$\S 1$

Механика есть наука о движении; мы охарактеризуем ее задачу так: описать полно и простейшим образом происходящее в природе движение.

Движение – это изменение положения со временем; то, что движется, есть материя. Для понимания движения необходимы и достаточны представления о пространстве, времени и материи. Опираясь на эти представления, механика должна стремиться достигнуть своей цели и создать необходимые ей вспомогательные понятия, например понятия силы и массы.

Описание движения должно быть полным. Значение этого требования совершенно ясно: не должно быть ни одного вопроса, относящегося к движению, который остался бы без ответа. Не столь ясно значение второго требования, состоящего в том, что описание должно быть простейшим. Здесь, возможно, возникнет сомнение, какое же из опнсаний известного явления будет проще; мыслимо также, что какоенибудь описание некоторого явления, которое в данный момент является простейшим, впоследствии, при дальнейшем развитии знаний, будет заменено еще более простым. История механики дает тому многочисленные примеры.
$\S 2$
Движение тела, т. е. части материи, всегда представляется нам очень сложным явлением. Брошенное твердое тело вращается во время своего движения то в одном, то в другом направлении; жидкость, выливаемая из сосуда, меняет свою форму во время падения самыми разнообразными способами. Такие вращения или изменения формы происходят при всяком движении тела, но в менее резком виде. Мы начнем с -рассмотрения простейшего случая, когда все размеры тела бесконечно малы; такое тело называется материальной точкой.

Материальная точка также будет, вообще говоря, во время движения вращаться и изменять свою форму; при этом, так как она бесконечно мала, то ее положение в каждый момент можно обозначать геометрической точкой. Мы ограничимся тем, что будем исследовать изменение ее положения, оставляя без рассмотрения ее вращение и изменение формы.

Обозначим через $x, y, z$ координаты некоторой материальной точки в ее движении, отнесенном к некоторой неизменяемой прямоугольной системе координат, в момент времени $t$. Тогда $x, y, z$ будут функциями $t$ и притом функциями однозначными и непрерывными для всего промежутка времени $t$, соответствующего продолжительности движения. Если они заданы, то и движение, подлежащее рассмотрению, будет вполне определено. Эти функции зависят от выбранной системы координат. Введем другую также прямоугольную и неизменяемую систему координат, и в этой системе обозначим через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ координаты точки, которые раньџе были обозначены через $x, y, z$; тогда, как известно, будет
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=a+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
y^{\prime}=b-\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
z^{\prime}=c-\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z,
\end{array}
\]

где $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$ – постоянные величины, зависящие от взаимного расположения обеих систем; здесь $a, b, c$ – значения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ при $x=0$, $y=0, z=0$, и
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\cos \left(x^{\prime}, x\right), \quad \alpha_{2}=\cos \left(x^{\prime}, y\right), \quad \alpha_{3}=\cos \left(x^{\prime}, z\right), \\
\beta_{1}=\cos \left(y^{\prime}, x\right), \quad \beta_{2}=\cos \left(y^{\prime}, y\right), \quad \beta_{3}=\cos \left(y^{\prime}, z\right), \\
\gamma_{1}=\cos \left(z^{\prime}, x\right), \quad \gamma_{2}=\cos \left(z^{\prime}, y\right), \quad \gamma_{3}=\cos \left(z^{\prime}, z\right),
\end{array}
\]

где $\left(x^{\prime}, x\right)$ – любой из двух дополнительных до $2 \pi$ углов, которые образуют между собой направления осей $x$ и $x^{\prime}$; остальные обозначения аналогичны.
§ 3
Движение точки может быть описано также другими способами, менее непосредственными, но часто более простыми, чем изложенный. Это достигается заданием значений $x, y, z$ для некоторого значения $t$, например для $t=0$, и значений $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ для всех $t$. При этом производные могут быть заданы как функции $t$, или как функции $x, y, z$, или в самом общем случае как функции $x, y, z$ и $t$; каждый раз, однако, эти функции должны быть однозначны для всех систем значений, принимаемых аргументами при движении точки. Пусть при $t=0$
\[
x=x_{0}, \quad y=y_{0}, \quad z=z_{0} .
\]

и для любого $t$
\[
\frac{d x}{d t}=u, \quad \frac{d y}{d t} \leftrightharpoons v, \quad \frac{d z}{d t}=w,
\]

где $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – данные постоянные; $u, v, w$ – данные функции $x, y, z$ и $t$; тогда $x, y, z$ будут, вообще говоря, однозначно определены для каждого значения $t$, как это следует из теории дифференциальных уравнений. Чтобы найти $x, y, z$, надо интегрировать дифференциальные уравнения (3) и получающиеся при этом три произвольные постоянные определить из условий при $t=0$.

Определенные из уравнений (3) величины $u$, $v$, w называются компонентами скорости точки по осям $x, y, z$ для времени $t$. Сама скорость получает при этом определенную величину и направление. Чтобы найти ее, будем рассматривать $u$, $v$, w как прямоугольные координаты точки относительно некоторой системы координат, начало которой произвольно, а оси соответственно параллельны осям $x, y, z$. Тогда направление скорости есть направление прямой, идущей от начала этой новой системы
координат до точки ( $u, v$, ш), а величина скорости – длина прямой. Эти определения равнозначны следующим: величина скорости равна положительному значению корня
\[
\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}},
\]

а ее направление есть направление линии, образующей с осями координат углы, косинусы которых суть
\[
\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}}, \frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+\omega^{2}}}, \frac{w}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}} .
\]

Легко видеть, что скорость точки зависит единственно от ее движения, но не от системы координат, выбранной для его исследования. Можно убедиться в справедливости этого утверждения, если одно и то же движение отнести сначала к одной, а потом к другой системе координат и в обоих случаях найти скорость согласно установленному определению.

Пусть в новой системе $x^{\prime}, y^{\prime} ; z^{\prime}$ – координаты той точки, которая в старой системе имела координаты $x, y, z$; тогда эти величины связаны уравнениями (1). Дифференцируя эти уравнения и обозначая, по аналогии с (3),
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t} \equiv u^{\prime}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=v^{\prime}, \quad \frac{d z^{\prime}}{d t}=w^{\prime},
\]

где $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ – компоненты скорости точки по осям $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, получим:
\[
\begin{aligned}
u^{\prime} & =\alpha_{1} u+\alpha_{2} v+\alpha_{3} w, \\
v^{\prime} & =\beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3} w, \\
w^{\prime} & =\gamma_{1} u+\gamma_{2} v+\gamma_{3} w .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения показывают, что $u$, $v$, w и $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ – координаты одной и той же точки в двух системах координат, имеющих общее начало, причем в одной системе они параллельны осям $x, y, z$, а в другой-осям $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Прямая линия, проведенная из общего начала в эту точку, определяет по величине и направлению скорость, о которой идет речь; при этом безразлично, пользоваться ли системой координат $x, y, z$, или $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$.

Обозначим через $d$ s бесконечно малый линейный элемент, который точка проходит в бесконечно малый промежуток времени; тогда
\[
\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}=d s
\]

и, следовательно,
\[
\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}=\frac{d s}{d t},
\]
т. е. величина скорости равна бесконечно малому линейному элементу, который точка проходит в некоторый элемент времени, деленному на этот элемент. Введя $d s$, выразим через $\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}$ данные в (4) косинусы углов, образуемых направлением скорости с осями координат; тогда получим косинусы углов, образуемых с осями координат касательной к траектории, проведенной в точке $(x, y, z)$ в направлении движения точки. Таким образом, направление этой касательной и есть направление скорости.

Простейшим случаем движения будет такой, когда $u$, $v$, w постоянны. При этом интегрирование дифференциальных уравнений (3) даст
\[
x=x_{0}+u t, \quad y=y_{0}+v t, \quad z=z_{0}+w t .
\]

В этом случае траектория есть прямая, уравнения которой
\[
\frac{x-x_{0}}{u}=\frac{y-y_{0}}{v}=\frac{z-z_{0}}{w},
\]
т. е. прямая, проведенная в направлении постоянной скорости через точку $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. Такое движение точки называется равномерным.
§ 4
Движение материальной точки, вообще говоря, также вполне определено, если для $t=0$ заданы положение и скорость, а для каждого значения $t$ – значения производных $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$. Пусть для $t=0$
\[
\begin{array}{c}
x=x_{0}, \quad y=y_{0}, \quad z=z_{0}, \\
\frac{d x}{d t}=u_{0}, \quad \frac{d y}{d t}=v_{0}, \quad \frac{d z}{d t}=w_{0},
\end{array}
\]

и для любого $t$
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y, \quad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z,
\]

где величины с индексом 0 суть постоянные, а $X, Y, Z$ обозначают данные функции от $x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ и $t$, однозначные для всякой системы значений аргументов.

Интегрируя дифференциальные уравнения (5) и выбрав вводимые ири этом шесть произвольных постоянных так, чтобы были удовлетворены условия при $t=0$, мы найдем $x, y, z$ как функции от $t$. Определяемые из уравнений (5) величины $X, Y, Z$ называются компонентами по осям координат ускорения точки или ускоряющей силы, действующей на точку.

Выражения «ускорение» и «ускоряющая сила» будем сначала считать вполне равнозначными и пользоваться при описании движения то одним, то другим. До введения так называемой движущей силы для краткости будем опускать слово «ускоряющая», постоянно подразумевая его.
Ускорение имеет величину и направление; его величина равна
\[
\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}},
\]

а направление образует с осями координат углы, косинусы которых суть
\[
\frac{X}{\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}, \frac{Y}{\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}, \frac{Z}{\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}} .
\]

Другими словами: если рассматривать $X, Y, Z$ как прямоугольные координаты некоторой точки в системе координат, оси которой параллельны осям $x, y, z$, то длина прямой, проведенной из начала координат в эту точку, определит величину, а направление ее-направление ускорения.

Данное определение ускорения вполне соответствует введенному в предыдущем параграфе для скорости. K этому можно добавить исследование, подобное проведенному в § 3 . Наряду с системой координат $x, y, z$ введем систему $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Дифференцируя дважды уравнения (1), которые здесь опять имеют место, найдем:

\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}=\alpha_{1} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\alpha_{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\alpha_{3} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}, \\
\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}=\beta_{1} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\beta_{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\beta_{3} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}, \\
\frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}=\Upsilon_{1} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\Upsilon_{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\Upsilon_{3} \frac{d^{2} z}{d t^{2}},
\end{array}
\]

или, при помощи уравнений (5) и им соответственных со штрихами, получим:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}=\alpha_{1} X+\alpha_{2} Y+\alpha_{3} Z, \\
Y^{\prime}=\beta_{1} X+\beta_{2} Y+\beta_{3} Z, \\
Z^{\prime}=\Upsilon_{1} X+\gamma_{2} Y+\gamma_{3} Z .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что величина и направление ускорения, так же как величина и направление скорости, не зависят \”от системы координат, к которой отнесено движение.

В этом параграфе, подобно предыдущему, мы ввели первые и вторые производные координат движущейся точки по времени; но мы могли бы ввести производную третьего и более высоких порядков. Однако опытом установлено, что представление встречающихся в природе движений не выиграло бы от этого в простоте, а напротив, проиграло бы. Причина этого заключается в том, что, как можно заключить из наблюдений, во всех встречающихся движениях вторые производные координат материальной точки по времени сами есть функции только координат и не зависят от начальных значений координат и компонент скоростей.
$\S 5$
На основании введенных определений мы в состоянии теперь очень простым способом и с большой степенью точности провести описание одного класса движений, происходящих на Земле, а именно, движения падающих и брошенных тел, поскольку они могут быть рассматриваемы как материальные точки и размеры их траекторий малы по сравнению с размерами Земли, а влияние воздуха, как и движение Земли, незаметно. При этих условиях названное движение может быть описано с помощью следующего утверждения: на тело действует направленная по вертикали вниз постоянная сила, называемая силой тяжести.

Возьмем ось $z$, направленную по вертикали вниз, и обозначим тяжесть буквой $g$; тогда запишем дифференциальные уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=g .
\]

Их интегралы суть
\[
\begin{array}{l}
x=a+a^{\prime} t, \\
y=b+b^{\prime} t, \\
z=c+c^{\prime} t+\frac{g_{2}}{} t^{2},
\end{array}
\]

где $a, b, c$ и $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ – шесть произвольных постоянных, из которых три первые дают координаты положения, а три последние-компоненты скорости в момент $t=0$.

Между величинами $x$ и $y$, исключив $t$, можно найти линейную зависимость; тело движется в вертикальной плоскости. Примем ее за плоскость $y, z$, т. е. положим $x=0$, и, исключая время $t$ из второго и третьего уравнений, получим уравнение между $y$ и $z$, в которое $y$ войдет как в первой, так и во второй степени, а $z$-только в первой степени. Следовательно, траекторией движения является парабола, ось которой параллельна оси $z$, т. е. вертикальна. При $b^{\prime}=0$ парабола вырождается в вертикальную прямую.

§ 6

Другой пример, показывающий, какое упрощение описания существующего в природе движения получается при введении понятия силы, представляет движение планеты вокруг Солнца. Оно может быть с известной степенью точности описано посредством так называемых законов Қеплера; мы сможем объединить их в один закон, отличающийся большой простотой.

По первому закону Кеплера планета движется так, что ее радиус-вектор, проведенный от Солнца, описывает в равные времена равные площади; по второму закону траектория планеты есть эллипс, в фокусе которого находится Солнце.
Примем плоскость траектории за плоскость $x O y$, т. е. положим $z=0$; если мы теперь обозначим через $X, Y, Z$ компоненты действующей на планету силы, то $Z=0$, т. е. сила параллельна плоскости траектории. Затем поместим начало координат в Солнце и полюжим
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi,
\]

причем $r$ будем считать положительным. Здесь $r$-длина радиуса-вектора, проведенного от Солнца к планете в момент $t$, и $\varphi$ – угол, который этот радиус образует с осью $x$ (фиг. 1); при этом за положительное направление вращения радиуса-вектора мы примем то, в котором надо повернуть на прямой угол ось $x$, чтобы она совпала с положительным направлением оси $y$. Предположим оси $x$ и $y$ выбранными так, что $\varphi$ возрастает со временем.

Удвоенная площадь треугольника равна произведению двух сторон, заключающих угол, на синус этого угла. Если этот угол бесконечно мал, то синус можно заменить самим углом, при условии, что угловая единица равна $\frac{180^{\circ}}{\pi}$. Эту единицу мы введем раз навсегда. Следовательно, удвоенная площадь треугольника, описываемого радиусом-вектором планеты за время $d t$, есть $r^{2} d \varphi$; мы положим
\[
r^{2} d \varphi=c d t .
\]

По первому закону Кеплера $c$ постоянное и притом, вследствие сделанного выбора осей, положительное. Дифференцируя уравнения (8), получим
\[
\begin{array}{l}
d x=\cos \varphi d r-r \sin \varphi d \varphi, \\
d y=\sin \varphi d r+r \cos \varphi d \varphi ;
\end{array}
\]

перемножая их надлежащим образом с уравнениями (8) и вычитая одно из другого, будем иметь
\[
x d y-y d x=r^{2} d \varphi .
\]

Следовательно, в сһилу (9)
\[
x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}=c
\]

откуда, приняв во внимание уравнения (5), получим
\[
X: Y=x: y .
\]

Эта пропорция показывает, что действующая на планету сила либо направлена к Солнцу, либо имеет противоположное направление; другими словами, сила, исходящая от Солнца, – притягивающая или отталкивательная. Вследствие этого можно положить
\[
X=-R \frac{x}{r}, \quad Y=-R \frac{y}{r},
\]

причем абсолютная величина $R$ определяет величину силы, и при положительном $R$ сила будет притягивающей, а при $R$ отрицательном – отталкивающей. Умножая эти уравнения на $d x, d y$ и складывая их, приняв во внимание соотношение
\[
x^{2}+y^{2}=r^{2},
\]

а следовательно, и соотношение
\[
x d x+y d y=r d r,
\]

получим
\[
X d x+Y d y=-R d r .
\]

Левая часть этого уравнения на основании (5) будет
\[
\frac{1}{2} d\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right] \text { или }-\frac{1}{2} d\left(v^{2}\right),
\]

если обозначить через $v$ скорость планеты.
Далее, из уравнений (10) и (11), если их возвести в квадрат и сложить, умножив предварительно (10) на $d t$, получим
\[
v^{2}=\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\frac{c^{2}}{r^{2}} .
\]

Отсюда следует:
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=\frac{c^{2}}{r^{3}}-R
\]

Это уравнение мы сопоставим с другим, получающимся из второго закона Кеплера. Пусть $a$-половина большой оси, $e$-эксцентриситет эллиптической траектории, причем $a$ и $e$-положительные величины и $e$ меньше единицы. Направим ось $x$ по большой оси эллипса к перигелию, т. е. к точке траектории, наиболее близкой к Солнцу. Тогда уравнение траектории будет
\[
(x+e a)^{2}+\frac{y^{2}}{1-e^{2}}=a^{2},
\]

или
\[
(x+e a)^{2}+\frac{r^{2}-x^{2}}{1-e^{2}}=a^{2},
\]

или
\[
r^{2}=\left[a\left(1-e^{2}\right)-e x\right]^{2} .
\]

Извлечем корень, принимая во внимание, что $r$ существенно положительно; тогда получим
\[
r=a\left(1-e^{2}\right)-e x .
\]

Из этого следует
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=-e \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-e X=R \frac{e x}{r},
\]

или, в силу (13),
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}=R\left[\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}-1\right]
\]

и, в силу (12),
\[
R=\frac{e^{2}}{a\left(1-e^{2}\right)} \frac{1}{r^{2}} .
\]

Это выражение положительно, следовательно, действующая на планету сила, исходящая от Солнца, есть сила притяжения; она обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца.

Мы преобразуем теперь найденное для этой силы выражение, чтобы ввести время обращения планеты. Обозначим его через $T$. Тогда $c d t$ по (9) есть двойная площадь, описываемая радиусом-вектором планеты за время $d t$, следовательно, $c T$ есть двойная площадь, ограниченная эллиптической траекторией, т. е.
\[
c T=a^{2} \sqrt{1-e^{2}} 2 \pi,
\]

поэтому из (14) имеем
\[
R=4 \pi^{2} \frac{a^{3}}{T^{2}} \frac{1}{r^{2}} .
\]

Но по третьему закону Кеплера отношение $a^{3}: T^{2}$ для всех планет имеет одно и то же значение; из этого следует, что для любой из планет
\[
R=\frac{M}{r^{2}},
\]

где $M$ для всех планет имеет одно и то же постоянное значение, или словами: Солнце притягивает все планеты с силої, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Эта теорема принадлежит Ньютону. Из нее можно посредством вычисления, обратным путем, вывести законы Кеплера, следовательно, теорема Ньютона выражает то же, что и законы Қеплера, но более просто. Однако большая простота – не единственное и не важнейшее преимущество теоремы Ньютона перед законами Кеплера. Основное достоинство теоремы заключается в том, что Ньютон смог прийти, опираясь на нее, к открытию более общего положения, чем сама эта теорема и законы Кеплера, а именно к закону, который точно представляет движение всех небесных тел, если эти тела рассматривать как материальные точки. Таким образом обогащается наше знание.
$\S 7$
Чтобы выразить закон Ньютона, мы должны ввести понятие силы более общее, сравнительно с тем, которое было дано выше. В предыдущих параграфах мы употребляли термины сила и ускорение как вполне равнозначащие, но после обобщения понятия силы мы будем их различать. До сих пор мы употребляли выражение: на точку действует всегда одна сила; теперь же будем говорить: на точку действует одновременно много сил, или действует система сил. При этом каждую силу мы будем, как и раньше, определять непосредственно компонентами по осям координат. Таким образом, если $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, X_{2}, Y_{2}, Z_{2}, \ldots$ – компоненты сил, действующих на точку $(x, y, z)$, то величина и направление этих сил определяются прямыми, проведенными из начала к точкам, координаты которых суть $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, X_{2}, Y_{2}, Z_{2}, \ldots$. Утверждение, что данная система сил действует на точку, должно быть равнозначно с

\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X_{1}+X_{2}+\ldots, \\
d^{2} y=Y_{1}+Y_{2}+\ldots, \\
d t^{2} \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z_{1}+Z_{2}+\ldots
\end{array}
\]

Система сил, действующих на точку, всегда равносильна единственной силе, которая называется равнодействующей системы. Пусть $X, Y, Z$ – компоненты по осям координат равнодействующей данной системы; тогда в силу (15) и (5), имеем
\[
\begin{array}{c}
X=X_{1}+X_{2}+\ldots, \\
Y=Y_{1}+Y_{2}+\ldots, \\
Z=Z_{1}+Z_{2}+\ldots
\end{array}
\]

Это те же уравнения, которые в случае, когда система состоит только из двух сил, представляют аналитическое выражение так называемого правила параллелограмиа сил. Очевидно, что если определенное движение точки происходит под действием нескольких сил, то однозначно определена лишь их равнодействующая; каждую же из сил в отдельности, кроме одной, можно взять произвольной, а эту одну всегда можно зыбрать так, чтобы равнодействующая сделалась равной ускорению.

Только из движения, по нашему мнению, механика может черпать определения понятий, с которыми она имеет дело. Из этого следует, что после введения системы сил вместо простых сил механика не в состоянии дать исчерпывающего понятия силы.

Однако введение системы сил весьма важно, так как опыт показал, что в движениях, встречающихся в природе, всегда можно отыскать такие системы, отдельные силы которых могут быть легче найдены, чем их равнодействующая.
§ 8
Пример этому дает движение небесных тел. Пусть 1,2,.. – индексы рассматриваемых тел; $m_{1}, m_{2}, \ldots$ – постоянные, относящиеся к каждому из этих тел; $r_{12} r_{13}, \ldots$ – расстояния между двумя из них в момент времени $t$; их движение можно представить себе происходящим под действнем сил, с которыми каждое тело действует на все остальные так, что, папример, тело 1 притягивает тело 2 с силой, равной $\frac{m_{1}}{r_{12}^{2}}$. Это и есть закон Ньютона.

Предположим, что мы имеем только три небесных тела. Обозначим координаты их индексами $1,2,3$; тогда уравнения их движения запишутся в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=m_{2} \frac{x_{2}-x_{1}}{r_{13}^{3}}+m_{3} \frac{x_{3}-x_{1}}{r_{13}^{3}}, \\
\frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}}=m_{2} \frac{y_{2}-y_{1}}{r_{12}^{3}}+m_{3} \frac{y_{3}-y_{1}}{r_{13}^{3}}, \\
\frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}}=m_{2} \frac{z_{2}-z_{1}}{r_{12}^{3}}+m_{33} \frac{z_{3}-z_{1}}{r_{13}^{3}},
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=m_{3} \frac{x_{3}-x_{2}}{r_{23}^{3}}+m_{1} \frac{x_{1}-x_{2}}{r_{21}^{3}}, \\
\frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}}=m_{3} \frac{y_{3}-y_{2}}{r_{23}^{3}}+m_{1} \frac{y_{1}-y_{2}}{r_{21}^{3}}, \\
\frac{d^{2} z_{2}}{d t^{2}}=m_{3} \frac{z_{3}-z_{2}}{r_{23}^{3}}+m_{1} \frac{z_{1}-z_{2}}{r_{21}^{3}}, \\
\frac{d^{2} x_{3}}{d t^{2}}=m_{1} \frac{x_{1}-x_{3}}{r_{31}^{3}}+m_{2} \frac{x_{2}-x_{3}}{r_{32}^{3}}, \\
\frac{d^{2} y_{3}}{d t^{2}}=m_{1} \frac{y_{1}-y_{3}}{r_{31}^{3}}+m_{2} \frac{y_{2}-y_{3}}{r_{32}^{3}}, \\
\frac{d^{2} z_{3}}{d t^{2}}=m_{1} \frac{z_{1}-z_{3}}{r_{31}^{3}}+m_{2} \frac{z_{2}-z_{3}}{r_{32}^{3}} .
\end{array}
\]

Задача интегрирования этих дифференциальных уравнений называется задачей трех тел. Эта задача до сих пор строго не решена. Еще более трудная задача возникает для нашей планетной системы, так как число тел, входящих в нее, больше трех.

Однако астрономы убедились, что движения в нашей планетной системе очень точно следуют закону Ньютона, так как сила взаимодействия между каждой планетой и Солнцем, между каждым спутником и его планетой значительно превышает все остальные действующие на них силы.