Пусть $u(x, t)$ удовлетворяет уравнению КдФ
\[
u_{t}+12 u u^{2}+u_{x x x}=0 .
\]

Перепишем его в дивергентном виде
\[
u_{t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(6 u^{2}+u_{x x}\right)=0
\]
и будем искать его решение в следующей форме:
\[
\begin{aligned}
u(x, t) & =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln f(x, t)=\frac{\partial}{\partial x} \frac{f_{x}}{f}= \\
& =\frac{f_{x x} f-f_{\Sigma}{ }^{2}}{f^{2}}=\frac{f_{x x}}{f}-\left(\frac{f_{x}}{f}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Выразим производные, входящие в уравнение КдФ, через функцию $f(x, t)$
\[
\begin{aligned}
u_{t} & =\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial t} \frac{f_{x}}{f}= \\
& =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f_{x t}}{f}-\frac{f_{x} f_{t}}{f^{2}}\right) \\
u_{x} & =\frac{f_{x x x} f-f_{x x} f_{x}}{f^{2}}-\frac{2 f_{x}}{f}\left(\frac{f_{x x} f-f_{x}{ }^{2}}{f^{2}}\right)= \\
& =\frac{f_{x x x}}{f}-3 \frac{f_{x x} f_{x}}{f^{2}}+2\left(\frac{f_{x}}{f}\right)^{3}, \\
u_{x x} & =\frac{f_{x x x x} f-f_{x x x} f_{x}}{f^{2}}-3 \frac{f_{x x x} f_{x}+f_{x x}{ }^{2}}{f^{2}}+6 \frac{f_{x x} f_{x}{ }^{2}}{f^{3}}+ \\
& +6\left(\frac{f_{x}}{f}\right)^{2} \frac{f_{x x}-f_{x}{ }^{2}}{f^{2}}, \\
6 u^{2} & =6\left(\frac{f_{x x} f^{2}-f_{x}{ }^{2}}{f^{2}}\right)^{2}=6\left(f_{x x}{ }^{2}-2 \frac{f_{x x} f_{x}{ }^{2}}{f^{3}}+\frac{f_{x}^{4}}{f^{4}}\right) .
\end{aligned}
\]

Подставляя эти выражения в уравнение КдФ, получим
\[
\frac{f_{x t}}{f}-\frac{f_{x} f_{t}}{f^{2}}+3 \frac{f_{x x}^{2}}{f^{2}}+\frac{f_{x x x x}}{f}-4 \frac{f_{x x x} f_{x}}{f^{2}}=0,
\]
или (считая, что $f
eq 0$ )
\[
f f_{x t}-f_{x} f_{t}+3 f_{x x}^{2}+f f_{x x x x}-4 f_{x x x} f_{x}=0 .
\]

Это уравнение носит название билинейного уравнения Xироты в честь японского физика R. Hirota, предложившего его в 1971 году в работе [13]. Казалось бы, уравнение (3.4) ничем не проще исходного уравнения КдФ. Однако оно имеет билинейную структуру, то есть каждое слагаемое содержит два множителя вида $f$ или ее производной. Будем искать решение в виде ряда теории возмущений по некоторому малому параметру $\varepsilon$ :
\[
f=1+\sum_{i=1}^{\infty} \varepsilon^{i} f^{(i)}=1+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon^{2} f^{(2)}+\ldots
\]

Тогда билинейное уравнение Хироты распадется на серию линейных уравнений на коэффициенты $f^{(i)}$ при одинаковых степенях $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
\left(1+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon^{2} f^{(2)+\ldots)}\left(\varepsilon f_{x t}^{(1)}+\varepsilon f_{x x x x}^{(1)}+\varepsilon^{2}\left(f_{x t}^{(2)}+\varepsilon f_{x x x x}{ }^{(2)}\right)+\ldots\right)-\right. \\
-\varepsilon^{2}\left(f_{x}^{(1)}+\varepsilon f_{x}^{(2)}+\ldots\right)\left(f_{t}^{(1)}+\varepsilon f_{t}^{(2)}+\ldots\right)+3 \varepsilon^{2}\left(f_{x x}^{(1)}+\varepsilon f_{x x}^{(2)}+\ldots\right)^{2}- \\
-4 \varepsilon^{2}\left(f_{x x x}^{(1)}+\varepsilon f_{x x x}^{(2)}+\ldots\right)\left(f_{x}^{(1)}+\varepsilon f_{x}^{(2)}+\ldots\right)=0
\end{array}
\]
откуда следует
\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{1}: & f_{x t}^{(1)}+f_{x x x x}{ }^{(1)}=0 \\
\varepsilon^{2}: & f_{x t}{ }^{(2)}+f_{x x x x}{ }^{(2)}=f_{x}^{(1)} \dot{f}_{t}^{(1)}-3\left(f_{x x}^{(1)}\right)^{2}+4 f_{x x x}{ }^{(1)} f_{x}^{(1)}, \\
& \ldots \\
\varepsilon^{N+1}: & f_{x t}^{(N+1)}+f_{x x x x}{ }^{(N+1)}=\ldots\left(f^{(1)}, \ldots f^{(N)}\right)=0 . \\
& \ldots
\end{aligned}
\]

Оказывается, что структура правых частей этой системы такова, что ряд (3.5) допускает обрыв на любом номере $N$, то есть, полагая $f^{(N+1)} \equiv 0$, мы получим, что все последующие уравнения с номерами $N+2, N+3, \ldots$. допускают тождественно нулевое решение:
\[
f^{(N+2)}=f^{(N+3)}=\ldots \equiv 0 .
\]

В этом нетрудно убедиться, глядя на первые два уравнения при $N=2$, а для всех остальных $N$ следует применить метод математической индукции. Из этого наблюдения следует вывод о том, что параметр $\varepsilon$ можно выбирать произвольным (а не обязательно малым), если мы хотим оборвать ряд на конечном номере $N$. Выберем в этом случае $\varepsilon=1$ и будем последовательно решать линейные уравнения для $f^{(i)}$, считая, что $f^{(N+1)} \equiv 0$. Первое уравнение в силу линейности допускает решение в виде суммы простых волн
\[
f^{(1)}=\sum_{i=1}^{N} \mathrm{e}^{\theta_{i}},
\]
где
\[
\theta_{i}=a_{i}\left(x-a_{i}{ }^{2} t\right)+\delta_{i} .
\]