Главная > МЕХАНИКА (Г.КИРХГОФ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§1

Если система жестко соединенных материальных точек движется, то смещение, которое она претерпевает за элемент времени dt, нам известно из прошлой лекции. Поэтому мы можем во всех выведенных в пятой лекции формулах вместо δ поставить d, т. е. показать, что смещение происходит за элемент времени dt. Тогда все бесконечно малые величины, обозначенные буквами со штрихами, должны быть пропорциональными dt; каждую из них мы представим в виде произведения dt на соответствующую величину, обозначенную буквой без штриха. Буква со штрихом обозначает компоненты сдвига или вращения, без штриха — соответствующие компоненты скорости или скорости вращения в момент времени t.
Согласно выражениям (21) пятой лекции,
u+zqyr,v+xrzp,w+ypxq

являются компонентами скорости точки по осям x,y,z в момент времени t движение можно считать состоящим из вращения вокруг оси, проходящей через точку x=0,y=0,z=0, и сдвига; p,q,r — компоненты скорости вращения; u, v, w-компоненты скорости сдвига.

Из выражений (1) возведением в квадрат и сложением находим квадрат скорости точки (x,y,z ); обозначим ее массу через m, а живую силу системы через T; тогда
2T=Σm{(u+zqyz)2+(v+xrzp)2+(w+ypxq)2},

где сумма берется по всем материальным точкам системы. Это уравнение в развернутом виде выглядит следующим образом:
2T=(u2+v2+w2)Σm+2(vrwq)Σmx++2(wpur)Σmy+2(uqvp)Σmz++p2Σm(y2+z2)+q2Σm(z2+x2)+r2Σm(x2+y2)2qrΣmyz2rpΣmzx2pqΣmxy

оно показывает, что T — однородная функция второй степени шести аргументов u,v,w,p,q,r, коэффициенты которой зависят от масс точек, их относительного расположения и положения осей x,y,z. Общая однородная функция второй степени шести переменных содержит 21 независимый друг от друга коэффициент; T содержит их только 10 , и это число подходящим выбором системы осей можно свести до четырех.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прежде всего движение, при котором u=0,v=0, w=0, и, следовательно, тело (опять назовем так нашу систему) вращается вокруг точки x=0,y=0,z=0. Тогда
2T=p2Σm(y2+z2)+q2Σm(z2+x2)+r2Σm(x2+y2)2qrΣmyz2rpΣmzx2pqΣmxy,

и тело вращается вокруг оси, совпадающей с линией, которая может быть проведена от точки x=0,y=0,z=0 к точке x=p,y=q,z=r, со скоростью вращения, равной длине этой линии. Положим T=12, тогда точка ( p,q,r) лежит на поверхности
1=p2Σm(y2+z2)+q2Σm(z2+x2)+r2Σm(x2+y2)2qrΣmyz2rpΣmzx2pqΣnxy,
т. е. на поверхности второго порядка, центр которой совпадает с началом координат x,y,z. Каждый проведенный из этой точки радиус-вектор поверхности равен скорости вращения, которую должно иметь тело, если оно вращается вокруг радиуса-вектора и обладает живой силой, равной 12. Из этой характеристики поверхности следует, что она не зависит от направления осей x,y,z; если совместить их с главными осями поверхности, то члены с множителями pr,rq,pq должны исчезнуть; следовательно,
Σmyz=0,Σmzx=0,Σmxy=0

и
1=p2Σm(y2+z2)+q2Σm(z2+x2)+r2Σm(x2+y2)

уравнение поверхности. Из того, что коэффициенты при p2,q2,r2 в этом уравнении являются положительными, можно заключить, что поверхностьэллипсоид. Главные оси эллипсоида называют также главными осями тела для начала координат x,y,z.

При произвольных направлениях осей координат выражение Σm(x2+y2) называют моментом инерции тела относительно оси z; он равен квадрату радиуса-вектора эллипсоида (3), который совпадает с осью z. Положив p=0 и q=0, получим r равным длине этого радиуса-вектора, а из уравнения (3) имеем
Σm(x2+y2)=1r2.

Моменты инерции относительно главных осей эллипсоида (3) называют главными моментами инерции тела для начала координат x,y,z; они равны обратным квадратам его полуосей.

Момент инерции тела относительно оси данного направления изменяется, если эта ось переместится параллельно самой себе. Каково будет это изменение, легко увидеть, если наряду с системой координат x,y,z ввести другую — x1,y1,z1. Пусть x,y,z и x1,y1,z1 — координаты одной и той же точки; тогда
x1=a+x,y1=b+y,z1=c+z,

где a,b,c — постоянные; поэтому
Σm(x12+y12)=Σm(x2+y2)+(a2+b2)Σm+2aΣmx+2bΣmy.

Встречающиеся здесь суммы Σmx и Σmy являются координатами x и y центра тяжести тела, умноженными на массу тела; поэтому если поме стить начало координат x,y,z в центр тяжести, то эти суммы исчезнут, и мы будем иметь
Σm(x12+y12)=Σm(x2+y2)+(a2+b2)Σm.

Так как ось z может иметь произвольное направление, то это уравнение выражает следуюшую теорему; момент инериии тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно оси, которая параллельна данной и проходіт через центр тяжести тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния центра тяжести от данной оси.

После сделанного разъяснения легко определить положение, которое должна иметь система координат, чтобы выражение для живой силы T, данное уравнением (2), было приведено к наиболее простой форме. Для этой цели за начало координат x,y,z выбирается центр тяжести тела и в качестве осей x,y,z-главные оси для центра тяжести. Тогда уравне ние (2) примет вид
2T=(u2+v2+w2)Σm+p2Σm(y2+z2)++q2Σm(z2+x2)+r2Σm(x2+y2).
§2
Теперь выведем дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела из принципа Гамильтона, а следовательно, получим уравнение (9) третьей лекции. Для этого необходимо составить вариацию живой силы δT и выражение работы действующих сил U для какого-либо изменения положения тела и преобразовать сумму δT+U к форме
Σ(nRε+Sdεdt),

где величины ε бесконечно малы и не зависят друг от друга (они вызваны изменением положения тела). Дифференциальными уравнениями движения будут
dSdt=R

Мы вновь примем обозначения предыдущей лекции; для ε мы можем выбрать обозначения либо u,v,w,p,q,r, либо λ,μ,v,π,χ,ρ; таким образом, мы получим искомые дифференциальные уравнения в двух формах, каждая из которых имеет свои ‘преимущества. Работа U в требуемой форме в первом случае дается выражением (24), во втором — выраженнем (25) предыдущей лекции.
Но необходимы некоторые вычисления, чтобы составить выражение для δT. Қак мы уже доказали, T зависит только от u,v,w,p,q,r и постоянных, следовательно,
δTi=Tuδui+Tvδv+Twδw+Tpδp+Tqδqik+Trδr.

Прежде всего выразим шесть вариаций δu,δv,δw,δp,δq, δr через u, v,w,p,q,r. Этого мы достигнем, вспомнив, что вариация произвон ной функции равна производной вариации функции.

По уравнению (18) предыдущей лекции
δα=α1u+α2v+α3w

и по замечанию, сделанному в начале этой лекции,
dαdt=α1u+α2v+α3w.

Составим теперь уравнение
dδαdt=δdαdt,

и так как по уравнению (20) прошлой лекции
δα1=α2rα3q,δα2=α3pα1r,δα3=α1qα2p,

а также
dα1dt=α2rα3q,dα2dt=α3pα1r,dα3dt=α1qα2p,

то получается
0=α1(dudtδu+vrvr+wwqwq)++α2(dvdtδv+wpwp+urur)++α3(dvdtδw+uquq+vpvp).

Обратим внимание на то, что вычисления, которые привели нас к этому результату, верны и в том случае, если в них вместо α подставить β или γ; найденное уравнение остается справедливым и при таком изменении. Из сказанного и из уравнений (3) прошлой лекций следует:
δu=dudt+vrvr+wqwq,δv=dvdt+wpwp+urur,δw=dwdt+uquq+vpvp.

Чтобы найти δp,δq, δr, развернем уравнение
dδα1dt=δdα1dt,

используя (6) и (7); таким образом,
0=α2(drdtδr+pqpq)α3(dqdtδqrprp).

Это уравнение остается правильным, если вместо α подставить β или γ, а также если одновременно изменить по циклу индексы 1,2,3 и буквы p,
q,r. Отсюда и из уравнений (3) прошлой лекции следует:
δp=dpdt+qrqr,δq=dqdt+rprp,δr=drdt+pqpq.

Выразим теперь δu,δv,δw,δp,δq,δr через λ,μ,v,π,χ,ρ; для этой цели используем уравнения
dαdt=α1u+α2v+α3ω,δα=λ+γχβρ,

второе из которых входит в уравнения (16) предыдущей лекции. По уравнениям (11) предыдущей лекции имеем
δα1=γ1χβ1ρ,δα2=γ2χβ2ρ,δα3=γ3χβ3ρ

и, кроме того,
dβdt=β1u+β2v+β3w,dγdt=γ1u+γ2v=γ3w.

После этого уравнение δdαdt=dδαdt переходит в α1δu+α2δv+α3δω= =dλdt+γdχdtβdρdt.

Можно теперь одновременно изменить по циклу буквы
α,β,γ,λ,μ,v,π,χ,ρ;

поэтому также
β1δu+β2δv+β3δω=dμdt+αdρdtγdπdt,γ1δu+γ2δv+Υ3δω=dvdt+βdπdtαdχdt,

откуда следует (по уравнениям (3) предыдущей лекции):
δu=α1dλdt+β1dμdt+γ1dvdt++(γ1ββ1γ)dπdt+(α1γγ1α)dχdt+(β1αα1β)dpdtδv=α2dλdt+β2dμdt+γ2dvdt++(γ2ββ2γ)dπdt+(α2γγ2α)dχdt+(β2αα2β)dρdt

δw=α3dλdt+β3dμdt+γ3dvdt++(γ3ββ3γ)dπdt+(α3γγ3α)dχdt+(β3αα3β)dpdt.

Чтобы найти δp,δq,δr, развернем уравнение
δdα1dt=dδα1dt,

подставив в него
dα1dt=α2rα3q,δα1=γ1χβ1ρ,

а также приняв во внимание
δα2=γ2χβ2ρ,dβ1dt=β2rβ3qδα3=γ3χβ3ρ,dγ1dt=γ2rγ3q,

получим
α2δrα3δq=γ1dχdtβ1dρdt.

Отсюда следует при циклической перестановке букв α,β,γ и , χ,ρ
β2δrβ3δq=α1dpdtγ1dπdt,γ2δrγ3δq=β1dπdtα1dχdt.

Эти три уравнения дают вместе с уравнениями (6) и (7) предыдущей лекции
δq=α2dπdt+β2dχdt+γ2dρdt,δr=α3dπdt+β3dχdt+γ3dρdt,

из чего при замене индексов 1,2,3 и букв p,q,r также следует
δp=α1dπdt+β1dχdt+γ1dρdt.

Подставим теперь данные уравнениями (8) и (9) выражения для δи, δv,δw,δp,δq,δr в уравнение (5) для δT, вместо U подставим выражение (24) предыдущей лекции и преобразуем уравнение (4), расположив ряд для ε по степеням u,v,w,p,q,r. Получаем таким образом
ddtTu=rTvqTw+XddtTv=pTwrTu+YddtTw=qTupTu+Z,

H
ddtTp=wTvvTw+rTqqTr+Mx,ddtTq=uTwwTu+pTrrTp+My,ddtTr=vTuuTv+qTppTq+Mz

Используем выражения для δu,δv,δw,δp,δq,δr из уравнений (10) и (11) а для U — выражение (25) предыдущей лекци и преобразуем уравнение (4), расположив ряд для ε по степеням λ,μ,v,π,χ,ρ; получаем в этом случае
Ξ=ddt(α1Tu+α2Tv+α3Tv),H=ddt(β1Tu+β2Tv+β3Tv),Z=ddt(γ1Tu+γ2Tv+γ3Tw),

H
Mζ=ddt{(β1αα1β)Tu+(β2αα2β)Tv+(β3αα3β)Tω++γ1Tp+γ2Tq+γ3Tr}

Пусть на тело не действуют силы, тогда уравнения (12) и (13) не содержат никаких других неизвестных функций, кроме u,v,w,p,q,r, а уравнения (14) и (15) допускают непосредственное интегрирование. Уравнения (14) выражают теоремы о движении центра тяжести, уравнения (15) — теоремы площадей для случая, который мы рассматриваем.
§ 3
В полученных формулах предполагалось, что тело свободно; положим теперь, что одна его точка закреплена, и выберем ее за начало координат систем x,y,z и ξ,η,ζ. Тогда
u=0,v=0,w=0;

но также обращаются в нуль и u,v,ω и λ,μ,v и поэтому лишаются смысла уравнения (12) и (14), которые мы получили из принципа Гамильтона, приравняв нулю коэффициенты при этих величинах. Уравнения примут вид
ddtTp=rTqqTr+Mx,ddtTq=pTrrTp+My,ddtr=qTppTq+Mz

я уравнения (15) при принятом ограничении α=0,β=0,γ=0 превратятся в
ddt(α1Tp+α2Tq+α3Tr)=Mξ,ddt(β1Tp+β2Tq+β3Tr)=Mη,ddt(γ1Tp+γ2Tq+γ3Tr)=Mξ.

1
Оглавление
email@scask.ru