$\S 1$

Закончим наши исследования по гидродинамике рассмотрением некоторых случаев движения несжимаемой жидкости, при которых сказывается влияние трения. Дифференциальные уравнения для таких движений мы установили уже в одиннадцатой лекции. Обозначим по-прежнему через $u$, $v$, компоненты скорости в момент $t$ в точке ( $x y, z$ ), и положим
\[
\begin{array}{ll}
X_{x}=p-2 k \frac{\partial u}{\partial x}, & Y_{z}=Z_{y}=-k\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right), \\
Y_{y}=p-2 k \frac{\partial v}{\partial y}, & Z_{x}=X_{z}=-k\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right), \\
Z_{z}=p-2 k \frac{\partial w}{\partial z}, \quad X_{y}=Y_{x}=-k\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),
\end{array}
\]

где $k$-обусловленная трением постоянная жидкости, $p$-неизвестная функция $x, y, z, t$; выразим компоненты ускорения так, как это было сделано в § 2 пятнадцатой лекции. Тогда дифференциальные уравнения, о которых идет речь, если принять, что на частицы жидкости не действуют силы, и обозначить плотность жидкости через $\mu$, будут
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}\right)=0 \\
\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}\right)=0 \\
\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}+\frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Z_{z}}{\partial z}\right)=0 \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\end{array}
\]

Подставляя сюда вместо $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ их значения из (1) и пользуясь четвертым из уравнений (2) для упрощения остальных, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}-\frac{k}{\mu} \Delta u=0, \\
\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y}-\frac{k}{\mu} \Delta v=0, \\
\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}+\frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial z}-\frac{k}{\mu} \Delta w=0, \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

На поверхности жидкости, т. е. на поверхности сопрнкасания ее с дру: гим телом, которое может быть твердым или жидким, должны быть выполнены известные условия: некоторые из них могут быть взяты из §6 десятой лекции и $\S 4$ одиннадцатой. Обозначим через $d s$ элемент поверхности соприкасания и через $n$-направленную внутрь рассматриваемой жидкости нормаль к $d s$; тогда компоненты скорости частицы по направлению нормали $n$ с обеих сторон $d s$ должны иметь равные значения; для этой частицы $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ также должны иметь равные значения. Но эти условия недостаточны для нахождения решений дифференциальных уравнений (2) или (3); их необходимо дополнить гипотезой. В некоторых случаях удобной оказывается гипотеза, что сами $u$, $v$, w для частиц, расположенных по обеим сторонам $d s$, имеют равные значения, так что частицы двух тел, которые раз соприкоснулись, останутся в соприкосновении навсегда. Сделаем еще некоторое обобщение предлагаемой гипотезы. Отнесем $u$, $v$, $w$ к частице рассматриваемой жидкости, прилегающей к $d s$; $u_{1}, v_{1}, w_{1}$-к частице с другой стороны $d s$; тогда, как упомянуто, будет
\[
\left(u-u_{1}\right) \cos (n x)+\left(v-v_{1}\right) \cos (n y)+\left(w-w_{1}\right) \cos (n z)=0 .
\]

Мы можем рассматривать $u-u_{1}, v-v_{1}$, w- к $_{1}$ как компоненты относьтельной скорости соприкасающихся частиц и, следовательно, выразить это уравнение так, что эта относительная скорость перпендикулярна к $n$, т. е. параллельна $d s$. Вообразим, что давление, действующее на $d s$, т. е. давление, компоненты которого по осям координат $-X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$, разложено на две компоненты, одна из которых параллельна $n$, другая параллельна $d s$. Согласно данной гипотезе, вторая компонента имеет направление, противоположное относительной скорости, и пропорциональна ей. Аналитическое выражение этой гипотезы мы найдем из следующего рассуждения. Выражение
\[
X_{n} \cos (n x)+Y_{n} \cos (n y)+Z_{n} \cos (n z)
\]

сть компонєнта давления, производимого на $d s$ по направлению $n$. Умножим это выражение на $\cos (n x), \cos (n y), \cos (n z)$; тогда мы получим компоненты по осям координат этой компоненты давления; вычтем эти произведения из $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$; тогда разности дадут компоненты по осям координат той параллельной $d s$ составляющей, которая действует на $d s$. Отсюда по приведенной гипотезе следует, что
\[
\begin{array}{l}
X_{n}-\left[X_{n} \cos (n x)+Y_{n} \cos (n y)+Z_{n} \cos (n z)\right] \cos (n x)=\lambda\left(u_{1}-u\right), \\
Y_{n}-\left[X_{n} \cos (n x)+Y_{n} \cos (n y)+Z_{n} \cos (n z)\right] \cos (n y)=\lambda\left(v_{1}-v\right), \\
Z_{n}-\left[X_{n} \cos (n x)+Y_{n} \cos (n y)+Z_{n} \cos (n z)\right] \cos (n z)=\lambda\left(w_{1}-w\right),
\end{array}
\]

где $\lambda$ – постоянное, зависящее от природы жидкости и соприкасающегося тела.

Допустим, что $\lambda$ бесконечно велико; тогда уравнения (4) приведут к более частной, упомянутой прежде гипотезе, по которой $u=u_{1}, v=v_{1}$, $w=w_{1}$. Другой предельный случай будет, когда $\lambda: 0$. В этом случае уравнения (4) дают
\[
X_{n}: Y_{n}: Z_{n}=\cos (n x): \cos (n y): \cos (n z),
\]

в чем легко убедиться, если разделить их на $\cos (n x), \cos (n y), \cos (n z)$ и вычесть по два одно из другого. В этом случае давление, компонентами которого являются $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$, нормально к поверхности; это должно иметь место, если соприкасающееся тело есть жидкость, в которой можно пренебречь трением.
$\S 2$
Теперь будем искать частные решения уравнений, установленных в предыдущем параграфе. Сперва мы положим, что
\[
u=0 \text { и } v=0,
\]
т. е. движение всюду параллельно оси $z$. Тогда первое, второе и четвертое из уравнений (3) примут вид
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=0, \frac{\partial p}{\partial y}=0, \frac{\partial w}{\partial z}=0,
\]
т. е. $p$ не зависит от $x$ и $y$, w-от $z$. Третье из уравнений (3) будет
\[
\mu \frac{\partial w}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial z}-k\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}\right)=0
\]

откуда, согласно только что сделанному замечанию, следует, что
\[
\frac{\partial p}{\partial z}=c, \quad k\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \tau}{\partial y^{2}}\right)-\mu \frac{\partial w}{\partial t}=c,
\]

где $c$ не зависит от $x, y, z$ и, следовательно, есть функция одного переменного $t$. Мы введем в рассмотрение еще более частное предположение, допуская, что движение установившееся; тогда $c$ постоянно и
\[
\frac{d p}{d z}=c, \quad k\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}\right):=c .
\]

Соответственно этому уравнению жидкость может двигаться в твердой и неподвижной цилиндрической трубе, параллельной оси z. Составим граничные условия, которые должны быть выполнены на внутренней поверхности такой трубы. Из (1) в нашем случае получается
\[
\begin{array}{l}
X_{x}=p, \quad Y_{z}=Z_{y}=-k \frac{\partial w}{\partial y}, \\
Y_{y}=p, \quad Z_{x}=X_{z}=-k \frac{\partial w}{\partial x}, \\
Z_{z}=p, \quad X_{y}=Y_{x}=0,
\end{array}
\]

и так как
\[
\cos (n z)=0,
\]

то из уравнений (7) одиннадцатой лекции следует, что
\[
X_{n}=p \cos (n x), \quad Y_{n}=p \cos (n y), \quad Z_{n}=-k\left[\frac{\partial w}{\partial x} \cos (n x)+\frac{\partial w}{\partial y} \cos (n y)\right]
\]

и
\[
X_{n} \cos (n x)+Y_{n} \cos (n y)+Z_{n} \cos (n z)=p .
\]

Положим в уравнениях (4), которые будем рассматривать как граничные условия, $u_{1}=v_{1}=w_{1}=0$; тогда два первых уравнения будут удовлетворены тождественно, а третье даст
\[
k\left[\frac{\partial w}{\partial x} \cos (n x)+\frac{\partial w}{\partial y} \cos (n y)\right]=\lambda w,
\]

или, что то же самое,
\[
\frac{\partial w}{\partial n}=\frac{\lambda}{k} w .
\]

Допустим теперь, что поперечное сечение есть круг радиуса $R$, центр которого лежит в плоскости $z=0$, и что движение на равных расстояниях от этой оси одинаково. Положим
\[
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ;
\]

тогда второе из уравнений (5) будет
\[
\frac{d^{2} w}{\partial \rho^{2}}+\frac{1 d w}{\rho d \rho}=\frac{c}{k},
\]

откуда следует, что
\[
w=\frac{1}{4} \frac{c}{k} \rho^{2}+A \lg \rho+B,
\]

где $A$ и $B$-произвольные постоянные. Первое из них должно обращаться в нуль, так как $w$ не должно обрсщаться в бесконечность для $\rho=0$; второе получим из (6), т. е. из условия, что при $\rho=R$ будем иметь
\[
\frac{d w}{d \rho}=-\frac{\lambda}{k} w,
\]

откуда следует, что
\[
B=-\frac{c}{2 \lambda} R-\frac{c}{4 k} R^{2} ;
\]

таким образом
\[
w=-\frac{c}{4 k}\left(R^{2}+\frac{2 k}{\lambda} R-\rho^{2}\right) .
\]

Постоянное $c$ найдем из первого из уравнений (5), если будут известны значения $p$ для двух значений $z$. Пусть будет $p=p_{0}$ для $z=0$ и $p=p$ для $z=l$; тогда
\[
c=\frac{p_{l}-p_{0}}{l} .
\]

Обозначим через $Q$ объем жидкости, протекающей в единицу времени в направлении оси $z$ через поперечное сечение; тогда
\[
Q=2 \pi \int_{0}^{R} w \rho d \rho ;
\]

следовательно,
\[
Q=\pi \frac{p_{0}-p_{l}}{8 k l}\left(R^{4}+4 \frac{k}{\lambda} R^{3}\right) .
\]

Этот результат приближенно имеет место в том случае, когда тяжелая жидкость вытекает в атмосферу из обширного сосуда по горизонтальной очень длинной и тонкой трубке. Тогда можно выбрать поперечные сечения $z=0$ и $z=l$ на таком расстоянии от концов трубки, которое велико сравнительно с поперечными размерами последней, но мало сравнительно с $l$, и приравнять $p_{0}$ давлению, которое имеет место в трубке, когда жидкость покоится, а $p_{l}$ – атмосферному давлению.

Измерения количества вытекающей жидкости при таком расположении произведены Пуазёйлем. Он нашел, что
\[
Q=K \frac{p_{0}-p_{l}}{l} R^{4},
\]

где $K$ – величина, которая остается неизменной, когда изменяются $p_{0}, l$ или $R$. Сравнение этого уравнения с (7) приводит прежде всего к заключению, что $\lambda$ рассматрхвалогь как бесконечно большэе; следовательно, было неявно допущено, что жидкие частицы, прикасающиеся к стенкам трубы, к ним прилипают. Далее, найденные для $K$ значения позволяют вычислить $k$ для испытуемой жидкости.
§ 3
Дальнейшие исследования трения жидкости, которые мы произведем, упростим предположением, что жидкие частицы, соприкасающиеся с твердым телом, прилипают к нему и что скорости бесконечно малы. Вследствие последнего, уравнения (3) обратятся в
\[
\begin{array}{ll}
\mu \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}=k \Delta u, & \mu \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial y}=k \Delta v, \\
\mu \frac{\partial w}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial z}=k \Delta w . & \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

Если движение установившееся, то они перейдут в
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p}{\partial x}=k \Delta u, \quad \frac{\partial p}{\partial y}=k \Delta v, \quad \frac{\partial p}{\partial z}=k \Delta w, \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 . \\
\end{array}
\]

Решением этих уравнений будет
\[
p=\text { const }, \quad u=\frac{\partial W}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial W}{\partial y}, \quad w=0,
\]

если $W$ удовлетворяет уравнению
\[
\Delta W=\text { const. }
\]

Поэтому мы можем в (10) положить
\[
W=\frac{c}{r}, \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\]

где $c$ – постоянное, и будем иметь частные решения наших дифференциальных уравнений в виде
\[
p=\text { const }, \quad u=-\frac{c}{r^{3}} y, \quad v=\frac{c}{r^{3}} x, \quad w=0 .
\]

Представляемое ими движение легко поддается обозрению. Исследования, которые мы произвели раньше в $\S 5$ четвертой лекции, показывают, что точки, для которых
\[
u=-\psi y, \quad v=\psi x, \quad w=0,
\]

где $\psi$ означает постоянное, не изменяют своего относительного расположения и движутся так, как если бы они принадлежали твердому телу, которое вращается с постоянной угловой скоростью $\psi$ вокруг оси $z$. Вследствие уравнения (11) условие (12) будет выполнено для точек сферической поверхности, описанной произвольным радиусом $r$ вокруг начала координат, если положить
\[
\psi=\frac{c}{r^{3}} .
\]

Если в жидкости находится твердый шар, уравнение поверхности которого есть $r=r_{1}$ и который вращается с постоянной угловой скоростью $\psi_{1}$ вокруг оси $z$, то уравнения (11) представят возможное движение жидкости, если положить в них
\[
c=\psi_{1} r_{1}^{\bullet} .
\]

Если жидкость ограничена двумя концентрическими сферическими поверхностями, уравнениями которых являются $r=r_{1}$ и $r=r_{2}$, из которых первая (меньшая) вращается с угловой скоростью $\psi_{1}$ вокруг оси $z$, вторая (бо́льшая) покоится, то уравнения (10) дадут возможное движение, если положим в них
\[
W=\frac{c}{r}-\frac{b}{r}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

и надлежащим образом определим постоянные $b$ и $c$. При этом предположении относительно $W$ будем иметь
\[
u=-\left(\frac{c}{r^{3}}+b\right) y, \quad v=\left(\frac{c}{r^{3}}+b\right) x, \quad w=0,
\]

и граничные условия будут выполнены, если положим
\[
\psi_{1}=\frac{r c}{r_{1}^{3}}+b, \quad 0=\frac{c}{r_{2}^{3}}+b,
\]

откуда следует, что
\[
c\left(\frac{1}{r_{1}^{3}}-\frac{1}{r_{2}^{3}}\right)=\psi_{1} .
\]

Если шар радиуса $r_{1}$ должен вращаться с постоянной угловой скоростью, то в направлении движения должен действовать вращательный момент $M$, который должен быть равен моменту вращения давления, производимого на жидкость. Пусть $d s$ будет элемент поверхности шара и $n$-совпадающая с продолжением радиуса нормаль к $d s$; тогда
\[
M=\int d s\left(x Y_{n}-y X_{n}\right)
\]

но мы имеем
\[
Y_{n}=\frac{1}{r}\left(x Y_{x}+y Y_{y}+z Y_{z}\right), X_{n}=\frac{1}{r}\left(x X_{x}+y X_{y}+z X_{z}\right),
\]

и по (1) и (13)
\[
\begin{array}{ll}
X_{x}=p-6 k c \frac{x y}{r^{5}}, \quad Y_{z}=Z_{y}=3 k c \frac{x z}{r^{5}}, \\
Y_{y}=p+6 k c \frac{x y}{r^{5}}, \quad Z_{x}=X_{z}=-3 k c \frac{y z}{r^{5}}, \\
Z_{z}=p, \quad X_{y}=Y_{x}=3 k c \frac{x^{2}-y^{2}}{r^{5}} ;
\end{array}
\]

в этих уравнениях надо всюду положить $r=r_{1}$. Отсюда получаем
\[
Y_{n}=\frac{y}{r} p+\frac{3 k c}{r^{4}} x, \quad X_{n}=\frac{x}{r} p-\frac{3 k c}{r^{4}} y ;
\]

следовательно,
\[
M=\frac{3 k c}{r^{4}} \int d s\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

или, так как
\[
\int x^{2} d s=\int y^{2} d s=\int z^{2} d s=\frac{4 \pi}{3} r^{4},
\]

то
\[
M=8 \pi k c .
\]

Так как в это выражение $r$ не входит, то оно не получит никаких изменений, если положить $r=r_{1}$.

Уравнения (10) могут быть также применены к случаю, когда жидкость ограничена двумя сэфокусными эллипсоидами вращения с осью вращения $z$, при условии, что внешний эллипсоид покоится, а внутренний вращается с постоянной угловой скоростью $\psi_{1}$ вокруг оси $z$. Составим уравнение внутреннего эллипсоида
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{z^{2}}{c_{1}^{2}}=1
\]

и обозначим через $\Omega$ потенциал массы, равной единице, одинаковой плотности, наполняющей ограниченное эллипсоидом пространство, относительно внешней точки $(x, y, z)$. В случае, когда жидкость рассматривается как неограниченная извне, что мы сперва и предположим, можно удовлетворить граничным условиям, если положить
\[
W=c \Omega
\]

и соответственно определить постоянное $c$. Действительно, вследствие уравнения (3) восемнадцатой лекции имеем
\[
\Omega=\frac{3}{4} \int_{0}^{\infty} d \lambda \frac{1-\frac{x^{2}+y^{2}}{a_{1}^{2}+\lambda}-\frac{z^{2}}{c_{1}^{2}+\lambda}}{\left(a_{1}^{2}+\lambda\right) \sqrt{c_{1}^{2}+\lambda}} .
\]

где $\sigma$ означает положительный корень уравнения
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{a_{1}^{2}+\sigma}+\frac{z^{2}}{c_{1}^{2}+\sigma}=1
\]

поэтому уравнения (10) дадут
\[
u=-\psi y, \quad v=\psi x, \quad w=0 .
\]

если положим
\[
\psi=\frac{3}{2} c \int_{\sigma}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a_{1}^{2}+\lambda\right)^{2} \sqrt{c_{1}^{2}+\lambda}} .
\]

Следовательно, точки жидкости, лежащие на эллипсоиде, определенном значением $\sigma$, и софокусным с эллипсоидом (16), движутся так, как если бы они принадлежали твердому телу, вращающемуся с угловой скоростью $\psi$ вокруг оси $z$; тогда значение $c$ определится из уравнения
\[
\psi_{1}=\frac{3}{2} c \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a_{1}^{2}+\lambda\right)^{2} \sqrt{c_{1}^{2}+\lambda}}
\]

Для момента вращения, который должен действовать на эллипсоид, чтобы сооб̈щть ему соответственное вращение, здесь также имеет место уравнение (14). Вычисление момента можно упростить, сделав замечание, которое связано с определением сил давления, данным уравнениями (1) и (2) одиннадцатой лекции. Применим последнее из этих уравнений к произвольной части жидкости, приняв во внимание, что движение установившееся, скорости бесконечно малы и силы не действуют на частицы жидкости; тогда получим
\[
\int d s\left(x Y_{n}-y X_{n}\right)=0,
\]

где $d s$ – элемент поверхности, ограничивающей выбранную часть, $n$ – нормаль, направленная внутрь к $d$ s. Пусть теперь эта часть будет ограничена эллипсоидом и бесконечно большой концентрической сферической поверхностью. Тогда только что сделанное замечание показывает, что $M$ равно интегралу
\[
\int d s\left(x Y_{n}-y X_{n}\right)
\]

распространенному на бесконечную сферическую поверхность, причем под $n$ подразумевается нормаль, совпадающая с продолжением радиуса. Но в бесконечности здесь также имеет место уравнение (15); следовательно, в данном случае также будет
\[
M=8 \pi k c,
\]

где $c$ определяется из (17).
Если жидкость ограничена извне покоящимся эллипсоидом
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{a_{2}^{2}}+\frac{z^{2}}{c_{2}^{2}}=1,
\]

софокусным с эллипсоидом (16), так что
\[
a_{2}^{2}-a_{1}^{2}=c_{2}^{2}-c_{1}^{2},
\]

то надо положить
\[
W=c \Omega-\frac{b}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

так определить $b$ и $c$, чтобы было
\[
\begin{aligned}
\psi_{1} & =\frac{3}{2} c \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a_{1}^{2}+\lambda\right)^{2} \sqrt{c_{1}^{2}+\lambda}}+b, \\
0 & =\frac{3}{2} c \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a_{2}^{2}+\lambda\right)^{2} \sqrt{c_{2}^{2}+\lambda}}+b,
\end{aligned}
\]

откуда следует, что
\[
\psi_{1}=\frac{3}{2} c \int_{0}^{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}} \frac{d \lambda}{\left(a_{1}^{2}+\lambda\right)^{2} \sqrt{c_{1}^{2}+\lambda}} .
\]

При вычислении момента вращения, который должен действовать на внутренний эллипсоид, чтобы сообщить ему требуемое движение, с помощью выражения (14) мы установим, что постоянное $b$ сюда не входит, и получим момент выраженным через $c$ совершенно так же, как если бы жидкость была не ограничена извне; следовательно, здесь пригодно также уравнение (18), если значение $c$ будет взято из (19).

§ 4
Из уравнений (9) следует, что
\[
\Delta p=0 .
\]

Допустим, что $p$ соответствует этому условию, и определим функцию $V$ так, чтобы она удовлетворяла уравнению
\[
\Delta V=\frac{1}{k} p
\]

тогда уравнения (9) будут удовлетворены, если мы положим
\[
u=\frac{\partial V}{\partial x}+u^{\prime}, \quad v=\frac{\partial V}{\partial y}+v^{\prime}, \quad w=\frac{\partial V}{\partial z}+w^{\prime}
\]

и выберем $u^{\prime}, v^{\prime}$, w’ так, чтобы было

и
\[
\begin{array}{l}
\Delta u^{\prime}=0, \quad \Delta v^{\prime}=0, \quad \Delta w^{\prime}=0 \\
\frac{\partial u^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial v^{\prime}}{\partial y}+\frac{\partial w^{\prime}}{\partial z}=-\frac{1}{k} p .
\end{array}
\]

Поэтому мы можем положить
\[
\frac{1}{k} p=2 c \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}, \quad u^{\prime}=0, \quad v^{\prime}=0, \quad \omega^{\prime}=-\frac{2 c}{r},
\]

и, так как
\[
\Delta \frac{r}{2}=\frac{1}{r} .
\]

то
\[
V=a z+b \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}+c \frac{\partial r}{\partial z}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
u=3 b \frac{x z}{r^{5}}-c \frac{x z}{r^{3}}, \quad v=3 b \frac{y z}{r^{5}}-c \frac{y z}{r^{3}} \\
w=a+b\left(\frac{3 z^{2}}{r^{5}}-\frac{1}{r^{3}}\right)-c\left(\frac{z^{2}}{r^{3}}+\frac{1}{r}\right),
\end{array}
\]

где $a, b, c$ – произвольные постоянные. Их можно определить так, чтобы для некоторого значения $r$, которое можно обозначить $R$, было
\[
u=0, \quad v=0, \quad w=0 ;
\]

для этого имеем уравнения
\[
\frac{3 b}{R^{2}}=c, \quad a=\frac{b}{R^{3}}+\frac{c}{R},
\]

для которых следует, что
\[
b=\frac{R^{3} a}{4}, \quad c=\frac{3 R a}{4} .
\]

Тогда уравнения (20) представят движение жидкости, которая на бесконечности всюду течет в направлении оси $z$ со скоростью $a$ и в которой покоится шар, описанный вокруг начала координат радиусом $R$.

Пусть $Z$ будет сила, которая должна действовать на шар в направлении оси $z$, чтобы удержать его на месте; тогда
\[
Z=\int d s Z_{n}=\int \frac{d s}{r}\left(x Z_{x}+y Z_{y}+z Z_{z}\right),
\]

где $d s$ означает элемент поверхности шара, описанного вокруг начала координат радиусом $r$, и должно быть взято $r=R$. Но вместо этого значения $r$ можно также выбрать любое большее, потому что из третьего из уравнений (1) одиннадцатой лекции вытекает, что
\[
\int d s Z_{n}=0
\]

если $d s$ есть элемент поверхности, ограничивающий любую часть жидкости. Есть некоторая выгода принять в уравнении (21) $r$ бесконечно большим; действительно, тогда можно при вычислении $Z_{x}, Z_{y}, Z_{z}$ из уравнений (1) при помощи (20) пренебречь членом с множителем $b$. Для бесконечно больших $r$ найдем
\[
Z_{x}=-6 k c \frac{x z^{2}}{r^{5}}, \quad Z_{y}=-6 k c \frac{y z^{2}}{r^{5}}, \quad Z_{z}=-6 k c \frac{z^{3}}{r^{5}}
\]

и поэтому
\[
Z=-6 k c \frac{1}{r^{4}} \int z^{2} d s=-8 \pi k c \text { или } Z=6 \pi k R a .
\]

На основании замечания, неоднократно использованного нами, полученное уравнение годится также в случае, когда система координат, к которой оно относится, вместо того чтобы покоиться, движется поступательно в каком-нибудь направлении с постоянной скоростью. Пусть она движется в направлении оси $z$ со скоростью – $a$; тогда мы найдем, что жидкость в бесконечности покоится и в ней движется цца радиуса $R$ в направлении оси $z$ со скоростью-a. Уравнение (22) дает сопротивление, которое при этом испытывает шар.
$\S 5$

Примем уравнения (8) еще для двух случаев, а именно: для неустановившегося движения и для случая колебаний шара в неограниченной извне жидкости, находящегося под действием некоторых сил.
Указанные уравнения будут удовлетворены, если положим
\[
p=\mathrm{const}
\]

и выберем $u$, $v$, w так, чтобы было
\[
\begin{array}{c}
\frac{\mu}{k} \frac{d u}{d t}=\Delta u, \quad \frac{\mu}{k} \frac{d v}{d t}=\Delta u, \quad \frac{\mu}{k} \frac{d w}{d t}=\Delta w, \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

Мы решим эти уравнения, если положим
\[
u=\frac{\partial W}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial W}{\partial x}, \quad w=0
\]

и определим $W$ уравнением

\[
\frac{\mu}{k} \frac{\partial W}{\partial t}=\Delta W .
\]

Допустим теперь, что $W$ – функция двух переменных $t$ и $r$, где через $r$ обозначена опять величина $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$; тогда мы имеем
\[
u=\frac{1}{r} \frac{\partial W}{\partial r} y, \quad v=-\frac{1}{r} \frac{\partial W}{\partial r} x, \quad \omega=0 .
\]

Эти уравнения представляют движение, при котором точки, лежащие на расстоянии $r$ от начала координат, движутся так, как если бы они принадлежали твердому телу, вращающемуся вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\psi$, где
\[
\psi=-\frac{1}{r} \frac{\partial W}{\partial r} .
\]

Поэтому мы можем допустить, что в жидкости находится шар, для поверхности которого $r=R$ и который вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью, равной значению $\psi$, получаемому из выражения (24) при $r=R$.

Если $M$ есть момент давления, которое упомянутый шар производит на жидкость, то здесь также имеет место уравнение (14), и вычисление, аналогичное тому, которое мы применили к этому уравнению, даст
\[
M=\frac{8 \pi}{3} k r^{4} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial W}{\partial r}\right) \text { для } r=R .
\]

Пусть $\vartheta$ – угол, на который повернулся шар из некоторого положения к моменту $t$, так что
\[
\frac{d \vartheta}{d t}=\psi \text { для } r=R ;
\]

далее, пусть $M^{\prime}$ будет момент сил, которые действуют на шар (кроме давлений, производимых жидкостью), и $К$-момент инерции шара; тогда
\[
K \frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}=M^{\prime}-M \text {. }
\]

Это уравнение, если дано $M^{\prime}$, составляет граничное условие для функции $W$, которая до сих пор была определена только дифференциальным уравнением в частных производных; положим, что
\[
M^{\prime}=-\alpha^{2} \vartheta
\]

где $\alpha$ – произвольное постоянное; тогда это условие, если продифференцируем его по $t$, примет вид
\[
\frac{\alpha^{2}}{r} \frac{\partial W}{\partial r}-\frac{8 \pi}{3} k r^{4} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^{2} W}{\partial r \partial t}\right)+\frac{K}{r} \frac{\partial^{n} W}{\partial r \cdot \partial t^{2}}=0 \text { для } r=R .
\]

Уравнение (23), которое можно представить в виде
\[
\frac{\mu}{k} \frac{\partial(r W)}{\partial t}=\frac{\partial^{2}(r W)}{\partial r^{2}},
\]

имеет частное решение

где $C$ и $\beta$-произвольные постоянные. Последнее из них можно определить так, чтобы было удовлетворено уравнение (26); для этого необходимо, чтобы $\beta$ было корнем уравнения

\[
\left(\sqrt{\frac{k}{\mu}}-R \beta\right)\left(\alpha^{2}+K \beta^{4}\right)+\frac{8 \pi}{3} R^{3} \mu \sqrt{\frac{k}{\mu}} \beta^{2}\left(3_{\mu}^{k}-3 \sqrt{\frac{k}{\mu}} R \beta+R^{2} \beta^{2}\right)=0 .
\]

При $k=0$ корни последнего суть
\[
0, \pm \sqrt[4]{\frac{\alpha^{2}}{K} \frac{1 \pm \sqrt{-1}}{\sqrt{2}}} .
\]

Допустим, что $k$ столь мало, что, как и при $k=0$, из пяти корней два комплексны и имеют отрицательную действительную часть, и положим в (27) $\beta$ равным одному из этих корней. Тогда скорость на бесконечности будет равна нулю. При этом $W$ будет комплексным, но действительная часть выражения (27), установленного для $W$, принятая за $W$, также удовлетворит уравнениям (23) и (26). Выберем за $W$ эту действительную часть; положим тогда
\[
\beta=-a+b \sqrt{-1},
\]

вычислим $\vartheta$ с помощью (24) и (25) из $W$, обозначим через $C$ новое действительное произвольное постоянное и перенесем начало отсчета времени; тогда найдем
\[
\vartheta=C e^{\left(a^{2}-b^{2}\right) t} \sin 2 a b t .
\]

Это уравнение определяет производимые шаром колебания. Обозначим через $T$ продолжительность простого колебания и через $\delta$-логарифмический декремент колебаний, т. е. натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд; тогда будем иметь
\[
T=\frac{\pi}{2 a b}, \delta=\left(b^{2}-a^{2}\right) T=\frac{b^{2}-a^{2}}{2 a b} \pi .
\]

Легко найти $a$ и $b$, если можно рассматривать $k$ как бесконечно малое, и из членов, зависящих от $k$, принять во внимание только члены низшего порядка. Обозначим для этого значение, принимаемое $\beta$ при $k=0$, через $\beta_{0}$ и положим
\[
\beta=\beta_{0}+\varepsilon ;
\]

представим уравнение (28) в виде
\[
F(\beta)=0
\]

и обозначим
\[
F^{\prime}(\beta)=\frac{d F(\beta)}{d \beta} ;
\]

тогда $\varepsilon$ вычислим из уравнения
\[
F\left(\beta_{0}\right)+\varepsilon F^{\prime}\left(\beta_{0}\right)=0 .
\]

Таким образом получим
\[
F\left(\beta_{0}\right)=\frac{8 \pi}{3} R^{5} \sqrt{k \mu} \beta_{0}^{4}, F^{\prime}\left(\beta_{0}\right)=-4 R K \beta_{0}^{4} ;
\]

следовательно,
\[
\varepsilon=\frac{2 \pi}{3} R^{4} \sqrt{k \mu} \frac{1}{K} .
\]

Обозначим через $T_{0}$ продолжительность колебания шара в случае, когда жидкость не производит на него никакого действия, т. е. положим
\[
T_{0}=\frac{\pi}{a} \sqrt{K}
\]

тогда получим
\[
a=\sqrt{\frac{\pi}{2 T_{0}}}-\varepsilon, b=\sqrt{\frac{\pi}{2 T_{0}}}
\]

и
\[
T=T_{0}\left(1+\varepsilon \sqrt{\frac{\overline{2 T_{0}}}{\pi}}\right), \delta=\varepsilon \sqrt{2 \pi T_{0}} .
\]

Частное решение уравнений (23) и (24), которое мы только что получили, предполагает известное начальное состояние жидкости; теперь мы будем искать частное решение, соответствующее другому начальному состоянию. Решением уравнения (23) будет
\[
W=e^{\beta z t} \cdot \frac{1}{r}\left(C e^{\beta \sqrt{\frac{\mu}{k} \cdot r}}+C^{\prime} e^{-\beta \sqrt{\frac{\mu}{k}} \cdot r}\right),
\]

где $C, C^{\prime}$ и $\beta$ – произвольные комплексные постоянные; они удовлетворяюา условию (26), если между этими постоянными существует уравнение .
\[
\begin{array}{l}
0=C\left\{\left(\sqrt{\frac{k}{\mu}}-R \beta\right)\left(\alpha^{2}+K \beta^{4}\right)+\frac{8 \pi}{3} R_{\mu}^{3} \sqrt{\frac{k}{\mu}} \beta^{2}\left(3 \frac{k}{\mu}-\right.\right. \\
\left.\left.-3 \sqrt{\frac{\bar{k}}{\mu}} R \beta+R^{2} \beta^{2}\right)\right\} e^{\beta \sqrt{\bar{\mu}} R}+ \\
+C^{\prime}\left\{\left(\sqrt{\frac{k}{\mu}}+R \beta\right)\left(\alpha^{2}+K \beta^{4}\right)+\frac{8 \pi}{3} R_{\mu}^{3} \sqrt{\frac{k}{\mu}} \beta^{2}\left(3 \frac{k}{\mu}+\right.\right. \\
\left.\left.+3 \sqrt{\frac{k}{\mu}} R \beta+R^{2} \beta^{2}\right)\right\} e^{-\beta \sqrt{\mu} R} . \\
\end{array}
\]

Это уравнение определяет отношение $C: C^{\prime}$ при любом $\beta$. Выражение, которое получим для $W$ таким способом, будет комплексным, действительная часть его также удовлетворит уравнениям (23) и (26). Примем эту действительную часть за $W$, тогда в бесконечности скорость, вообще, будет бесконечной. Но как исключение скорость может в бесконечности обратиться в нуль, когда одна из двух постоянных равна нулю или постоянное $\beta$ будет чисто мнимым. Первый случай есть тот, который мы только что рассмотрели и к которому относится уравнение (27), второй приводит к новым решениям, которые мы хотим найти.

Следующее исследование приведет нас к колебаниям шара, находящегося в жидкости с трением, центр которого движется вперед и назад по прямой линии. Одно частное решение уравнения (8) есть
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\partial^{2} P}{\partial x \partial z}, v=\frac{\partial^{2} P}{\partial y \partial z}, w=\frac{\partial^{2} P}{\partial z^{2}}, \\
p=-\frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial t},
\end{array}
\]

если
\[
\Delta P=0 .
\]

Второе будет
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\partial^{2} W}{\partial x \partial z}, v=\frac{\partial^{2} W}{\partial y \partial z}, w=-\frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} W}{\partial y^{2}}, \\
p=0,
\end{array}
\]

если

\[
\Delta W=\mu \frac{\partial W}{\partial t} .
\]

Поэтому упомянутые уравнения должны быть удовлетворены также выражениями
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\partial^{2}(P+W)}{\partial x \partial z}, v=\frac{\partial^{2}(P+W)}{\partial y \partial z}, w=-\frac{\partial^{2}(P+W)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}(P+W)}{\partial y^{2}}, \\
p=-\mu \frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial t},
\end{array}
\]

при
\[
\Delta P=0, k \Delta W=\mu \frac{\partial W}{\partial t} .
\]

Теперь допустим, что $P$ и $W$ – функции только двух переменных $r$ и $t$; тогда мы получим
\[
\left.\begin{array}{l}
u=\frac{x z}{r} \frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right], \\
v=\frac{y z}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right], \\
w=-\frac{x^{2}+y^{2}}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right]-\frac{2}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}, \\
p=-\frac{\mu z}{r} \cdot \frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial t} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Далее, положим, что для $r=R$ будет
\[
\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right]=0
\]

тогда для $r=R$ будет
\[
u=0, v=0, w=-\frac{2}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial s},
\]

и полученные уравнения представят возможное движение для случая, когда в жидкости находится шар, для поверхности которого $r=R$ и который движется в жидкости в направлении оси $z$ со скоростью, равной
\[
-\frac{2}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r} \text { для } r=R .
\]

Пусть $Z$ будет сумма компонент по оси $z$ давлений, которые шар производит на жидкость; тогда имеет место уравнение (21), т. е.
\[
Z=\int \frac{d s}{r}\left(x Z_{x}+y Z_{y}+z Z_{z}\right) .
\]

Заметим, что по (1)
\[
x Z_{x}+y Z_{y}+z Z_{z}=z p-k\left(x \frac{\partial w}{\partial x}+y \frac{\partial w}{\partial y}+z \frac{\partial w}{\partial z}\right)-k\left(x \frac{\partial u}{\partial z}+y \frac{\partial v}{\partial z}+z \frac{\partial w}{\partial z}\right) ;
\]

н далее, что
\[
\int x^{2} d s=\int y^{2} d s=\int z^{2} d s=\frac{4 \pi}{3} r^{4} .
\]

н, пользуясь уравнением (31), найдем из (30)
\[
Z=\frac{4 \pi}{3} r^{2}\left\{2 k r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}-\mu \frac{\partial^{2} P}{\partial r \partial t}\right]\right\} \text { для } r=R .
\]

Пусть теперь $\zeta$ означает перемещение шара к моменту $t$ из некоторого определенного положения, так что
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\omega \text { для } r=R ;
\]

пусть будет $m$ – масса шара и $Z^{\prime}$ – сила, которая действует на шар в направлении оси $z$, кроме давления жидкости; тогда
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}=Z^{\prime}-Z \text {. }
\]

Положим, что
\[
Z^{\prime}=-\alpha^{2} \zeta,
\]

где $\alpha$ означает произвольное постоянное; тогда соответственно уравнению (26) получим
\[
\frac{2 \alpha^{2}}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}-\frac{4 \pi}{3} r^{2} \frac{\partial}{\partial t}\left\{2 k r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right]-\mu \frac{\partial^{2} P}{\partial r \partial t}\right\}+\frac{2 m}{r} \frac{\partial^{3}(P+W)}{\partial r \partial t^{2}}=0,
\]
\[
\text { для } r=R \text {. }
\]

Мы удовлетворим обоим принятым для $P$ и $W$ уравнениям, (29) если положим
\[
P=B e^{\beta 2 t} \frac{1}{r}, W \cong C e^{\beta 2 t} \frac{1}{r} e^{\beta \sqrt{\mu_{k}^{\mu}} r},
\]

где $B, C$ и $\beta$ – произвольные постоянные. Условия (31) и (34) дают для этих постоянных два уравнения, которые линейны и однородны относительно $B$ и $C$ и из которых можно вычислить отношение $B: C$ и $\beta$. При помощи дифференциальных уравнений (29) из (31) для $r=R$ легко найдем
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial(P+W)}{\partial r}=\frac{1}{3} \frac{\mu}{k} \beta^{2} r W \\
\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\left[\frac{1}{r} \frac{\partial(P+W)}{\partial r}\right]=\frac{\mu}{k} \beta^{2} \frac{1}{r} \frac{\partial W}{\partial r}
\end{array}
\]

и потом из (34)
\[
0=\left(\alpha^{2}+m \beta^{4}\right) W-\frac{2 \pi}{3} r^{2} \beta^{2}\left(9 k \frac{\partial W}{\partial r}-\mu \beta^{2} r W\right),
\]

или, так как для каждого значения $r$ будет
\[
\frac{\partial W}{\partial r}=\left(-\frac{1}{r}+\beta \sqrt{\frac{\bar{\mu}}{k}}\right) W,
\]

To
\[
0=\alpha^{2}+m \beta^{4}+\frac{2 \pi}{3} R \beta^{2}\left(\mu R^{2} \beta^{2}-9 \sqrt{k \mu} R \beta+9 k\right) .
\]

Положим
\[
\frac{4 \pi}{3} R^{3} \mu=m^{\prime},
\]

обозначив таким образом массу вытесненной шаром жидкости; тогда это уравнение для $k=0$ перейдет в
\[
0=\alpha^{2}+\left(m+\frac{m^{\prime}}{2}\right) \beta^{4},
\]

откуда следует, что если $k$ достаточно мало (что мы и допустим), то четыре корня уравнения лежат вблизи значений
\[
\pm \sqrt[4]{\frac{\alpha^{2}}{m+m_{2}^{\prime}} \frac{1 \pm \sqrt{-1}}{\sqrt{2}}}
\]

Выберем для $\beta$ один из двух корней с отрицательной действительной частью; тогда в бесконечности скорость будет равна нулю. При этом выражения (35) для $P$ и $W$ будут комплексными, но действительные части этих выражений также удовлетворят уравнениям (29), (31) и (34), и эти действительные части мы примем теперь за $P$ и $W$. Положим по-прежнему
\[
\beta=-a+b \sqrt{-1},
\]

вычислим при помощи (32) и (33) $\zeta$ по $P$ и $W$, обозначим через $C$ новое действительне произвольное постоянное и перенесем начало отсчета времени; тогда полуним
\[
\zeta=C e^{\left(a^{2}-b^{2}\right) t} \sin 2 a b t,
\]

причем опять для периода колебаний $T$ и для логарифмического декремента $\delta$ получим выражения
\[
T=\frac{\pi}{2 a b}, \delta=\left(b^{2}-a^{2}\right) T .
\]

Примем $k$ бесконечно малым; тогда отсюда и из уравнения (36) на основании вычисления, подобного произведенному в предыдущем параграфе, найдем
\[
T=T_{0}\left(1+\varepsilon \sqrt{\frac{\overline{2 T}}{\pi}}\right), \delta=\varepsilon \sqrt{2 \pi \Gamma_{0}},
\]
cie
\[
T_{0}=\frac{\pi}{\alpha} \sqrt{m+\frac{m^{\prime}}{2}}, \varepsilon=\frac{9}{8} \frac{1}{R} \sqrt{\frac{k}{m+\frac{m^{\prime}}{2}}} \text {. }
\]

Не представляет трудности определить другое частное решение уравнений (29), (31) и (34), соответствующее другому начальному состоянию жидкости, чем указанное выше. Последнее имеет выдіюцийся интерес потому, что позволяет очень близко учесть влияние, которје производит воздух на колебания маятника, состоящего из шара и тонкой нити. Огносительно указанного мы сошлемся на сочинение Стокса (Trans. Cambridge Philos. Soc., vol. IX, part. 2, p. 8) и Эмиля Мейера (Borchardts Journal, vol. 73).