x, x, t) .
\]