$\mathrm{\S }1$

Если система жестко соединенных материальных точек движется, то смещение, которое она претерпевает за элемент времени $dt$, нам известно из прошлой лекции. Поэтому мы можем во всех выведенных в пятой лекции формулах вместо $\delta$ поставить $d$, т. е. показать, что смещение происходит за элемент времени $dt$. Тогда все бесконечно малые величины, обозначенные буквами со штрихами, должны быть пропорциональными $dt$; каждую из них мы представим в виде произведения $dt$ на соответствующую величину, обозначенную буквой без штриха. Буква со штрихом обозначает компоненты сдвига или вращения, без штриха — соответствующие компоненты скорости или скорости вращения в момент времени $t$.
Согласно выражениям (21) пятой лекции,
$$\begin{array}{l}u+zq-yr,\\ v+xr-zp,\\ w+yp-xq\end{array}$$

являются компонентами скорости точки по осям $x,y,z$ в момент времени $t$ движение можно считать состоящим из вращения вокруг оси, проходящей через точку $x=0,y=0,z=0$, и сдвига; $p,q,r$ — компоненты скорости вращения; $u$, $v$, w-компоненты скорости сдвига.

Из выражений (1) возведением в квадрат и сложением находим квадрат скорости точки $(x,y,z$ ); обозначим ее массу через $m$, а живую силу системы через $T$; тогда
$$2T=\mathrm{\Sigma }m\{(u+zq-yz{)}^2+(v+xr-zp{)}^2+(w+yp-xq{)}^2\},$$

где сумма берется по всем материальным точкам системы. Это уравнение в развернутом виде выглядит следующим образом:
$$\begin{array}{c}2T=(u^2+v^2+w^2)\mathrm{\Sigma }m+2(vr-wq)\mathrm{\Sigma }mx+\\ +2(wp-ur)\mathrm{\Sigma }my+2(uq-vp)\mathrm{\Sigma }mz+\\ +p^2\mathrm{\Sigma }m(y^2+z^2)+q^2\mathrm{\Sigma }m(z^2+x^2)+r^2\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)-\\ -2qr\mathrm{\Sigma }myz-2rp\mathrm{\Sigma }mzx-2pq\mathrm{\Sigma }mxy\end{array}$$

оно показывает, что $T$ — однородная функция второй степени шести аргументов $u,v,w,p,q,r$, коэффициенты которой зависят от масс точек, их относительного расположения и положения осей $x,y,z$. Общая однородная функция второй степени шести переменных содержит 21 независимый друг от друга коэффициент; $T$ содержит их только 10 , и это число подходящим выбором системы осей можно свести до четырех.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прежде всего движение, при котором $u=0,v=0$, w=0, и, следовательно, тело (опять назовем так нашу систему) вращается вокруг точки $x=0,y=0,z=0$. Тогда
$$\begin{array}{c}2T=p^2\mathrm{\Sigma }m(y^2+z^2)+q^2\mathrm{\Sigma }m(z^2+x^2)+r^2\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)-\\ -2qr\mathrm{\Sigma }myz-2rp\mathrm{\Sigma }mzx-2pq\mathrm{\Sigma }mxy,\end{array}$$

и тело вращается вокруг оси, совпадающей с линией, которая может быть проведена от точки $x=0,y=0,z=0$ к точке $x=p,y=q,z=r$, со скоростью вращения, равной длине этой линии. Положим $T=\frac{1}{2}$, тогда точка ( $p,q,r)$ лежит на поверхности
$$\begin{array}{c}1=p^2\mathrm{\Sigma }m(y^2+z^2)+q^2\mathrm{\Sigma }m(z^2+x^2)+r^2\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)-\\ -2qr\mathrm{\Sigma }myz-2rp\mathrm{\Sigma }mzx-2pq\mathrm{\Sigma }nxy,\end{array}$$
т. е. на поверхности второго порядка, центр которой совпадает с началом координат $x,y,z$. Каждый проведенный из этой точки радиус-вектор поверхности равен скорости вращения, которую должно иметь тело, если оно вращается вокруг радиуса-вектора и обладает живой силой, равной $\frac{1}{2}$. Из этой характеристики поверхности следует, что она не зависит от направления осей $x,y,z$; если совместить их с главными осями поверхности, то члены с множителями $pr,rq,pq$ должны исчезнуть; следовательно,
$$\mathrm{\Sigma }myz=0,\mathrm{\Sigma }mzx=0,\mathrm{\Sigma }mxy=0$$

и
$$1=p^2\mathrm{\Sigma }m(y^2+z^2)+q^2\mathrm{\Sigma }m(z^2+x^2)+r^2\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)$$

уравнение поверхности. Из того, что коэффициенты при $p^2,q^2,r^2$ в этом уравнении являются положительными, можно заключить, что поверхностьэллипсоид. Главные оси эллипсоида называют также главными осями тела для начала координат $x,y,z$.

При произвольных направлениях осей координат выражение $\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)$ называют моментом инерции тела относительно оси $z$; он равен квадрату радиуса-вектора эллипсоида (3), который совпадает с осью $z$. Положив $p=0$ и $q=0$, получим $r$ равным длине этого радиуса-вектора, а из уравнения (3) имеем
$$\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)=\frac{1}{r^2}.$$

Моменты инерции относительно главных осей эллипсоида (3) называют главными моментами инерции тела для начала координат $x,y,z$; они равны обратным квадратам его полуосей.

Момент инерции тела относительно оси данного направления изменяется, если эта ось переместится параллельно самой себе. Каково будет это изменение, легко увидеть, если наряду с системой координат $x,y,z$ ввести другую — $x_1,y_1,z_1$. Пусть $x,y,z$ и $x_1,y_1,z_1$ — координаты одной и той же точки; тогда
$$x_1=a+x,y_1=b+y,z_1=c+z,$$

где $a,b,c$ — постоянные; поэтому
$$\mathrm{\Sigma }m(x_1^2+y_1^2)=\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)+(a^2+b^2)\mathrm{\Sigma }m+2a\mathrm{\Sigma }mx+2b\mathrm{\Sigma }my.$$

Встречающиеся здесь суммы $\mathrm{\Sigma }mx$ и $\mathrm{\Sigma }my$ являются координатами $x$ и $y$ центра тяжести тела, умноженными на массу тела; поэтому если поме стить начало координат $x,y,z$ в центр тяжести, то эти суммы исчезнут, и мы будем иметь
$$\mathrm{\Sigma }m(x_1^2+y_1^2)=\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2)+(a^2+b^2)\mathrm{\Sigma }m.$$

Так как ось $z$ может иметь произвольное направление, то это уравнение выражает следуюшую теорему; момент инериии тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно оси, которая параллельна данной и проходіт через центр тяжести тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния центра тяжести от данной оси.

После сделанного разъяснения легко определить положение, которое должна иметь система координат, чтобы выражение для живой силы $T$, данное уравнением (2), было приведено к наиболее простой форме. Для этой цели за начало координат $x,y,z$ выбирается центр тяжести тела и в качестве осей $x,y,z$-главные оси для центра тяжести. Тогда уравне ние (2) примет вид
$$\begin{array}{l}2T=(u^2+v^2+w^2)\mathrm{\Sigma }m+p^2\mathrm{\Sigma }m(y^2+z^2)+\\ +q^2\mathrm{\Sigma }m(z^2+x^2)+r^2\mathrm{\Sigma }m(x^2+y^2).\end{array}$$
$\mathrm{\S }2$
Теперь выведем дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела из принципа Гамильтона, а следовательно, получим уравнение (9) третьей лекции. Для этого необходимо составить вариацию живой силы $\delta T$ и выражение работы действующих сил $U^{\prime }$ для какого-либо изменения положения тела и преобразовать сумму $\delta T+U^{\prime }$ к форме
$$\mathrm{\Sigma }({}^{n}R\epsilon +S\frac{d\epsilon }{dt}),$$

где величины $\epsilon$ бесконечно малы и не зависят друг от друга (они вызваны изменением положения тела). Дифференциальными уравнениями движения будут
$$\frac{dS}{dt}=R$$

Мы вновь примем обозначения предыдущей лекции; для $\epsilon$ мы можем выбрать обозначения либо $u^{\prime },v^{\prime },w^{\prime },p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime }$, либо ${\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime },v^{\prime },{\pi }^{\prime },{\chi }^{\prime },{\rho }^{\prime }$; таким образом, мы получим искомые дифференциальные уравнения в двух формах, каждая из которых имеет свои ‘преимущества. Работа $U^{\prime }$ в требуемой форме в первом случае дается выражением (24), во втором — выраженнем (25) предыдущей лекции.
Но необходимы некоторые вычисления, чтобы составить выражение для $\delta T$. Қак мы уже доказали, $T$ зависит только от $u,v,w,p,q,r$ и постоянных, следовательно,
$$\delta T_i=\frac{\partial T}{\partial u}\delta u_i^{\ast }+\frac{\partial T}{\partial v}\delta v+\frac{\partial T}{\partial w}\delta w+\frac{\partial T}{\partial p}\delta p+\frac{\partial T}{\partial q}\delta q_{\mathrm{i}}^k+\frac{\partial T}{\partial r^{\ast }}\delta r.$$

Прежде всего выразим шесть вариаций $\delta u,\delta v,\delta w,\delta p,\delta q$, $\delta r$ через $u^{\prime }$, $v^{\prime },w^{\prime },p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime }$. Этого мы достигнем, вспомнив, что вариация произвон ной функции равна производной вариации функции.

По уравнению (18) предыдущей лекции
$$\delta \alpha ={\alpha }_1{u}^{\prime }+{\alpha }_2{v}^{\prime }+{\alpha }_3{w}^{\prime }$$

и по замечанию, сделанному в начале этой лекции,
$$\frac{d\alpha }{dt}={\alpha }_{1}u+{\alpha }_{2}v+{\alpha }_{3}w.$$

Составим теперь уравнение
$$\frac{d\delta \alpha }{dt}=\delta \frac{d\alpha }{dt},$$

и так как по уравнению (20) прошлой лекции
$$\delta {\alpha }_1={\alpha }_2{r}^{\prime }-{\alpha }_3{q}^{\prime },\delta {\alpha }_2={\alpha }_3{p}^{\prime }-{\alpha }_1{r}^{\prime },\delta {\alpha }_3={\alpha }_1{q}^{\prime }-{\alpha }_2{p}^{\prime },$$

а также
$$\frac{d{\alpha }_1}{dt}={\alpha }_{2}r-{\alpha }_{3}q,\frac{d{\alpha }_2}{dt}={\alpha }_{3}p-{\alpha }_{1}r,\frac{d{\alpha }_3}{dt}={\alpha }_{1}q-{\alpha }_{2}p,$$

то получается
$$\begin{array}{rl}0& ={\alpha }_1(\frac{d{u}^{\prime }}{dt}-\delta u+v{r}^{\prime }-v^{\prime }r+w{w}^{\prime }q-w{q}^{\prime })+\\ & +{\alpha }_2(\frac{d{v}^{\prime }}{dt}-\delta v+w{p}^{\prime }-w^{\prime }p+u^{\prime }r-u{r}^{\prime })+\\ & +{\alpha }_3(\frac{d{v}^{\prime }}{dt}-\delta w+u{q}^{\prime }-u^{\prime }q+v^{\prime }p-v{p}^{\prime }).\end{array}$$

Обратим внимание на то, что вычисления, которые привели нас к этому результату, верны и в том случае, если в них вместо $\alpha$ подставить $\beta$ или $\gamma$; найденное уравнение остается справедливым и при таком изменении. Из сказанного и из уравнений (3) прошлой лекций следует:
$$\begin{array}{l}\delta u=\frac{d{u}^{\prime }}{dt}+v{r}^{\prime }-v^{\prime }r+w^{\prime }q-w{q}^{\prime },\\ \delta v=\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+w{p}^{\prime }-w^{\prime }p+u^{\prime }r-u{r}^{\prime },\\ \delta w=\frac{d^{\prime }{w}^{\prime }}{dt}+u^{\prime }q-u^{\prime }q+v^{\prime }p-v{p}^{\prime }.\end{array}$$

Чтобы найти $\delta p,\delta q$, $\delta r$, развернем уравнение
$$\frac{d\delta {\alpha }_1}{dt}=\delta \frac{d{\alpha }_1}{dt},$$

используя (6) и (7); таким образом,
$$0={\alpha }_2(\frac{d{r}^{\prime }}{dt}-\delta r+p{q}^{\prime }-p^{\prime }q)-{\alpha }_3(\frac{d{q}^{\prime }}{dt}-\delta q-r{p}^{\prime }-r^{\prime }p).$$

Это уравнение остается правильным, если вместо $\alpha$ подставить $\beta$ или $\gamma$, а также если одновременно изменить по циклу индексы $1,2,3$ и буквы $p$,
$q,r$. Отсюда и из уравнений (3) прошлой лекции следует:
$$\begin{array}{l}\delta p=\frac{d{p}^{\prime }}{dt}+q{r}^{\prime }-q^{\prime }r,\\ \delta q=\frac{d{q}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+r{p}^{\prime }-r^{\prime }p,\\ \delta r=\frac{d{r}^{\prime }}{dt}+p{q}^{\prime }-p^{\prime }q.\end{array}$$

Выразим теперь $\delta u,\delta v,\delta w,\delta p,\delta q,\delta r$ через ${\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime },v^{\prime },{\pi }^{\prime },{\chi }^{\prime },{\rho }^{\prime }$; для этой цели используем уравнения
$$\frac{d\alpha }{dt}={\alpha }_{1}u+{\alpha }_{2}v+{\alpha }_3\omega ,\delta \alpha ={\lambda }^{\prime }+\gamma {\chi }^{\prime }-\beta {\rho }^{\prime },$$

второе из которых входит в уравнения (16) предыдущей лекции. По уравнениям (11) предыдущей лекции имеем
$$\delta {\alpha }_1={\gamma }_1{\chi }^{\prime }-{\beta }_1{\rho }^{\prime },\delta {\alpha }_2={\gamma }_2{\chi }^{\prime }-{\beta }_2{\rho }^{\prime },\delta {\alpha }_3={\gamma }_3{\chi }^{\prime }-{\beta }_3{\rho }^{\prime }$$

и, кроме того,
$$\frac{d\beta }{dt}={\beta }_{1}u+{\beta }_{2}v+{\beta }_{3}w,\frac{d\gamma }{dt}={\gamma }_{1}u+{\gamma }_{2}v={\gamma }_{3}w.$$

После этого уравнение $\delta \frac{d\alpha }{dt}=\frac{d\delta \alpha }{dt}$ переходит в ${\alpha }_1\delta u+{\alpha }_2\delta v+{\alpha }_3\delta \omega =$ $=\frac{d{\lambda }^{\prime }}{dt}+\gamma \frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}-\beta \frac{d{\rho }^{\prime }}{dt}$.

Можно теперь одновременно изменить по циклу буквы
$$\begin{array}{l}\alpha ,\beta ,\gamma ,\\ \lambda ,\mu ,v,\\ \pi ,\chi ,\rho ;\end{array}$$

поэтому также
$$\begin{array}{l}{\beta }_1\delta u+{\beta }_2\delta v+{\beta }_3\delta \omega =\frac{d{\mu }^{\prime }}{dt}+\alpha \frac{d{\rho }^{\prime }}{dt}-\gamma \frac{d{\pi }^{\prime }}{dt},\\ {\gamma }_1\delta u+{\gamma }_2\delta v+{\mathrm{{\rm Y}}}_3\delta \omega =\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\beta \frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}-\alpha \frac{d{\chi }^{\prime }}{dt},\end{array}$$

откуда следует (по уравнениям (3) предыдущей лекции):
$$\begin{array}{c}\delta u={\alpha }_1\frac{d{\lambda }^{\prime }}{dt}+{\beta }_1\frac{d{\mu }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_1\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\\ +({\gamma }_1\beta -{\beta }_1\gamma )\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+({\alpha }_1\gamma -{\gamma }_1\alpha )\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+({\beta }_1\alpha -{\alpha }_1\beta )\frac{d{\mathrm{p}}^{\prime }}{dt}\\ \delta v={\alpha }_2\frac{d{\lambda }^{\prime }}{dt}+{\beta }_2\frac{d{\mu }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_2\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\\ +({\gamma }_2\beta -{\beta }_2\gamma )\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+({\alpha }_2\gamma -{\gamma }_2\alpha )\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+({\beta }_2\alpha -{\alpha }_2\beta )\frac{d{\rho }^{\prime }}{dt}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\delta w={\alpha }_3\frac{d{\lambda }^{\prime }}{dt}+{\beta }_3\frac{d{\mu }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_3\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\\ +({\gamma }_3\beta -{\beta }_3\gamma )\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+({\alpha }_3\gamma -{\gamma }_3\alpha )\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+({\beta }_3\alpha -{\alpha }_3\beta )\frac{d{p}^{\prime }}{dt}.\end{array}$$

Чтобы найти $\delta p,\delta q,\delta r$, развернем уравнение
$$\delta \frac{d{\alpha }_1}{dt}=\frac{d\delta {\alpha }_1}{dt},$$

подставив в него
$$\frac{d{\alpha }_1}{dt}={\alpha }_{2}r-{\alpha }_{3}q,\delta {\alpha }_1={\gamma }_1{\chi }^{\prime }-{\beta }_1{\rho }^{\prime },$$

а также приняв во внимание
$$\begin{array}{l}\delta {\alpha }_2={\gamma }_2{\chi }^{\prime }-{\beta }_2{\rho }^{\prime },\frac{d{\beta }_1}{dt}={\beta }_{2}r-{\beta }_{3}q\\ \delta {\alpha }_3={\gamma }_3{\chi }^{\prime }-{\beta }_3{\rho }^{\prime },\frac{d{\gamma }_1}{dt}={\gamma }_{2}r-{\gamma }_{3}q,\end{array}$$

получим
$${\alpha }_2\delta r-{\alpha }_3\delta q={\gamma }_1\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}-{\beta }_1\frac{d{\rho }^{\prime }}{dt}.$$

Отсюда следует при циклической перестановке букв $\alpha ,\beta ,\gamma$ и , $\chi ,\rho$
$$\begin{array}{l}{\beta }_2\delta r-{\beta }_3\delta q={\alpha }_1\frac{d{p}^{\prime }}{dt}-{\gamma }_1\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt},\\ {\gamma }_2\delta r-{\gamma }_3\delta q={\beta }_1\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}-{\alpha }_1\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}.\end{array}$$

Эти три уравнения дают вместе с уравнениями (6) и (7) предыдущей лекции
$$\begin{array}{l}\delta q={\alpha }_2\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+{\beta }_2\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_2\frac{d{\rho }^{\prime }}{dt},\\ \delta r={\alpha }_3\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+{\beta }_3\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_3\frac{d{\rho }^{\prime }}{dt},\end{array}$$

из чего при замене индексов $1,2,3$ и букв $p,q,r$ также следует
$$\delta p={\alpha }_1\frac{d{\pi }^{\prime }}{dt}+{\beta }_1\frac{d{\chi }^{\prime }}{dt}+{\gamma }_1\frac{d{\rho }^{\prime }}{dt}.$$

Подставим теперь данные уравнениями (8) и (9) выражения для $\delta и$, $\delta v,\delta w,\delta p,\delta q,\delta r$ в уравнение (5) для $\delta T$, вместо $U^{\prime }$ подставим выражение (24) предыдущей лекции и преобразуем уравнение (4), расположив ряд для $\epsilon$ по степеням $u^{\prime },v^{\prime },w^{\prime },p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime }$. Получаем таким образом
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial u}=r\frac{\partial T}{\partial v}-q\frac{\partial T}{\partial w}+X\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial v}=p\frac{\partial T}{\partial w}-r\frac{\partial T}{\partial u}+Y\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial w}=q\frac{\partial T}{\partial u}-p\frac{\partial T}{\partial u}+Z,\end{array}$$

H
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial p}=w\frac{\partial T}{\partial v}-v\frac{\partial T}{\partial w}+r\frac{\partial T}{\partial q}-q\frac{\partial T}{\partial r}+M_x,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q}=u\frac{\partial T}{\partial w}-w\frac{\partial T}{\partial u}+p\frac{\partial T}{\partial r}-r\frac{\partial T}{\partial p}+M_y,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \mathit{r}}=v\frac{\partial T}{\partial u}-u\frac{\partial T}{\partial v}+q\frac{\partial T}{\partial p}-p\frac{\partial T}{\partial q}+M_z\end{array}$$

Используем выражения для $\delta u,\delta v,\delta w,\delta p,\delta q,\delta r$ из уравнений (10) и (11) а для $U^{\prime }$ — выражение (25) предыдущей лекци и преобразуем уравнение (4), расположив ряд для $\epsilon$ по степеням ${\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime },v^{\prime },{\pi }^{\prime },{\chi }^{\prime },{\rho }^{\prime }$; получаем в этом случае
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Xi }=\frac{d}{dt}({\alpha }_1\frac{\partial T}{\partial u}+{\alpha }_2\frac{\partial T}{\partial v}+{\alpha }_3\frac{\partial T}{\partial v}),\\ H=\frac{d}{dt}({\beta }_1\frac{\partial T}{\partial u}+{\beta }_2\frac{\partial T}{\partial v}+{\beta }_3\frac{\partial T}{\partial v}),\\ Z=\frac{d}{dt}({\gamma }_1\frac{\partial T}{\partial u}+{\gamma }_2\frac{\partial T}{\partial v}+{\gamma }_3\frac{\partial T}{\partial w}),\end{array}$$

H
$$\begin{array}{l}{M}_{\zeta }=\frac{d}{dt}\left\{\begin{array}{c}({\beta }_1\alpha -{\alpha }_1\beta )\frac{\partial T}{\partial u}+({\beta }_2\alpha -{\alpha }_2\beta )\frac{\partial T}{\partial v}+({\beta }_3\alpha -{\alpha }_3\beta )\frac{\partial T}{\partial \omega }+\\ +{\gamma }_1\frac{\partial T}{\partial p}+{\gamma }_2\frac{\partial T}{\partial q}& +{\gamma }_3\frac{\partial T}{\partial r}\end{array}\right\}\end{array}$$

Пусть на тело не действуют силы, тогда уравнения (12) и (13) не содержат никаких других неизвестных функций, кроме $u,v,w,p,q,r$, а уравнения (14) и (15) допускают непосредственное интегрирование. Уравнения (14) выражают теоремы о движении центра тяжести, уравнения (15) — теоремы площадей для случая, который мы рассматриваем.
§ 3
В полученных формулах предполагалось, что тело свободно; положим теперь, что одна его точка закреплена, и выберем ее за начало координат систем $x,y,z$ и $\xi ,\eta ,\zeta$. Тогда
$$u=0,v=0,w=0;$$

но также обращаются в нуль и $u^{\prime },v^{\prime },{\omega }^{\prime }$ и ${\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime },v^{\prime }$ и поэтому лишаются смысла уравнения (12) и (14), которые мы получили из принципа Гамильтона, приравняв нулю коэффициенты при этих величинах. Уравнения примут вид
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial p}=r\frac{\partial T}{\partial q}-q\frac{\partial T}{\partial r}+M_x,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q}=p\frac{\partial T}{\partial r}-r\frac{\partial T}{\partial p}+M_y,\\ \frac{d}{dt}\partial r=q\frac{\partial T}{\partial p}-p\frac{\partial T}{\partial q}+M_z\end{array}$$

я уравнения (15) при принятом ограничении $\alpha =0,\beta =0,\gamma =0$ превратятся в
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}({\alpha }_1\frac{\partial T}{\partial p}+{\alpha }_2\frac{\partial T}{\partial q}+{\alpha }_3\frac{\partial T}{\partial r})=M_{\xi },\\ \frac{d}{dt}({\beta }_1\frac{\partial T}{\partial p}+{\beta }_2\frac{\partial T}{\partial q}+{\beta }_3\frac{\partial T}{\partial r})=M_{\eta },\\ \frac{d}{dt}({\gamma }_1\frac{\partial T}{\partial p}+{\gamma }_2\frac{\partial T}{\partial q}+{\gamma }_3\frac{\partial T}{\partial r})=M_{\xi }.\end{array}$$