$\S 1$

Мы будем теперь заниматься движением несжимаемой жидкости в предположении, что существует потенциал скоростей. Уравнение (21) предыдущей лекции переходит для несжимаемой жидкости в следующее:
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0 .
\]

Рассмотрим здесь решение этого дирференциального уравнения в частных произзодных. Уравнение для краткости будем изображать через
\[
\Delta \varphi=0 .
\]

Вначале выведем некоторые свойства однозначных решений этого уравнения.
Пусть $r$-расстояние точки $(x, y, z)$ от точки $(a, b, c)$, т. е.
\[
r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}},
\]

и $m$ – постоянное; тогда
\[
\frac{m}{r}
\]

будет частным решением уравнения (1). В самом деле, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x}=\frac{a-x}{r^{3}}, \quad \frac{\partial^{2} \frac{1}{r}}{\partial x^{2}}=3 \frac{(a-x)^{2}}{r^{5}}-\frac{1}{r^{3}}, \\
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y}=\frac{b-y}{r^{3}}, \quad \frac{\partial^{2} \frac{1}{r}}{\partial y^{2}}=3 \frac{(b-y)^{2}}{r^{5}}-\frac{1}{r^{3}}, \\
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}=\frac{c-z}{r^{3}}, \quad \frac{\partial^{2} \frac{1}{r}}{\partial z^{2}}=3 \frac{(c-z)^{2}}{r^{5}}-\frac{1}{r^{3}} ; \\
\end{array}
\]

поэтому
\[
\Delta \frac{1}{r}=0 \text { вместе с } \Delta \frac{m}{r}=0 .
\]

Мы будем называть выражение (2), как мы это делали раньше, nотенциалом массы $m$ относительно точки $(x, y, z)$, но при этом допустим, что масса может быть как положительной, так и отрицательной. Этот потенциал будет непрерывным во всем пространстве за исключением точки, в которой находится масса, где он делается бесконечным. В бесконечно удаленной области потенциал и его производные бесконечно малы. Обозначим потенциал через $U$, а через $R$ (по величине и направлению), проведенную из начала координат – прямую в точку ( $x, y, z$ ); тогда величины
\[
R U, R^{2} \frac{\partial U}{\partial x}, \quad R^{2} \frac{\partial U}{\partial y}, \quad R^{2} \frac{\partial U}{\partial z}
\]

при возрастании $R$ до бесконечности будут приближаться к значениям
\[
m,-m \cos (R x), \quad-m \cos (R y), \quad-m \cos (R z)
\]

в предположении, что точка $(a, b, c)$, так же как и начало координат, лежит на конечном расстоянии.

Уравнение (1) линейно и однородно, откуда следует, что сумма решений также является его решением; поэтому
\[
\sum \frac{m}{r}
\]

есть также решение, где каждый член суммы различается значениями $a$, $b, c$ и $m$. Мы будем называть это выражение потенциалом масс, лежащих в точках $(a, b, c)$. Он непрерывен всюду, за исключением тех точек, где он делается бесконечно большим. Обозначим его через $U$ и оставим для $R$ то значение, которое было ей придано; тогда, при возрастании $R$ до бесконечности, величины
\[
R U, \quad R^{2} \frac{\partial U}{\partial x}, \quad R^{2} \frac{\partial U}{\partial y}, \quad R^{2} \frac{\partial U}{d z}
\]

будут приближаться к значениям
\[
\sum m,-\cos (R x) \sum m,-\cos (R y) \sum m,-\cos (R z) \sum m .
\]
$\S 2$
Рассмотрим теперь потенциал масс, непрерывно заполняющих некоторый объем. Пусть $d \tau$-элемент этого объема, $k$ – плотность в нем и $r$-его расстояние от точки $(x, y, z)$; поэтому
\[
U=\int \frac{k d \tau}{r} .
\]

Во всех точках $(x, y, z)$, которые лежат вне заполненного массами объема, на конечном расстоянии от его поверхности, этот потенциал имеет те же свойства, как и выше. Именно, он удовлетворяет уравнению (1), всюду непрерывен и, если точка ( $x, y, z$ ) удаляется на бесконечность, выражение (3) сохраняет свое значение, если заменить $\sum m$ интегралом $\int k d \tau$. Внутри заполненного массами объема $U$ есть также непрерывная функция $x, y, z$, но она уже не удовлетворяет уравнению (1), как мы это сейчас увидим. Именно, введем полярные координаты вместо прямоугольных $a, b, c$, по которым производится интегрирование, причем положим
\[
\begin{array}{l}
a=x+r \sin \vartheta \cos w, \\
b=y+r \sin \vartheta \sin w, \\
c=z+r \cos \vartheta
\end{array}
\]

гогда
\[
d \tau=r^{2} d r \sin \vartheta d \vartheta d w
\]
4
\[
U=\iiint k r d r \sin \vartheta d \vartheta d w
\]

Нижний предел $r$ есть нуль, если точка ( $x, y, z$ ) лежит внутри пространства, которому принадлежит $d \tau$, и отличен от нуля в противном случае; он будет конечен или бесконечно мал в зависимости от того, лежит ли рассматриваемая точка на конечном или бесконечно малом расстоянии от поверхности этого объема. Но так как величина, умножаемая на дифференциал $d r d \vartheta d w$, для бесконечно малых значений $r$ не становится бесконечно большой, то во всех этих случаях $U$ имеет определенное конечное значение и изменяется непрерывно с перемещением точки $(x, y, z)$.

Найдем теперь одну из первых производных $U$ и выберем для этого $\frac{\partial U}{\partial z}$. Мы имеем
\[
\frac{\partial U}{\partial z}=\int k \frac{d r}{d z} d \tau
\]

нли, так как $r$, а также и $\frac{1}{r}$ есть функция $z-c$, то
\[
\frac{\partial U}{\partial z}=-\int k \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial c} d \tau ;
\]

лледовательно,
\[
-\int \frac{\partial \frac{k}{r}}{\partial c} d \tau+\int_{\partial c}^{\partial k} \frac{d \tau}{r},
\]

или, наконец,
\[
\frac{\partial U}{\partial z}=\int d s \frac{k}{r} \cos (n z)+\int \frac{\partial k}{\partial c} \frac{d \tau}{r},
\]

если обозначить через $d$ s элемент поверхности наполненного массами объема, а через $n$ – направленную внутрь объема нормаль к $d s$. Второй интеграл, входящий в уравнение (5), есть потенциал того же рода, как $U$, только плотность массы в точке $(a, b, c)$ есть не $k$, а $\frac{\partial k}{\partial c}$. Первый ингеграл мы можем обозначить как потенциал массы, распределенной по поверхности, которой принадлежит $d s$, с плотностью $k \cos (n z)$. Мы употребляем здесь слово плотность в другом смысле, чем до сих пор.

Пусть будет $V$ потенциал относительно точки $(x, y, z)$ некоторой массы плотности $h$, распределенной по поверхности, элемент которой есть $d s$; отсюда
\[
V=\int \frac{h d s}{r} .
\]

Плотность $h$ должна быть конечной и должна изменяться непрерывно по поверхности с конечными размерами, нигде не имеющей бесконечно большой кривизны. Мы докажем, что для точки, которая лежит бесконечно близко к поверхности, $V$ конечно и не испытывает разрыва при переходе точки через поверхность. Систему координат, которую мы можем выбрать произвольно, расположим так, чтобы начало координат находилось на поверхности; точку, к которой относится $V$, возьмем на оси $z$, направив ось перпендикулярно к поверхности. Тогда нам необходимо будет найти $V$ для бесконечно малых положительных и отрицательных значений $z$. Вообразим, что из поверхности вырезана некоторая часть круговым цилиндром, ось которого есть ось $z$, а радиус $R$ бесконечно мал, но сравнительно с $z$ бесконечно велик и от $z$ не зависит. Часть $V$, которая относится к массе, находящейся на вырезанном куске поверхности, обозначим $V_{1}$; другую часть $V$ обозначим через $V-V_{1}$; эта часть не обращается в бесконечность и не будет непрерывной при переходе $z$ через нуль. Выясним, обладает ли $V_{1}$ таким же свойством. Выберем при этом новую единицу длины, и именно так, чтобы $z$ было конечно. Тогда $R$ будет бесконечно велико, и еще высшего порядка будет радиус кривизны поверхности. Вырезанный кусок поверхности станет при этом плоским кругом бесконечно большого радиуса $R$, а его плотность $h$ должна быть рассматриваема как постоянная. Поэтому
\[
V_{1}=2 \pi h \int_{0}^{R} \frac{\rho d \rho}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}},
\]
т. e.
\[
V_{1}=2 \pi h\left(\sqrt{R^{2}+z^{2}}-\sqrt{z^{2}}\right),
\]

где $\sqrt{z^{2}}$ обозначает абсолютное значение $z$. Возвратимся теперь к первоначальной единице длины, при которой $R$ и $z$ бесконечно малы и при которой $V$, вообще, конечно. Тогда, пренебрегая бесконечно малыми, получим $V_{1}^{\prime}=0$. Отсюда следует, что $V$ остается конечным и непрерывным при переходе точки, к которой относится потенциал, через поверхность, на которой находятся массы.

На основании уравнения (7) сделаем еще и другое заключение. Из него следует, что
\[
\frac{\partial V_{1}}{\partial z}=2 \pi h\left(\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}-\frac{z}{\sqrt{z^{2}}}\right),
\]

или, так как $R$ бесконечно велико по сравнению с $z$, то
\[
\frac{\partial V_{1}}{\partial z}=-2 \pi h \frac{z}{\sqrt{z^{2}}},
\]
т. е. $\frac{\partial V_{1}}{\partial z}=-2 \pi h$, если $z$ положительно, или равно $2 \pi h$, если $z$ отрицательно.

Производная $\frac{\partial\left(V-V_{1}\right)}{\partial z}$ изменяется непрерывно при переходе $z$ через нуль; отсюда следует, что $\frac{\partial V}{\partial z}$ возрастает скачком на $-4 \pi h$, когда $z$ переходит через нуль от отрицательных значений к положительным. Добавим к этому, что так как $V$ не получает при этом никакого скачка, $\frac{\partial V}{\partial x}$ и $\frac{\partial V}{\partial y}$ остаются непрерывными.

Чтобы освободиться от зависимости от определенной системы координат, которой мы пользовались при выводе этих предложений, обозначим, в согласии с ранее примененным способом, через $n$ нормаль, которую мы выше обозначали через $z$, и оставим систему координат $x, y, z$ неопределенной. Если точка $(x, y, z)$ проходит в направлении нормали $n$ сквозь элемент поверхности $d s$, то $\frac{\partial V}{\partial n}$ возрастает на $-4 \pi h$ и, как это следует из формул, относящихся к преобразованию прямоугольных координат,
\[
\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}
\]

возрастут на
\[
-4 \pi h \cos (n x), \quad-4 \pi h \cos (n y), \quad-4 \pi h \cos (n z) .
\]

Назовем одну из двух сторон поверхности внутренней, другую-внешней и обозначим через $n_{i}$ и $n_{a}$ соответственно направленную нормаль к $d s$; тогда получим
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{i}}+\frac{\partial V}{\partial n_{a}}=-4 \pi h
\]

Обратимся теперь к исследованию определяемого уравнением (4) потенциала $U$ масс, заполняющих объем. Мы уже видели, что на поверхности этого объема само $U$ остается непрерывным; мы видим теперь, что то же самое имеет место в отношении $\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$. Это следует из уравнения (5) и тех двух уравнений, которые получим из него после замены $z$ и $c$ на $x$ и $a$ или $y$ и $b$, потому что определяемое из уравнения (6) $V$ не получит разрыва на поверхности, элемент которой $d s$. Мы могли бы доказать непрерывность первых производных $U$ на поверхности заполненного массами объема, вводя полярные координаты, как при доказательстве непрерывности самого $U$. Иначе обстоит дело со вторыми производными $U$. Из (5) и (9) следует, что
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial n_{i} \partial z}+\frac{\partial^{2} U}{\partial n_{a} \partial z}=-4 \pi k \cos \left(n_{i} z\right),
\]

и с помощью выражений (8) найдем, что если точка ( $x, y, z)$ приходит извне в объем, наполненный массами, то
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}, \begin{array}{l}
\partial^{2} U \\
\partial y^{2}
\end{array}, \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}}, \\
\frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial z}, \frac{\partial^{2} U}{\partial z \partial x}, \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} \\
\end{array}
\]

скачком увеличиваются соответственно на
\[
\begin{array}{c}
-4 \pi k \cos ^{2}(n x), \quad-4 \pi k \cos ^{2}(n y), \quad-4 \pi k \cos ^{2}(n z), \\
-4 \pi k \cos (n y) \cos (n z), \quad-4 \pi k \cos (n z) \cos (n x), \quad-4 \pi k \cos (n x) \cos (n y) .
\end{array}
\]

Следовательно, скачок, который при этом получает $\Delta U$ (т. е. $\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}+$ $\left.+\frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}}\right)$, будет равен $-4 \pi k$.

Таким образом будем иметь во внешнем пространстве $\Delta U=0$ и в объеме, наполненном массами, бесконечно близко к поверхности
\[
\Delta U=-4 \pi k .
\]

Однако это уравнение имеет место не только бесконечно близко к поверхности, но также и во всем заполненном массами объеме. Чтобы доказать это, представим себе, что этот объем разделен на две части поверхностью, которая проведена бесконечно близко к точке $\left(x, y, z\right.$ ), и назовем $U_{1}$ ту часть $U$, которая относится к массам той части, где находится точка $(x, y, z)$. Тогда будем иметь
\[
\Delta\left(U-U_{1}\right)=0
\]

и
\[
\Delta U_{1}=-4 \pi k,
\]

откуда следует уравнение (11).
§ 3
Мы будем теперь искать потенциал распределения масс, которое определим следующим образом. Обозначим через $d s$ элемент поверхности, по которой распределены массы, $n$ – ее нормаль. Представим себе, что точки поверхности перенесены по нормали $n$ на бесконечно малые длины, которые могут непрерывно изменяться; таким образом образуется вторая поверхность, бесконечно близкая к первой, элементы которой соответствуют элементам первой. Вообразим массу, распределенную по каждому элементу второй поверхности, в точности равную по величине, но противоположную по знаку массе, находящейся на соответственном элементе первой поверхности. Обозначим через $i$ взятое отрицательным произведение плотности массы, расположенной на элементе $d s$ первой поверхности, на расстояние, считаемое положительным в направлении $n$ до соответственного элемента второй поверхности, и будем считать это произведение конечным. Тогда потенциал $W$ в точке $(x, y, z)$ такого распределения масс представится формулой
\[
W=\int i \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n} d s,
\]

где $a, b, c$ по-прежнему обозначают координаты $d s$ и дифференцирование по $n$ относится к смещению точки ( $a, b, c$ ). Такое распределение масс мы будем называть двойныл слоем и в противоположность этому то распределение, потенциал которого определен уравнением (6), простым слоем. Величину $i$ можно было бы назвать плотностью двойного слоя.
Выражение (12), данное для $W$, может быть преобразовано. Имеем
\[
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}=-\frac{1}{r^{2}} \cos (r n),
\]

где через $(r, n)$ обозначен угол, который образует прямая, проведенная от точки ( $x, y, z$ ) к элементу $d s$, с направлением нормали $n$ в этом месте. Обозначим через $d K$ кажущуюся величину площади элемента $d s$, видимого из точки $(x, y, z)$, т. е. кусок шаровой поверхности, описанной радиусом, равным единице, из точки ( $x, y, z$ ), как центра, который вырезается конусом с вершиной в $(x, y, z)$ и с направляющими по периметру $d s$; тогда получим
\[
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}= \pm d K,
\]

где надо взять верхний или нижний знак в зависимости от того, положи телен или отрицателен $\cos (r x)$. Если этот косинус не меняет знака на всей поверхности, которой принадлежит $d s$ [это условие соблюдается всегда, когда из точки ( $x, y, z$ ) нельзя провести касательных к поверхности], то
\[
W= \pm \int i d K
\]

где по-прежнему надо взять верхний или нижний знак в зависимости от того, положителен или отрицателен $\cos (r n)$. Если это условие не соблюдено, то поверхность можно разделить на части, из которых каждая ему удовлетворяет, и представить $W$ как сумму выражений вида (13).

Посмотрим теперь, будет ли непрерывно $W$ в том случае, когда точка $(x, y, z)$ неограниченно приближается к поверхности, которой принадлежит $d s$, или проходит сквозь эту поверхность. Если здесь может иметь место разрывность, то она может происходить только от частей поверхности, бесконечно близко прилегающих к точке ( $x, y, z)$. Возьмем опять начало координат на поверхности, как это мы делали при выводе уравнения (7), дадим оси $z$ направление нормали $n$ и будем искать значение $W$ для случая, когда $x=0, y=0$ и $z$ бесконечно мало.

Представим себе, что из поверхности вырезан кусок круговым цилиндром, ось которого есть ось $z$ и радиус которого равен $R$, и положим, что $R$ бесконечно мало сравнительно с размерами поверхности, но бесконечно велико сравнительно с $z$ и от $z$ не зависит. Обозначим через $W_{1}$ ту часть $W$, которая происходит от этого куска поверхности. Так как поверхность шара с единичным радиусом равна $4 \pi$, то при пренебрежении бесконечно малыми получим из уравнения (13):
для $z$ отрицательного $W_{1}=-2 \pi i$,
для $z$ положительного $W_{1}=+2 \pi i$.
Так как в обоих этих случаях $W_{1}$ не зависит от $z$, то $W$ не может быть бесконечно большим при $z$ бесконечно малом, и так как $W_{1}$ увеличивается скачком на $4 \pi i$, когда $z$, возрастая, проходит через нуль, то это имеет место и для $W$.

Чтобы найти $\frac{\partial W_{1}}{\partial z}$, составим для $W_{1}$ выражение, в котором мы не будем пренебрегать величинами, обращающимися в нуль вместе с $z$. Мы придем к этому выражению при помощи уравнения (12); оно дает
\[
W_{1}=-i \int \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z} d s=2 \pi i \int_{0}^{R} \frac{z \rho d \rho}{\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{s / z}}=2 \pi i\left(\frac{z}{\sqrt{z^{2}}}-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right) .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial W_{1}}{\partial z}=-2 \pi i \frac{R^{2}}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}},
\]

или, так как $z$ бесконечно мало сравнительно с $R$,
\[
\frac{\partial W_{1}}{\partial z}=-\frac{2 \pi i}{R} .
\]

Из того, что $\frac{\partial W_{1}}{\partial z}$ не зависит от $z$ и имеет одно и то же значение для положительных и отрицательных значений $z$, следует, что $\frac{\partial W_{1}}{\partial z}$ для $z=0$ конечно и непрерывно. Следовательно, определяемый из уравнения (12) потенциал двойного слоя $W$ конечен также на его поверхности, но получает увеличение скачком на $4 \pi i$, когда точка $(x, y, z)$ в направлении нормали $n$ проходит сквозь его поверхность; напротив, производная $\frac{\partial W}{\partial n}$ остается на ней конечной и непрерывной.

Если система координат выбрана произвольно, то производные $\frac{\partial W}{\partial x}$, $\frac{\partial W}{\partial y}, \frac{\partial W}{\partial z}$ при переходе через рассматриваемую поверхность претерпевают разрывы, так как скачок, получаемый $W$, вообще говоря (т. е. если $i$ изменяется на поверхности), зависит от места, в котором точка пересекает поверхность. Но если $i$ постоянно ${ }^{9}$, то эти производные не претерпевают разрыва на поверхности; мы напомним об этом при определении многозначного потенциала скоростей в многосвязном пространстве.
§ 4
Выведем теперь одно предложение (теорему Грина), из которого можно получить важнейшие свойства функций, которые могут быть потенциалами скоростей.

Пусть $d \tau$ – элемент вполне ограниченного объема, $x, y, z$-его координаты, $U$ и $V$ – две функции $x, y, z$. Сложим тождества
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x}+U \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(U \frac{\partial V}{\partial x}\right), \\
\frac{\partial U}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y}+U \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(U \frac{\partial V}{\partial y}\right), \\
\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial V}{\partial z}+U \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\left(U \frac{\partial V}{\partial z}\right),
\end{array}
\]

умножим на $d \tau$ и проинтегрируем по объему. Мы будем предполагать, что $U$ и $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ однозначны и непрерывны в объеме, которому принадлежит $d \tau$, и обозначим через $d s$ элемент поверхности этого объема, через $n$ – направленную внутрь.объема нормаль к $d s$. Тогда из уравнений (6) одиннадцатой лекции, которыми мы так часто пользовались, получим
\[
\begin{array}{c}
\int d \tau\left(\frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial V}{\partial z}+U \Delta V\right)= \\
=-\int d s U\left[\frac{\partial V}{\partial x} \cos (n x)+\frac{\partial V}{\partial y} \cos (n y)+\frac{\partial V}{\partial z} \cos (n z)\right]
\end{array}
\]

или
\[
\int d \tau\left(\frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial V}{\partial z}\right)=-\int d \tau U \Delta V-\int d s U \frac{\partial V}{\partial n} .
\]

Это уравнение называется теоремой Грина. Если $V$ и $\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$ также однозначны и непрерывны в рассматриваемом объеме, то при выводе формулы (14) можно будет переставить $U$ и $V$; тогда получим
\[
\int d s\left(U_{\partial n}^{\partial V}-V_{\partial n}^{\partial U}\right)=\int d \tau(V \Delta U-U \Delta V) .
\]

Если, кроме того, $U$ и $V$ будут решениями уравнения (1), то тогда получим
\[
\int d s\left(\begin{array}{c}
\partial V \\
\partial n
\end{array}-V_{\partial n}^{\partial U}\right)=0 .
\]

Мы будем постоянно в этой лекции обозначать через $V$ такую функцию, которая в рассматриваемом пространстве удовлетворяет уравнению $\Delta V=0$ и вместе со свомм первым про ззводными однозначна и непрерывна. Положим далее в уравнении (15) $U$ равным постоянному, что допустимо; тогда оно превратится в
\[
\int d s_{\partial n}^{\partial V}=0 .
\]

Если будем рассматривать $V$ как потенциал скоростей, не зависяций от времени, то это уравнение можно легко истолковать некоторым определенным образом. Оно выражает, что ођъем жидко:ти, вхо ящий в единицу времени в рассматриваемую область, равен нулю, если будем рассматривать объем выходящей жидкости как отрицательный объем входящей.
Положим далее в уравнении (15)
\[
U=\frac{1}{r}, r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} .
\]

Это допустимо, если точка ( $a, b, c$ ) лежІт вне ођъема, элемент которого назван $d \tau$. Если теперь точка ( $a, b, c$ ) лежит внутри первоначально рассматриваемого объема, то уравнение (15) применимо к части его, ко горая останется, если из него выключить бесконечно малый шар, описанный вокруг точки $(a, b, c)$ как центра. Поверхность этого шара должна быть принята во внимание при составлении названного уравнения. Пусть $d S-$ элемент позледней, в то время как $d s$ о оозначает элемент поверхности первоначально рассматриваемого объема; тогда получим
\[
\int \frac{d S}{r^{2}} V+\int \frac{d S}{r} \partial V=\int d s V \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}-\int \frac{d s}{r} \frac{\partial V}{\partial n},
\]

где в левой части формулы $r$ равно бесконечно малому радиусу шара. Второй интеграл этой части обращается в нуль, потому что, вводя полярные координаты, имеем
\[
d S=r^{2} \sin \vartheta d \vartheta d w .
\]

Первый будет равен $4 \pi V$, где $V$ относится к точке $(a, b, c)$. Отсюда для $V$ получим
\[
V=\frac{1}{4 \pi} \int d s V \frac{\partial \frac{1}{r}}{d n}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{d s}{r} \partial V .
\]

Это уравнение представляет значение $V$ для про:звольной точки рассматриваемого объема как сумму потенциалов простого слоя масс и двойного слоя, причем эти слод лежат на поверхности объема и их плотность для элемента $d s$ равна соответственно $-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial V}{\partial n}$ и $\frac{1}{4 \pi} V$. Это уравнение показывает, что высшие производные $V$ по координатам также непрерывны во всем пространстве.

Положим теперь в уравнении (14)
\[
U=V
\]

тогда будем иметь
\[
\int d \tau\left[\left(\begin{array}{l}
\partial V \\
d x
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{l}
\partial V \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{l}
\partial V \\
\partial z
\end{array}\right)^{2}\right]=-\int d s V \frac{d V}{d n} .
\]

Будем рассматривать $V$ как потенциал скоростей, и примем плотность жидкости равной единице; тогда левая часть этого уравненяя есть удвоэнная живая сила ее; мы имеем, такхм образом, выражение этой живой силы через интеграл, взятый по поверхности.
$\S 5$
Теперь из установленных в предыдущем параграфе уравнентй выведем следствия. Преимущественно мы постараемся найти условия для полного определения функции $V$, но при этои ојратим \”вниманде также на свойства этой функция, интересные и в других огнощениях.

Уравнение (17) дает возможно:ть вычисліть $V$ для каждой точки рассматриваемого объәма, если для вгех точек позерхности даны значения $V$ и $\frac{\partial V}{\partial i}$. Но все значения не могут быть заданы пролзвольно; напрогив, $V$ вполне определено для всего ођъема, если для всей позерхногти дано $V$ или для одной части поверхности дано $V$, а для другой $\frac{\partial V}{\partial n}$, и $V$ будет определено до произвольной постоянной, если $\frac{\partial V}{\partial n}$ известно для всей поверхногти. Эго предложәняе вытекает из уравненяя (18).

Действлтельно, пусть для одной части позерхности $V=0$, для другой $\frac{\partial V}{\partial n}=0$; тогда правая часть этого уравнения ојращается в нуль; сләдовательно, обращается в нуль также и левая, и, так как это есть сумма членов, которые не могут быть огрицательными, то, слеұозательно, каж ұый член равен нулю, т. е. $V$ поะтолнно во всем ођъема. Далее, так как $V=0$ для части позерхногти, то оно будет иметь это значение всюду. Пусть теперь значение $V$ для одной части позерхности и $\frac{\partial V}{\partial n}$ для другой имеют данные значения, не равные нулю; пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ – две функции, которые соответствуют этим значениям; тогда $V_{1}-V_{2}$ угозлетворяет сделанным ранее для $V$ предположәниям, огкуда следует, что для всего оэъәма ${ }^{10}$ $V_{1}=V_{2}$.

Подобное же исследование покажет, что если для всей поверхности $\frac{\partial V}{\partial n}=0$, то $V$ равно некогорой неопределенной постоянной, и если для всей поверхности $\frac{\partial V}{\partial n}$ дано, то $V$ определено для всего оъъема до произвольной погтоянной.

Заметим, о Łнако, что из всех функций $V+U$, которые на поверхногти рассматриваемого оъъема получают данные значения и в нем оұнозначны и непрерывны, функция $V$, которая имеет эти значения на поверхногти, дает интегралу наименьшее значение из всех возможных. В самом деле, мы имеем
\[
\begin{array}{c}
\Omega=\int d \tau\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right]+ \\
+2 \int d \tau\left[\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial V}{\partial z} \frac{\partial U}{\partial z}\right]+\int d \tau\left[\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Правильность высказанного утверждения следует из того, что третий из этих интегралов постоянно положителен, а второй обращается в нуль вследствие уравнения (14), так как $\Delta V=0$ и на поверхности $U=0$. Обозначим второй из трех членов правой части уравнения (19), который, вообще, при бесконечно малом $U$ того же порядка малости, что и $U$, через $\delta \Omega$; тогда $\delta \Omega=0$, если $V$ обладает предполагаемым здесь свойством. Это замечание оказывается полезным, когда требуется в уравнение $\Delta V=0$ вместо прямоугольной системы координат ввести другую. Мы применим его для такого случая.
$\$ 6$
Представим себе шар, описанный вокруг точки ( $a, b, c$ ) произвольным радиусом $R$, который целиком лежит внутри рассматриваемого объема, и применим к нему уравнение (17). Второй интеграл этого уравнения обратится в нуль вследствие (16), и $\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}=\frac{1}{R^{2}}$; тогда мы пол । аем
\[
V=\frac{1}{4 \pi R^{2}}-\int V d s \text {. }
\]

Это уравнение имеет следующий смысл: значение $V$ в центре шара равно среднему арифметическому значений $V$ в точках поверхности шара, т. е. значение $V$ в центре шара лежит между наибольшим и наименьшим значением $V$ на его поверхности. Так как это имеет место, каким бы малым ни был взят шар, то $V$ во всем рассматриваемом пространстве, имеющем любую форму, не может достигать ни максимума, ни минимума; все значения, которые $V$ получает, лежат между наибольшим и наименьшим значениями его на поверхности. Если значения на поверхности равны нулю, то везде $V=0$, и если $V$ задано для поверхности, то оно будет известно и для всего пространства. Таким образом мы доказали вторым способом предложение, уже доказанное в предыдуцем параграфе; этот способ имеет некоторое преимущество по сравнению с ранее примененным, которое сделается очевидным в ближайших параграфах.

Из предложения, что $V$ внутри рассматриваемого пространства не может иметь ни максимума, ни минимума, можно вывести, что
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}
\]

также не достигает здесь максимума, хотя может иметь минимум. Таким образом, если мы будем представлять себе $V$ как потенциал скоростей, то наисольшая скорость должна быть на границе объема.

Чтобы доказать это, представим опять шар внутри рассматриваемого об́ъема. Оєозначим через 0 его центр, через $\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{0},\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{0},\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{0}$ – значення $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ в центре, причем последние обозначения относятся к поверхности шара.

Мы докажем это предложение, если выясним, что не для всех этих точек может быть
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}<\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{0}^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{0}^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{0}^{2} .
\]

Если $\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{0},\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{0},\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{0}$ одновременно обращаются в нуль, то правильность этого утверждения очевидна непосредственно; поээтому этот особенный случай мы можем исключить. Подходящим выбором направления оси $x$ всегда можно достигнуть того, чтобы
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{\circ}=0 \text { и }\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{\Delta}=0^{11} \text {. }
\]

Производная $\frac{\partial V}{\partial x}$ имеет те же свойства, которые предположены у $V$. Отсюда следует, что если $\frac{\partial V}{\partial x}$ не для всех точек шаровой поверхности постоянно, то на ней имеется точка, для которой
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}>\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{0}^{2}
\]

Но при сделанном выборе системы координат
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2} \geqq\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{0}^{2} \\
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2} \geqq\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{0}^{2}
\end{array}
\]

Достаточно \”сложить эти три соотношения, чтобы убедиться в правильности доказываемого положения для случая, когда $\frac{\partial V}{\partial x}$ не постоянно на всей шаровой поверхности. Но если последнее постөянно, то для всех точек шаровой поверхности
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}=\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{0}^{2}
\]

Если при этом $\frac{\partial V}{\partial y}$ и $\frac{\partial V}{\partial z}$ не для всех этих точек обращаются в нуль, то получатся точки, для которых по меньшей мере в одном из соотношений (22) будет иметь место верхний знак, и для них будет существовать неравенство, которое противоречит (21). Если, наконец, для всех точек шаровой поверхности $\frac{\partial V}{\partial x}$ постоянно и $\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial V}{\partial z}=0$, то обе величины, которые сравниваются между собой в (21), будут всегда равны между собой. В этом случае три производные от $V$ будут иметь для всех точек внутри шара одно и то же значение. Тогда скорость всюду имеет одну и ту же величину и одно и то же напралление.

Мы свяжем с уравнением (20) еце другос предложение. Допустим, что в некоторой части рассматрвваемого объема $V=0$. Если $V=0$ не во всем объеме, то пусть будет дана часть его, пограничная с перзой, в пределах которой $V$ отлично от нуля и не меняет знака. Представим шаровую поверхность, центр которой лежит в той части объема, где $V=0$, а сама поверхность частью лежит в этом объеме; частьо же в том, где $V$ отлично
от нуля и остается с одним и тем же знаком. Тогда из уравнения (20) следует, что $V$ отлично от нуля в центре шара. Это противоречие показывает, что если $V$ обращается в нуль в части рассматрлваемого объема, то оно должно обращаться в нуль во всем объеме. Рассуждая так же, как указано в предыдущем параграфе, получхм далее, что если $V$ дано для неко горой части объема, то оно будет определено во всем объеме. Если $V$ в одной части ођъема постоянно, то оно сохранит это значение и во всем объеме.

Если для части объема три пролзводных $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ о5ращаются в нуль, так что $V$ погтоянно, то отсюла следует непогредственно, что они обращаются в нуль также и для всего объема. Докажем, что это должно иметь место и тогда, когда $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ равны нулю только для всех точек некоторо: поверхности. Для этого будем перемещаться по линии, исходящей из некогорой про.зввльной точки и удовлетворяющей дифференциальным уравнениям
\[
d x: d y: d z=\frac{\partial V}{\partial x}: \frac{\partial V}{\partial y}: \frac{\partial V}{\partial z},
\]

которая, следовательно, перпендикулярна к поверхности $V=$ const. Мы будем называть ее линцгй тока, ногому что, есл м мы будем представлять $V^{\prime}$ как не зависяц ий ог времени потенцал скоростей, то в доль нее будет происходить теченле жидкости. Ее про олженґ мокет сделаться неопределенным ${ }^{12}$ только там, где все три произво дные $V$ обращаются в нуль; через каждую же толку, в кого эон этог случай не имеет места, проходит только одна линия тока. Объем, ојразованный линям тока, прилегающями непрерывно одна к другой, мы будем называть нитью тока. Если дана поверхногть, для всех точек которой ско,ость равна нулю, в то время как вбл із по зерхности имеет место дв женяе, то нити тока оказываются на этой поверхности. Рассмотрим часть такой нити тожа, которая ограничена с одной стојоны по ојной поверхностью, а с другой- поперечным сечением, для каждого элемента которого $\frac{\partial V}{\partial n}$ отлично от нуля и имеет одни и те же знаки. К этой части нити тока применим уравнение (16). Заметив, что для всякого элемента божовод поверхности, ојразованной линиями тока, $\frac{\partial V}{\partial n}$ ојращается в нуль, мы получим, что интеграл
\[
\int d s \frac{\partial V}{\partial n},
\]

распространенный по позерхности рассиатрівеемого сечения, равен нулю Это прогиво;ечит услозжю, согласно которому это полеречное сечение могло быть выо́рано. Огсода следует, что не су:цәствет позерхногта, на ко оорой скојость равна нуло, есль двлжнне, војще, имеег место, т. е. есл. $V$ отличется от постоянной. Поэто скорость может ојращаться в нуль только вдоль линй нл: в тощка. Но также и на пх н ти тока не веденному. Все прогтранство, к когоролу орностея $V$, состолт из птей тока, котоде оканиваются на его позерности. В самом деле, линия тока значная нешрерывная функця $x, y, z$ и что на л.нн тока в направлении тенения $V$ постояні возрастаетіз.

Рассмотр тепер отрезок иты тока, огранченный с одной стороны сматризаемыї объем. Пусть $d S$ и $l s$ будут элементы ојехх граниных плоцадей, $N$ и и – іх нормалд, направленные внутрь. Тогда из уравнения

(16) следует, что
\[
\int d S \frac{\partial V}{\partial N}+\int d s \frac{\partial V}{\partial n}=0
\]

и притом
\[
\frac{\partial V}{\partial n}= \pm \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}}
\]

где верхний или нижний знак должен быть взят в зависимости от того, возрастет ли $V$ в направлении нормали или наоборот. Если для всех точек поверхности рассматриваемого объема будет $\frac{\partial V}{\partial n}=0$, то уравнение (23) показывает, что для всех точек внутри него будет $\frac{\partial V}{\partial N}=0$, т. е. $V$ постоянно. Таким образом мы пришли другим путем к предложению, доказанному в предыдущем параграфе.
§ 7
Мы до сих пор предполагали, что объем, в котором мы рассматривали $V$, вполне ограничен. Теперь предположим, что этот объем простирается в бесконечность, так что он только частью ограничен замкнутой конечной поверхностью или незамкнутой поверхностью, простирающейся в бесконечность. Представим себе, что границы оъъема дополнены одной или несколькими поверхностями, лежащими к бесконечности. Тогда к этому объему можно применить все предыдущие предложения. Пря этом надо обратить внимание только на то, что поверхность его бесконечно велика и поэтому бесконечно малые величины, умноженные на элементы этой поверхности, при интегрировании могут дать конечную величину.

Мы доказали в § 5 , что еслі на поверхности $V$ обращается в нуль, то $V=0$ везде. Доказательство, с помощью которого мы пришли в § 5 к этому предложению, неприменимо здесь по приведенным соображениям, если только мы не введем в рассмотрение порядок величин $V$ и $\frac{\partial V}{\partial n}$ в бесконечности. Напротив, заключения, из которых мы вывели это предложение в §6, сохраняют силу также и здесь. Қак на особый случай исключительной важности, мы укажем на следующее: если во всем неограниченном пространстве $V$ конечно и непрерывно и известно, что $V$ обращается в нуль в бесконечности, хотя и неизвестен его порядок в бесконечности, то отсюда необходимо, чтоб́ы $V$ всюду было равно нулю.

Далее, в § 5 и 6 мы доказали предложение, что если $\frac{\partial V}{\partial n}$ обращается в нуль на поверхности, то $V$ должно быть постоянно. Это предложение без ограничения здесь неверно; необходимое ограничение легко вывести из исследования, которое мы пролзвели в конце предыдущего параграфа. Размеры вполне ограниченного пространства, о котором идет речь, могут быть конечны или бесконечны, но если
\[
\int d s \frac{\partial V}{\partial n},
\]

распространенный на любую часть его поверхности, обращается в нуль, то всюду $V$ равно постоянному. Если $\frac{\partial V}{\partial n}$ дано до величин определенного здесь порядка, то $V$ будет определено до добавочной постоянной ${ }^{14}$.

Для некоторых задач гидродинамики, которыми мы будем заниматься, мы установим еще следующее положение. Пусть рассматриваемое пространство будет частью ограничено конечными замкнутыми поверхностями н по всем направлениям будет простираться в бесконечность. Пусть $\frac{\partial V}{\partial n}$ дано для каждой из этих поверхностей, и предположим, что в бесконечности $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ обращаются в нуль, но порядок величины производных в бесконечности не указан. Если будем представлять себе $V$ как потенциал скоростей, то последнее обстоятельство мы можем выразить следующим образом: жидкость покоится в бесконечности. Мы докажем, что $V$ определено при этом до добавочного постоянного.

Представим себе вокруг точки $(a, b, c)$ в жидкости шаровую поверхность, описанную постоянным бесконечно большим радиусом; обозначим через $d S$ элемент этой шаровой поверхности и через $d s$ – элемент первоначально заданой граничной поверхности. В силу уравнения (17) значение $V$ в точке $(a, b, c)$ будет
\[
\begin{array}{l}
V=\frac{1}{4 \pi} \int d s V \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{d s}{r} \frac{\partial V}{\partial n}+ \\
+\frac{1}{4 \pi R^{2}} \int V d S-\frac{1}{4 \pi R} \int d S \frac{\partial V}{\partial n} .
\end{array}
\]

Из этих четырех членов последний обрацается в нуль, так как $R$ бесконечно велико. В самом деле, положим
\[
\frac{1}{4 \pi} \int d s \frac{\partial V}{\partial n}=-M,
\]

де $M$-данное конечное число; тогда из (17) будем иметь
\[
\frac{1}{4 \pi} \int d S \frac{\partial V}{\partial n}=+M \text {. }
\]

Третий из этих четырех членов есть среднее арифметическое значениє $V$ для элементов бесконечно большой шаровой повєрхности; следовательно, он равен постоянному. Действительно, если точка ( $a, b, c$ ) сместится на конечную длину вместе с описанной вокруг нее шаровой поверхностью, то значения $V$, относящиеся к единственному элементу $d S$, получат бесконечно малые изменения, так как $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$ бесконечно малы в бесконечности. Таким образом, среднее арифметическое этих изменений будет также бесконечно мало, и таковым же будет изменение, получаемое названным членом. Если $C$ означает это постоянное, то отсюда имеем
\[
V-C=\frac{1}{4 \pi} \int d s V \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{d s}{r} \frac{\partial V}{\partial n} \text {. }
\]

Это уравнение позволяет судить о порядке величин, производных $v$ в бесконечности. На шаровой поверхности, описанной бесконечно большим радиусом $R$ вокруг начала координат, с точностью до величнн, стремяцихся к нулю по сравнению с данными, если $M$ конечно, мы получаем
\[
V-C=\underset{R}{M}, \frac{\partial V}{\partial n}=\frac{M}{R^{2}} .
\]

Таким образом, если для элемента первоначально данной граничной поверхности производные $\frac{\partial V}{\partial n}$ и, следовательно, по (24), $M$ даны, и $d S$ означает элемент произвольной части бесконечно большой шаровой поверхности, то интеграл
\[
\int d S \frac{\partial V}{\partial n}
\]

до величин, обращающихся в нуль, определен, и на основании изложенного выше результата $V$ будет определено до добавочной постоянной.

Рассмотрим еще более частный случай. Рассмотрим движение жидкости, в которой движется известным образом твердое тело. Тогда поверхности тела суть те поверхности, элементы которых мы обозначали через $d$. Здесь $M=0$, потому что для каждого из тел
\[
\int d s \frac{\partial V}{\partial n}
\]

равно нулю. В самом деле, умножая этот интеграл на элемент времени $d t$, мы видим, что он равен измененню в этот элемент времени вытесненного телом объема жидкости, т. е. его собственного объема. На основании предыдущего рассуждения движение жидкости будет определено вполне, если еще будет установлено, что в бесконечности жидкость находится в покое. Оно будет также определено, если вместо этого условия ввести условие, что жидкость заключена в твердую неподвижную шаровую поверхность бесконечно большого радиуса, описанную вокруг начала координат. В самом деле, для всякого элемента этой поверхности $\frac{\partial V}{\partial n}$ в точности равно нулю. В обоих этих случаях двчжение жидкости одно и то же, потому что в каждом из них
\[
\int d S \frac{\partial V}{\partial n}
\]

распространенный на любую часть названной шаровой поверхности, обра щается в нуль.
$\S 8$
После этих разъяснений об однозначиых решениях дифференциального уравнения $\Delta \varphi=0$, мы займемся многозначным решением, которое может быть, как мы видели в конце предыдущей лекции, потенциалом скоростей в многосвязном пространстее. При этом мы ограничимся рассмотрением двусвязного пространства. Те заключения, которые мы сделаем по отношению к этому случаю, легко можно распространить на случай связности более высокого порядка.

Вообразим, что данное двусвязное пространство превращено поперечным сечением в односвязное. Тогда в нем, если для одной точки выберем одно из значений $\varphi$, то $\varphi$ будет функцией однозначюй. На обеих сторонах сечения $\varphi$ может иметь различные значения, однако только такие, что 甲 получает один и тот же скачок, в каком єы месте поперечного сечения мы через него ни переходили. При этом произгодные $\varphi$ по $x, y, z$ не имеют скачка.

Предположим теперь, что выбранғо сеченуе пғоголжено произвольне наружу так, что получится некоторая вполне ограниенная поверхность, часть которой, лежащую внут ри даннного пространства, представляет рассматриваемое сечение. Обозначим через $d s$ элемент этой поверхности, через $n$ – нормаль к $d s$, направленную в одну сторону от поверхности, и положим, как в уравнении (12),
\[
W=i \int \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}-d s,
\]

причем будем понимать под $i$ постоянное. Это $W$, на основании предыдущего исследования ( $(3$ ), в данном двусвязном пространстве есть однозначная функция, удовлетворяющая уравнению $\Delta \mathscr{W}=0$ и обладающая тем свойством, что ее про вззодные непрерывны. Она сама также непрерывна вне рассматриваемого сечения. Если точка $(x, y, z)$ переходит через него в направлении но змали $n$, то $W$ получает скачком изменение на 4лi. Положим теперь, что погтоянное $i$ выбрано так, что этот скачок имеет ту же величину, что и скачок $\varphi$ на этом сечении; тогда $\varphi-W$ будет на нем непрерывно, и если мы положим
\[
\varphi=V+W,
\]

то $V$ будет обладать всеми свойствами, которыми обладает функция, прежде обозначенная этой буквой.

Уравнение (26) определяет для каждой точки рассматриваемого пространства только одо значение $\varphi$. Мы можем видоизменить $W$ так, чтобы уравнение (26) представляло все значения $\varphi$. Для этого мы должны определить $W$ вместо (25) уравнениями
\[
\frac{\partial W}{\partial x}=i \frac{\partial}{\partial x} \int \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n} d s, \frac{\partial W}{\partial y}=i \frac{\partial}{\partial y} \int \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n} d s, \frac{\partial W}{\partial z}=i \frac{\partial}{\partial z} \int \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n} d s,
\]

с дополнением, что $W$ всюду непрерывно, причем оно будет многозначным. Можно упомянуть, что $W$ есть потенциал электрического тока, текущего по границе поверхности, элемент которой обозначен через $d s$, с напряжением $i$ относительно магнитного полюса с единицей магнетизма, координаты которого – $x, y, z$.
§ 9
Рассмотрим теперь еще один случай, который будет часто встречаться, именно случай, когда функция $V$ не зависит от одной из координат (например, от $z$ ).

Применим уравнение (17) к объему, который вполне ограничен цилиндрической поверхногтьо, огь которой параллельна оси $z$, или несколькими такими цилиндрическими поверхностями, и двумя плоскостями, параллельными плоскости $x O y$, уравнения которых можно представить в виде $z=-\gamma$ и $z=\gamma$. Прх этом мы будем рассматривать $\gamma$ как величину, бесконечно большую сравнительно со всеми значениями, которые принимают $x$ и $y$ в этом объеме, и даже сравнительно с такими, которые мы будем считать бесконечно большими. Қоординаты точки, к которой относится $V$ в левой части уравненяя (17), обозначим по-прежнему через $a, b, c$ и положим $c=0$. Тогда для элементов $d s$, для которых $z= \pm \gamma, r$ будет бесконечно велико по сравнению с другими рассматриваемыми данными, и оба интеграла уравнекия должны быть поэтому распространены только на пограничную цилиндрическую поверхность. Положим для нее $d s=d l d z$, причем мы понимаем пол $d l$ элемент границы части плоскости $x O y$, которая дежит внутри рассматрхваемого объема; тогда будем иметь
\[
V=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\gamma}^{+\gamma} d l d z \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n} V-\frac{1}{4 \pi} \int_{-\gamma}^{+\gamma} \int_{-\gamma}^{r} \frac{d l d z}{r} \frac{\partial V}{\partial n} .
\]

Положим теперь $p^{2}=(a-x)^{2}+(b-y)^{2}$, следовательно $r^{2}=p^{2}+z^{2}$, и воспользуемся тем, что $V$ и $\frac{\partial V}{\partial n}$ не зависят от $z$ и что нормали $n$ перпендикулярны к оси $z$; далее, так как $\gamma$ бесконечно велико относительно $\rho$, то
\[
\int_{-\gamma}^{+\gamma} \frac{d z}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}=\lg \frac{\gamma+\sqrt{\rho^{2}+\gamma^{2}}}{-\gamma+\sqrt{\rho^{2}+\gamma^{2}}}=2 \lg \frac{2 \Upsilon}{\rho} ;
\]

и, наконец, как это следует из уравнения (16),
\[
\int d l \frac{\partial V}{\partial n}=0
\]

Отсюда получим
\[
V=-\frac{1}{2 \pi} \int d l V \frac{\partial \lg \rho}{\partial n}+\frac{1}{2 \pi} \int d l \frac{\partial V}{\partial n} \lg \rho .
\]

Применим это уравнение к кругу, описанному радиусом $R$ вокруг точки $a, b$ ) и образующему часть площади, к которой относится $V$; мы будем иметь
\[
V=\frac{1}{2 \pi R} \int d l V
\]

так как значение $V$ в центре круга равно среднему арифметическому значений на периферии. Отсюда можно заключить, что на рассматриваемой площади $V$ не обладает ни максимумом, ни минимумом и что если, оно постоянно на периферии, то и всюду имеет постоянное значение. Также
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial a}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial b}\right)^{2}
\]

не может иметь внутри поверхности максимума, хотя и может иметь минимум. Если поверхность, к которой относится $V$, представляет безграничную плоскость $x O y$; причем $V$ в бесконечности обращается в нуль, то оно равно нулю всюду; если в бесконечности $V$ не равно нулю, но $\frac{\partial V}{\partial a}=0$ и $\frac{\partial V}{\partial b}=0$, то эти уравнения имеют место всюду, т. е. $V$ постоянно, так как производные $V$ обладают таким же свойством, как и $V$.

Мы добавим здесь еще следующее предложение. Пусть будет $d f$ – элемент некоторой конечной части плоскости $x O y ; k$ – функция его координат, $\rho$-расстояние этого элемента от точки $(x, y)$ той же плоскости в
\[
U=-2 \int k d f \lg \rho ;
\]

тогда $U$ есть функция $x$ и $y$, которая вместе со своими производными первого порядка однозначна и непрерывна на всей плоскости $x O y$; внутри поверхности, элемент которой обозначен через $d f$, она удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}=-4 \pi k,
\]

где $k$ относится к точке $(x, y)$, а вне ее удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}=0 .
\]

Чтобы доказать это предложение, рассмотрим потенциал $\Omega$ цилиндра, параллельного оси $z$, поперечное сечение которого есть площадь, элемент которой мы обозначим через $d f$. Пусть уравнения его оснований будут $z= \pm \gamma$, где $\gamma$ – постоянное, бесконечно большое относительно координат всех точек, для которых должно быть вычислено $\Omega$. Предположим, что этот цилиндр заполнен массой, так что $k$ есть плотность той нити, которая соответствует элементу $d f$. Обозначим еще через $c$ ординату $z$ точки цилиндра; тогда для точки ( $x, y, z)$ будем иметь
\[
\Omega=\int_{-\gamma}^{+\gamma} \frac{k d f d c}{\sqrt{\rho^{2}+(c-z)^{2}}}
\]

или, на основании (27),
\[
\Omega=-2 \int_{1} k d f(\lg \rho-\lg 2 \gamma),
\]

и, согласно (29), получим
\[
\Omega=U+2 \lg 2 \tau \int k d f .
\]

Если заметим теперь, что второй из двух членов правой части уравнения (30) постоянен, далее, что во всяком рассматриваемом объеме $\Omega$ вместе со своими первыми и вторыми производньми однозначно и непрерывно ( $\Delta \Omega$ внутри цилиндров равно – $4 \pi k$, а вне его равно нулю), то отсюда получим предыдущий результат.

Укажем еце, что если точка $(x, y)$ удаляется в бесконечность и $R$ означает ее расстояние от начала координат, то по данному в (29) определению
\[
U=–2 \lg R \int k d f, \frac{\partial U}{\partial x}=-2 \frac{x}{R^{2}} \int k d f, \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{2 y}{R^{2}} \int k d f .
\]
г. е. $U$ будет бесконечно велико, но его первые производные обратятся жуль.