$\S 1$

Познакомимся теперь ближе с механикой жидкостей и сперва с гидростатикой, т. е. с учением о равновесии жидкостей. Для равновелия жидкости из уравнений (23) предыдущей лекции получим
\[
\left.\begin{array}{l}
X=\begin{array}{ll}
1 & \partial p \\
\mu & \partial x \\
1 & \partial p \\
\mu & \partial y
\end{array} \\
Z=\begin{array}{ll}
1 & \partial p \\
\mu & \partial z
\end{array}
\end{array}\right\}
\]

где мы обозначили через $p$ давление, через $\mu$-плотность, через $X, Y$, $Z$ – компоненты силы, относящейся к единице массы в точке $(x, y, z)$. К этому добавим соотношение между $p$ и $\mu$; тогда одна из этих величин может быть выражена как функция другой. Положим, что в уравнениях (1) $\mu$ выражено как функция от $p$, т. е. эти уравнения прєдставляют $X, Y, Z$ как частные производные по $x, y, z$ одной функции. В самом деле:
\[
X=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial U}{\partial z},
\]

если положить
\[
U=\int \frac{d p}{\mu} .
\]

Таким образом, силы $X, Y, Z$ имеют потенциал, и только при этом условии возможно равновесие. Далее, для этого необходимо, чтобы потенциал $U$ был однозначной функцией координат $x, y, z$ внутри наполненного жидкостью объема, потому что уравнение (2), в котором $\mu$ обозначает однозначную функцию $p$, представляет $U$ так же, как однозначную функцию $p$, а $p$ имеет в каждой точке указанного пространства одно единственное значение. Если $U$ задано, то из уравнения (2) можно найти давление как функцию от $U$, но только до постоянного, которое остается неизвестным. Поэтому на всякой поверхности равного потенциала давление остается одним и тем же. Если будем рассматривать жидкость как несжимаемую, т. е. $\mu$ как постоянное, то уравнение (2) дает
\[
p=p_{0}+\mu U,
\]

где $p_{0}$ обозначает неизвестное постоянное. Для газа приближенно, согласно закону Мариотта, получим
\[
p=c \mu,
\]

где через $c$ обозначена постоянная; отсюда найдем
\[
\lg \frac{1}{c} U \text {. }
\]

Если две разнородные жидкости соприкасаются по некоторой поверхности, то на основании рассуждения, приведенного в § 4 одиннадцатой лекции, для каждой точки этой поверхности в обеих жидкостях $p$ должно иметь одно и то же значение. Допустим, что потенциал для обеих один и тот же, но плотность, соответствующая одному и тому же давлению, различна; пусть будет $\mu_{1}$ – плотность одной жидкости, $\mu_{2}$ – другой. Обозначим через $d p$ и $d U$ изменения, которые получают $p$ и $U$, когда мы переходим от одной точки поверхности соприкосновения к бесконечно близкой точке той же поверхности; тогда из (2) имеем
\[
\mu_{1} d U=d p \text { и } \mu_{2} d U=d p .
\]

Эти уравнения дают
\[
d p=0 \text { и } d U=0,
\]
т. е. поверхность соприкосновения есть поверхность равного давления и равного потенциала; поэтому она также перпендикулярна к направлению силы в каждой ее точке.

Если жидкость граничит с пустым пространством, то это может случиться только по поверхности равных давлений. Мы будем предполагать в этом случае давление на поверхности равным нулю.
§ 2
Если тяжесть есть единственная внешняя сила и если рассматривать земной радиус как величину бесконечно большую, то поверхность раздела двух разнорогных жидкостей или поверхность, которою жидкость отграничена от пустого пространства, есть горизонтальная плоскость.

Мы вычислим теперь поверхность жидкости для некоторых более сложных случаев. Представим себе сперва тяжелую жидкость в сосуде и предположим, что эта система вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью и притом так, что относительное положение частей остается неизменным. В этом случае, на основании объяснений, данных в § 1 девятой лекции, мы можем отвлечься от вращения, если присоединим к действующим силам соответствующую центробежную силу. Направим ось $z$ нащей системы координат по оси вращения вниз, обозначим через $g$ тяжесть и через $w$ угловую скорость, причем если $T$ означает продолжительность одного оборота, то
\[
w={ }_{T}^{2 \pi} .
\]

Тогда мы можем положить потенциал тяжести равным $g z$ и потенциал центробежной силы равным ${ }_{2}^{w^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$, откуда следует
\[
U=g z+\frac{w^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Приняв это выражение для $U$ равным постоянному, мы получим уравнение поверхности жидкости. Следовательно, имеем параболоид вращения, ось которого совпадает с осью $z$.

Подобным же образом может быть рассмотрен следующий случай. Жидкая масса, частицы которой притягиваются началом координат по закону Ньютона, вращается вокруг оси $z$ с постоянной угловой скоростью $w$. Найдем форму поверхности этой массы при равновесии.

Обозначим через $G$ величину притяжения на единицу массы, находящейся на расстоянии $R$ от начала координат, и через $r$-расстояние переменной точки жидкости от начала. Тогда мы имеем
\[
U=\frac{G R^{2}}{r}+\frac{w^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Это выражение, приравненное постоянному, дает уравнение искомой поверхности. Преобразуем его, для чего положим
\[
z=r \sin \varphi,
\]

и выберем $R$ так; чтобы на поверхности $r=R$ для $\varphi=\frac{\pi}{2}$. Это предположение определяет постоянное, которое в уравнении поверхности оставалось неопределенным, и дает
\[
\frac{1}{r}=\frac{1}{R}-\frac{w^{2} r^{2}}{2 G R^{2}} \cos ^{2} \varphi .
\]

Предположим, что угловая скорость $ш$ так мала, что второй член правой части этого уравнения можно рассматривать как бесконечно малый по сравнению с первым, и примем во внимание только бесконечно малые низшего порядка. Тогда найденное уравнение может быть написано так:
\[
r=R\left(1+\frac{w^{2} R}{2 G} \cos ^{2} \varphi\right) .
\]

Оно представляет сжатый на полюсах сфероид. Сжатием его называют дробь $\frac{w^{2} R}{2 G}$; это разность между полярным и экваториальным диаметрами, разделенная на один из них.

Земля также есть слегка сжатый сфероид. Положим для нашей жидкости $R$ равным половине полярного диаметра Земли и $G$ равным тяжести на полюсе Земли. Исходя из пролзведенного в конце $\S 1$ девятой лекции вычисления, мы получим сжатие жидкого сфероида равным $\frac{1}{582}$. Градусными измерениями сжатие Земли найдено почти вдвое бо́льшим. Однако частицы Земли притягиваются по закону Ньютона не только к центру Земли, но и между собою.

Чтобы подойти ближе к отношению, которое имеет место для Земли, вычислим форму равновесия жидкой массы, вращающейся вокруг оси $z$ нашей системы координат с угловой скоростью $w$, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона. Но эту задачу мы можем решить, и то не вполне, предполагая жидкость однородной и несжимаемой. Если w лежит между известными границами, то, как показывает вычисление, формой равновесия жидкости является эллипсоид. Считая, что жидкость ограничена эллипсоидом, можно определить его оси. Решение этой задачи много труднее, чем предыдущей, потому что здесь потенциал действующих сил не задан прямо, но зависит от искомой формы жидкости.

Представим себе эллипсоид
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
\]

наполненный массой, плотность которой равна единице; возьмем такую единицу массы, чтобы она действовала по закону всемирного тяготения на равную массу, помещенную в единице расстояния, с силой, равной единице. Потенциал этого эллипсоида в точке $(x, y, z)$ назовем $\Omega$, т. е. положим
\[
\Omega=\int \frac{d \tau}{r},
\]

где $d \tau$ – элемент объема эллипсоида, $r$ – расстояние этого элемента от точки $(x, y, z)$. Тогда, если эта точка лежит внутри эллипсоида или на поверхности, как мы узнаем впоследствии (в $\S 1$ восемнадцатой лекции),
\[
\Omega=\mathrm{const}-\pi\left(A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A=a b c \int_{0}^{\infty} \frac{d u}{\left(a^{2}+u\right) N}, B=a b c \int_{0}^{\infty} \frac{d u}{\left(b^{2}+u\right) N}, C=a b c \int_{0}^{\infty} \frac{d u}{\left(c^{2}+u\right) N}, \\
N=\sqrt{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right) .}
\end{array}
\]

Пусть теперь эллипсоид, определяемый уравнением (3), будет фигурой равновесия нашей жидкости; тогда
\[
U=\mu \Omega+\frac{w^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

и это $U$ должно иметь постоянное значение для всех точек, соответствующих уравнению (3). В таком случае надо так определить некоторую величину $M$, чтобы
\[
\begin{array}{r}
-\mu \pi A+\frac{w^{2}}{2}=\frac{M}{a^{2}}, \\
-\mu \pi B+\frac{w^{2}}{2}=\frac{M}{b^{2}}, \\
-\mu \pi C=\frac{M}{c^{2}} .
\end{array}
\]

Исключим $M$ из этих уравнений и положим
\[
v=\frac{w^{2}}{2 \pi \mu}
\]

тогда получим
\[
a^{2}(A-v)=b^{2}(B-v)=c^{2} C .
\]

Это двойное уравнение служит для определения отношений $a: b$ : $c$. Действительно, величины $A, B, C$ зависят только от этих отношений, потому что если подставим в уравнениях (4) $n a, n b, n c, n^{2} u$ соответственно вместо $a, b, c, u$, то $A, B, C$ не изменятся. Когда отношения $a: b: c$ будут определены, тогда сами полуоси найдутся из условия, что жидкость имеет данный объем.

Предположим теперь, что искомый эллипсоид есть эллипсоид вращения, ось вращения которого совпадает с осью $z$. При таком предположении
\[
a=b \text { и } A=B \text {. }
\]

Тогда уравнения (6) обратятся в одно
\[
a^{2}(A-v)=c^{2} C .
\]

Так как $a^{2}, c^{2}, A, C$ и $v$-величины положительные, то необходимо, чтобы $a^{2} A$ было больше $c^{2} C$ и, как показывают выражения (4) для $A$ и $C$, чтобы $a^{2}$ было больше $c^{2}$. Таким образом, эллипсоид будет сжатым.

Для трехосного эллипсоида интегралы, представляющие $A, B, C$, будут эллиптическими; в нашем же случае они выражаются через круговые функции. Положим
\[
\lambda=\sqrt{\frac{a^{2}-c^{2}}{c^{2}}}
\]

введем вместо $u$ новое псложительсе перемєнное интегрирования $x$ равнением
\[
u=c^{2} \frac{\lambda^{2}-x^{2}}{x^{2}}
\]

тогда легко найдем
\[
\begin{array}{c}
A=\frac{1}{\lambda^{3}}\left[\left(1+\lambda^{2}\right) \operatorname{arctg} \lambda-\lambda\right], \\
C=9 \frac{1+\lambda^{3}}{\lambda^{3}}(\lambda-\operatorname{arctg} \lambda),
\end{array}
\]

где $\operatorname{arctg} \lambda$ должен быть взят между нулем и $\frac{\pi}{2}$. Уравнение (7) превратится в
\[
v=\frac{\left(3+\lambda^{2}\right) \operatorname{arctg} \lambda-3 \lambda}{\lambda^{3}} .
\]

Заметим, не приводя доказательства, что уравнение это ни при каких положительных значеннях $v$ не может иметь более двух действительных корней и имеет таковых два, когда $v$ лежит между нулем и 0,2246 . В этом случае получается два эллипсоида вращения, с помощью которых можно изобразить форму жидкости. Если $v$ можно рассматривать как бесконечно малое, то их легко найти. В этом случае один из двух действительных корней уравнения (8) бесконечно мал, другой бесконечно велик.
Для бесконечно малого корня имеем
\[
\operatorname{arctg} \lambda=\lambda-\frac{\lambda^{3}}{3}+\frac{\lambda^{5}}{5}-\ldots,
\]

и отсюда
\[
v=\frac{4}{15} \lambda^{2} \text { или } \lambda=\frac{1}{2} \sqrt{150} ;
\]

для бесконечно большого корня
\[
\operatorname{arctg} \lambda=\frac{\pi}{2},
\]

и отсюда
\[
v=\frac{\pi}{2 \lambda} \text { или } \lambda=\frac{\pi}{2 v} .
\]

Когда $v$ приближается к нулю, один из этих эллипсоидов приближается к шару, а другой – к бесконечному диску.

Уравнения (6) не требуют, чтсбы эллипсоид, для которого они составлены, обязательно был эллипсоидом вращения. Қак впервые заметил Якоби, получается также и трехосный эллипсоид, если $v$ лежит ниже известной граниы (а именно, ниже 0,1871 ), который представляет форму равновесия жидкости. Когда $v$ приближается к нулю, он приближается к бесконечному круговому цилиндру, ось которого перпендикулярна к оси. вращения жидкости.

Земля – немного сжатый эллипсоид вращения. Посмотрим, можно ли получить точно ее сжатие, если мы отождествим ее с нашей жидкостью. Для этого прежде всего предстоит найти значение, которое надо дать величине $v$. Оно определится из уравнения (5), где вместо $w$ должна быть подставлена угловая скорость Земли и вместо $\mu$ – ее средняя плотность. Но последняя должна быть выражена в единицах, в которых мы приняли за единицу массы такую, которая притягивает по закону Ньютона равную массу, помещенную на единице расстояния, с силой, равной единице. Легче всего мы определим $\mu$, если введем в вычисление тяжесть на полюсе, которую опять обозначим через $G$. Обозначим через $R$ половину полярного диаметра Земли и допустим (такое допущение здесь можно сделать), что Земля шарообразна; тогда будем иметь
\[
G=\frac{4 \pi}{3} R \mu,
\]

откуда следует, что
\[
v=\frac{2}{3} \frac{w^{2} R}{G}=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{291}=\frac{1}{436} .
\]

Если будем рассматривать эту дробь как бесконечно малую, ‘то 13 уравнения (9) получим
\[
\lambda^{2}=\frac{1}{116} .
\]

Из определения $\lambda$ непосредственно получается
\[
a=c\left(1+\frac{\lambda^{2}}{2}\right),
\]

откуда следует, что $\frac{\lambda^{2}}{2}$ есть сжатие. Отсюда сжатие Земли было бы равно $\frac{1}{232}$. Из градусньх измерений оно найдено близким к $\frac{1}{300}$. Причину этого расхождения надо искать в том, что Земля неоднородна и что ее плотность по мере приближения к центру возрастает.
$\S 3$
Рассмотрим теперь давления, произеодимые жидкостью на твердое тело, с которым она находится в соприкосьоеении, и найдем суммы их компоент по осям координат и моменты вращєния ${ }^{5}$ относительно этих осей.

Рассмотрим сначала жидкость, еполне наполняющую замкнутый сосуд. Чтобы решить постарленную задачу, воспользуемся уравнениями, которые определяют, есссще гоеоря, гонятие давления, именю уравнениями (1) и (2) одиннадцатой лекцин. Они показывают, что если равноеесие существует, то сумма компонєнт ${ }^{6}$ и моментов вращения давлений, производимых сосудом на жидкость, равна и протиеоположна сумме компонент и моментов вращения сил, действующих на частицы жидкости. Но давления, производимые жидкостью на сосуд, равны и противоположны давлениям, произеодимым сосудом на жидкость, как это было другими словами и в более общей форме выражено в § 4 одиннадцатой лекции. Отсюда следует, что сумма компонент и моменты вращения давлений, испытываемых сосудом от жидкости, равны сумме компонент и моментам вращения сил, действующих на частицы жидкости.

Это предложение имеет место также, если сосуд не замкнут или не вполне наполнен жидкостью и имеет свободную поверхность, по которой граничит с пространством; мы докажем это, если заметим, что давление на свободной позерхности равно нулю.

Представим себе теперь твердое тело, которое погружено в жидкость. Пусть $d s$ – элемент его поверхности, $n$ – направленная внутрь тела нормаль к $d s$, а $X_{n} d s, Y_{n} d s, Z_{n} d s$ – компоненты давлений, производимых жидкостью на $d s$; тогда имеем
\[
X_{n}=p \cos (n x), Y_{n}=p \cos (n y), Z_{n}=p \cos (n z) .
\]

Поэтому искомые суммы компонент и моменты вращения будут
\[
\begin{array}{ll}
\int p \cos (n x) d s \quad \text { и } & \int p[y \cos (n z)-z \cos (n y)] d s, \\
\int p \cos (n y) d s & \int p[z \cos (n x)-x \cos (n z)] d s, \\
\int p \cos (n z) d s & \int p[x \cos (n y)-y \cos (n x)] d s .
\end{array}
\]

При некоторых условиях эти интегралы можно преобразовать в интегралы. распространенные по объему тела, воспользовавшись предложением, выраженным уравнениями (6) одиннадцатой лекции. Для этого необходимо, чтобы для пространства, занимаемого телом, могла быть найдена функция координат точки, непрерывная и однозначная, которая принимала бы на поверхности названного пространства такие же значения, что и $p$. Положим, что такая функция дана. Обозначим ее также через $p$, а элемент указанного пространства через $d \tau$; тогда, согласно упомянутому предложению, те же интегралы будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
-\int \frac{\partial p}{\partial x} d \tau \quad \text { и }-\int\left(y \frac{\partial p}{\partial z}-z \frac{\partial p}{\partial y}\right) d \tau, \\
-\int \frac{\partial p}{\partial y} d \tau \quad-\int\left(z \frac{\partial p}{\partial x}-x \frac{\partial p}{\partial z}\right) d \tau, \\
-\int \frac{\partial p}{\partial z} d \tau \quad-\int\left(x \frac{\partial p}{\partial y}-y \frac{\partial p}{\partial x}\right) d \tau . \\
\end{array}
\]

Поэтому суммы компонент и моменты вращения давлений, которые жидкость производит на тело, равны и противоположны суммам компонент и моментам вращения оси, действующим на частицы тела таким образом, что на каждый элемент объема $d \tau$ действует сила, компоненты которой суть $\frac{\partial p}{\partial x} d \tau, \frac{\partial p}{\partial y} d \tau, \frac{\partial p}{\partial z} d \tau$.

Это предложение можно так обобщить, что оно будет верно и для случая, когда жидкость имеет свободную поверхность, на которой давление равно нулю, и тело не вполне погружено в жидкость. Чтобы рассмотреть этот случай, предположим, что мы нашли функцию $x, y, z$, которая в точках поверхности соприкасания тела и жидкости имеет то же значение, как и давление на этой поверхности. Предположим далее, что эта функция однозначная и непрерывная в части пространства, занимаемого телом, которая ограничена только что названной поверхностью, на которой функция равна нулю, т. е. поверхностью, которая должна быть ограничена линией, по которой свободная поверхность жидкости пересекает поверхность тела. Тогда предыдущее вычисление, сделанное для вполне погруженного тела, пригодно без дальнейших изменений и к этому случаю, если только приложить его не ко всему объему, занятому телом, а к только что определенной части этого объема.

Доказанное предложение приводит к так называемому принципу Архимеда, если предположить, что на жидкость не действуют никакие другие силы, кроме тяжести. Мы возьмем ось $z$ направленною вертикально вниз и обозначим тяжесть через $g$; тогда давление в жидкости определится из уравнений
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=0, \frac{\partial p}{\partial y}=0, \frac{\partial p}{\partial z}=g \mu
\]

и из соотношения, существующего между $p$ и $\mu$. Мы найдем искомую функцию $p$ для занятого твердым телом пространства из тех же уравнений; другими словами: в каждой точке этого пространства величина $\mu$ должна быть взята такою же, как в той же горизонтальной плоскости в жидкости. Из этого следует, что, как говорят, производимые жидкостью на тело давления имеют равнодействующую, которая равна и противоположна весу вытесненной жидкости и имеет точку приложения в ее центре тяжести.