$\S 1$

В предыдущей лекции, чтобы сделать выводы из принципа Даламбера, мы рассматривали специальные бесконечно малые смещения, которые могут происходить с системой материальных точек, жестко связанных между собой, а именно, смещение в определенном направлении и вращение вокруг определенной оси. Теперь мы рассмотрим произвольные бесконечно малые смещения, возможные для таких систем.

Введем две прямоугольные системы координат, одна из которых связана с упомянутой системой или телом (можно называть его как угодно), другая задана в пространстве. Пусть $x, y, z$ – координаты точки тела в первой системе, $\xi, \eta, \zeta$ – координаты той же самой точки – во второй; тогда.
\[
\begin{array}{l}
\xi=\alpha+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta=\beta+\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta=\gamma+\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z,
\end{array}
\]

где двенадцать величин $\alpha, \beta, \gamma$ зависят от относительного расположения систем координат, т. е. от положения движущегося тела. Величины $\alpha, \beta, \gamma$ без индексов – это значения $\xi, \eta, \zeta$ для $x=0, y=0, z=0$, а девять остальных являются косинусами углов, которые оси $x, y, z$ образуют с осями $\xi, \eta, \zeta$. Из этого геометрического смысла названных величин следует, что, наоборот,
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha_{1}(\xi-\alpha)+\beta_{1}(\eta-\beta)+\gamma_{1}(\zeta-\gamma), \\
y=\alpha_{2}(\xi-\alpha)+\beta_{2}(\eta-\beta)+\gamma_{2}(\zeta-\gamma), \\
z=\alpha_{3}(\xi-\alpha)+\beta_{3}(\eta-\beta)+\gamma_{3}(\zeta-\gamma) .
\end{array}
\]

На основании уравнений (1) и (2) уравнение
\[
\left(\xi-\alpha^{2}\right)+(\eta-\beta)^{2}+(\zeta-\gamma)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
\]

превращается в тождество. Отсюда следует:
\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}+\gamma_{1}^{2}=1, & \alpha_{2} \alpha_{3}+\beta_{2} \beta_{3}+\gamma_{2} \gamma_{3}=0, \\
\alpha_{2}^{2}+\beta_{2}^{2}+\gamma_{2}^{2}=1, & \alpha_{3} \alpha_{1}+\beta_{3} \beta_{1}+\gamma_{3} \gamma_{1}=0, \\
\alpha_{3}^{2}+\beta_{3}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1, & \alpha_{1} \alpha_{2}+\beta_{1} \beta_{2}+\gamma_{1} \gamma_{2}=0
\end{array}
\]

u
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\alpha_{3}^{2}=1, \quad \beta_{1} \gamma_{1}+\beta_{2} \gamma_{2}+\beta_{3} \gamma_{3}=0, \\
\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}+\beta_{3}^{2}=1, \quad \gamma_{1} \alpha_{1}+\gamma_{2} \alpha_{2}+\gamma_{3} \alpha_{3}=0, \\
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1, \quad \alpha_{1} \beta_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}+\alpha_{3} \beta_{3}=0,
\end{array}
\]
т. е. получим шесть независимых друг от друга соотношений между девятью косинусами углов в двух различных формах. Из них вытекают и другие соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Если разрешить уравнения (1) относительно $x, y, z$, то получатся выражения, совпадающие с уравнениями (2). Отсюда, если положить
\[
\Delta=\alpha_{1}\left(\beta_{2} \gamma_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}\right)+\beta_{1}\left(\gamma_{2} \alpha_{3}-\gamma_{3} \alpha_{2}\right)+\gamma_{1}\left(\alpha_{2} \beta_{3}-\alpha_{3} \beta_{2}\right) .
\]

следует
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\frac{\beta_{2} \gamma_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}}{\Delta}, \\
\beta_{1}=\frac{\gamma_{2} \alpha_{3}-\gamma_{3} \alpha_{2}}{\Delta}, \\
\gamma_{1}=\frac{\alpha_{2} \beta_{3}-\alpha_{3} \beta_{2}}{\Delta} .
\end{array}
\]

Возведем в квадрат эти уравнения и сложим их; принимая во внимание уравнения (3), получим
\[
\Delta^{2}=1 \text {, }
\]

отсюда
\[
\left(\alpha_{2}^{2}+\beta_{2}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)\left(\alpha_{3}^{2}+\beta_{3}^{2}+\gamma_{3}^{2}\right)-\left(\alpha_{2} \alpha_{3}+\beta_{2} \beta_{3}+\gamma_{2} \gamma_{3}\right)^{2}=1,
\]

что равносильно
\[
\left(\beta_{2} \Upsilon_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}\right)^{2}+\left(\gamma_{2} \alpha_{3}-\gamma_{3} \alpha_{2}\right)^{2}+\left(\alpha_{2} \beta_{3}-\alpha_{3} \beta_{2}\right)^{2}=1 .
\]
$\Delta$ может иметь значения +1 или -1 , но при движении тела не может изменяться скачками от одного значения к другому. Представим себе, что тело находится в положении, при котором совпадают направления осей $x$ и $\xi$, осей $y$ и $\eta$, тогда $\alpha_{1}=1, \beta_{2}=1, \gamma_{3}=+1$ или -1 , в то время как другие шесть косинусов обращаются в нуль, как это следует из уравнений (3) и (4); это означает, что ось $z$ имеет то же самое направление, что и ось $\xi$, или противоположное. В первом случае, как показывает уравнение (5), $\Delta=+1$, во втором $\Delta=-1$. Системы координат $x, y, z$ и $\xi, \eta$, $\zeta$ должны быть выбраны так, что первый случай имеет место, если они, как говорят, конгруентны. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}=\beta_{2} \gamma_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}, \\
\beta_{1}=\gamma_{2} \alpha_{3}-\gamma_{3} \alpha_{2}, \\
\gamma_{1}=\alpha_{2} \beta_{3}-\alpha_{3} \beta_{2} .
\end{array}
\]

Уравнения (1) остаются неизменными, если в них одновременно произвести циклическую перестановку индексов $1,2,3$ и букв $x, y, z$; при такой замене $\Delta$ также не изменяется; аналогичной заменой в уравнениях (6) получим

\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{2}=\beta_{3} \gamma_{1}-\beta_{1} \gamma_{3}, & \alpha_{3}=\beta_{1} \gamma_{2}-\beta_{2} \gamma_{1}, \\
\beta_{2}=\gamma_{3} \alpha_{1}-\gamma_{1} \alpha_{3}, & \beta_{3}=\gamma_{1} \alpha_{2}-\gamma_{2} \alpha_{1}, \\
\gamma_{2}=\alpha_{3} \beta_{1}-\alpha_{1} \beta_{3}, & \gamma_{3}=\alpha_{1} \beta_{2}-\alpha_{2} \beta_{1} .
\end{array}
\]

Между девятью косинусами $\alpha, \beta, \gamma$ существует шесть независимых друг от друга соотношений; поэтому косинусы должны выражаться через три независимых величины. Выразим их следующим образом.
Между $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ существует одно уравнение
\[
\alpha_{3}^{2}+\beta_{3}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 ;
\]

эти величины мы можем выразить через две независимые величины $\vartheta$ и $\varphi$, положив
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{3}=\cos \varphi \cdot \sin \vartheta \\
\beta_{3}=\sin \varphi \cdot \sin \vartheta \\
\gamma_{3}=\cos \vartheta
\end{array}
\]

но тогда будет выполняться приведенное уравнение. Через $\vartheta$ и $\varphi$ величины $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ определяются однозначно; обратное, однако, не имеет места. Кроме того, что $\vartheta$ и $\varphi$ могут быть увеличены на произвольный угол, кратный $2 \pi$, знак $\vartheta$ может быть выбран произвольно, если заданы $\alpha_{3}, \beta_{3}$, $\gamma_{3}$. Знак $\vartheta$ можно изменить на противоположный, нужно только увеличить при этом $\varphi$ на $\pi$. В каждом отдельном положении тела значения $\vartheta$ и $\varphi$ должны выбираться произвольно, насколько допускают приведенные выше соображения. Для каждого нового положения, которое непрерывно следует из данного, эта неопределенность в выборе значения $\vartheta$ и $\varphi$ увеличивается вследствие предположения, что они непрерывно изменяются с изменением положения тела. $\vartheta$ и $\varphi$ имеют простой геометрический смысл; $\vartheta$ – угол, который образуют друг с другом оси $z$ и $\zeta ; \varphi$ – угол, который описывает плоскость, проходящая через ось $\zeta$, если из положения, при котором плоскость параллельна оси $\zeta$, она переходит в положение, параллельное оси $z$; поворот при этом осуществляется в том направленин, в каком плоскость должна быть повернута на прямой угол, чтобы стать параллельной оси $\eta$. Величины $\vartheta$ и $\varphi$ – полярные координаты точки на сферической поверхности, соотнесенной оси $z$; полюсы поверхности соответствуют направлению оси $\xi$. Угол $\varphi$ отсчитывается по большому кругу, образуемому плоскостью $\xi, \xi$.
Между косинусами $\Upsilon_{1}, \Upsilon_{2}, \Upsilon_{3}$ существует соотношение
\[
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 ;
\]

мы выполним это условие, если положим
\[
\Upsilon_{1}=\cos f \sin \vartheta, \quad \gamma_{2}=\sin f \cdot \sin \vartheta, \quad \Upsilon_{3}=\cos \vartheta .
\]

Если даны $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, то тем самым определяется $f$ с точностью до слагаемого, кратного $2 \pi$, так как $\vartheta$ уже определено; $\vartheta$ – угол, который описывает плоскость, проходящая через ось $z$, если из положения, при котором она параллельна оси $x$, плоскость переходит в положение, при котором она параллельна оси $\zeta$. При этом поворот происходит в направлении, в каком плоскость долкна быть повернута на прямой угол, чтобы стать параллельной оси $y$. Величины $\vartheta$ и $f$ – полярные координаты той точки на сферической поверхности, которая задается направлением оси $\zeta$, полюс поверхности определяется направлением оси $z$, а большой круг, по которому отсчитывается угол $f$, параллелен плоскости $z x$.

Зная пять величин: $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}, \gamma_{1}, \gamma_{2}$, можно теперь с помощью уравнений (6) и (7) однозначно вычислить четыре другие величины $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$; взяв те из этих уравнений, которые выражают $\alpha_{1}$ и $\beta_{2}$, получим
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)=-\alpha_{3} \gamma_{1} \gamma_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}, \\
\beta_{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)=-\alpha_{3} \gamma_{1}-\beta_{3} \gamma_{2} \gamma_{3},
\end{array}
\]

а взяв уравнения, которые выражают $\alpha_{2}$ и $\beta_{1}$, найдем
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)=-\alpha_{3} \gamma_{2} \gamma_{3}+\beta_{3} \gamma_{1}, \\
\beta_{1}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)=\alpha_{3} \gamma_{2}-\beta_{3} \gamma_{1} \gamma_{3} .
\end{array}
\]

Подставляем сюда значения $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}, \gamma_{1}, \gamma_{2}$, тогда множитель $1-\gamma_{3}^{2}$ сокращается, т. е. уничтожается $\sin ^{2} \vartheta$; отсюда имеем
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=-\cos \varphi \cdot \cos f \cdot \cos \vartheta-\sin \varphi \cdot \sin f, \\
\beta_{1}=-\sin \varphi \cdot \cos f \cdot \cos \vartheta+\cos \varphi \cdot \sin f, \\
\Upsilon_{1}=\cos f \cdot \sin \vartheta, \\
\alpha_{2}=-\cos \varphi \cdot \sin f \cdot \cos \vartheta+\sin \varphi \cdot \cos f, \\
\beta_{2}=-\sin \varphi \cdot \sin f \cdot \cos \vartheta-\cos \varphi \cdot \cos f, \\
\Upsilon_{2}=\sin f \cdot \sin \vartheta, \\
\alpha_{3}=\cos \varphi \cdot \sin \vartheta, \\
\beta_{3}=\sin \varphi \cdot \sin \vartheta, \\
\Upsilon_{3}=\cos \vartheta
\end{array}
\]
§ 2
Рассмотрим теперь бесконечно малое смещение, которое получает тело, а вместе с ним и система координат $x, y, z$. Изменение, которое испытывают некоторые рассматриваемые величины, обозначим через $\delta$. Тогда из уравнения (1) следует
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=\delta \alpha+x \delta \alpha_{1}+y \delta \alpha_{2}+z \delta \alpha_{3}, \\
\delta \eta=\delta \beta+x \delta \beta_{1}+y \delta \beta_{2}+z \delta \beta_{3}, \\
\delta \zeta=\delta \gamma+x \delta \gamma_{1}+y \delta \gamma_{2}+z \delta \gamma_{3} .
\end{array}
\]

Три величины $\delta \alpha, \delta \beta$, $\gamma$ могут быть выбраны произвольно, но это не относится к девяти величинам $\delta \alpha_{1}, \delta \beta_{1}, \ldots$; они могут быть выражены через три независимые величины, например через $\delta \vartheta, \delta \varphi$, $\delta f$, с помощью уравнений (8). Выберем вместо $\delta \vartheta, \delta \varphi, \delta f$, чтобы сохранить симметрию формул, три другие бесконечно малые величины, которые обозначим через $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}$, $\rho^{\prime}$, и определим их следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
\pi^{\prime}=\beta_{1} \delta \gamma_{1}+\beta_{2} \delta \gamma_{2}+\beta_{3} \delta \gamma_{3}, \\
\chi^{\prime}=\gamma_{1} \delta \alpha_{1}+\gamma_{2} \delta \alpha_{2}+\gamma_{3} \delta \alpha_{3}, \\
\rho^{\prime}=\alpha_{1} \delta \beta_{1}+\alpha_{2} \delta \beta_{2}+\alpha_{3} \delta \beta_{3} .
\end{array}
\]

Объединив эти уравнения с теми, которые получаются из уравнений (4), именно с уравнениями
\[
\begin{aligned}
0 & =\alpha_{1} \delta \alpha_{1}+\alpha_{2} \delta \alpha_{2}+\alpha_{3} \delta \alpha_{3}, \\
0 & =\beta_{1} \delta \beta_{1}+\beta_{2} \delta \beta_{2}+\beta_{3} \delta \beta_{3}, \\
0 & =\gamma_{1} \delta \gamma_{1}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}+\gamma_{3} \delta \gamma_{3}, \\
-\pi^{\prime} & =\gamma_{1} \delta \beta_{1}+\gamma_{2} \delta \beta_{2}+\gamma_{3} \delta \beta_{3}, \\
-\chi^{\prime} & =\alpha_{1} \delta \gamma_{1}+\alpha_{2} \delta \gamma_{2}+\alpha_{3} \delta \gamma_{3}, \\
-\rho^{\prime} & =\beta_{1} \delta \alpha_{1}+\beta_{2} \delta \alpha_{2}+\beta_{3} \delta \alpha_{3},
\end{aligned}
\]

можно выразить девять величин $\delta \alpha_{1}, \delta \beta_{1}, \ldots$ через $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$. Найдем, принимая во внимание уравнения (3):
\[
\begin{array}{l}
\delta \alpha_{1}=\gamma_{1} \chi^{\prime}-\beta_{1} \rho^{\prime}, \quad \delta \beta_{1}=\alpha_{1} \rho^{\prime}-\gamma_{1} \pi^{\prime}, \quad \delta \gamma_{1}=\beta_{1} \pi^{\prime}-\alpha_{1} \chi^{\prime}, \\
\delta \alpha_{2}=\gamma_{2} \chi^{\prime}-\beta_{2} \rho^{\prime}, \quad \delta \beta_{2}=\alpha_{2} \rho^{\prime}-\gamma_{2} \pi^{\prime}, \quad \delta \gamma_{2}=\beta_{2} \pi^{\prime}-\alpha_{2} \chi^{\prime}, \\
\delta \alpha_{3}=\gamma_{3} \chi^{\prime}-\beta_{3} \rho^{\prime}, \quad \delta \beta_{3}=\alpha_{3} \rho^{\prime}-\gamma_{3} \pi^{\prime}, \quad \delta \gamma_{3}=\beta_{3} \pi^{\prime}-\alpha_{3} \chi^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Уравнения (9) вследствие (11) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=\delta \alpha+(\xi-\gamma) \chi^{\prime}-(\eta-\beta) \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=\delta \beta+(\xi-\alpha) \rho^{\prime}-(\zeta-\gamma) \pi^{\prime}, \\
\delta \zeta=\delta \gamma+(\eta-\beta) \pi^{\prime}-(\xi-\alpha) \chi^{\prime}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=\delta \alpha-\gamma \chi^{\prime}+\beta \rho^{\prime}+\xi \chi^{\prime}-\eta \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=\delta \beta-\alpha \rho^{\prime}+\gamma \pi^{\prime}-\xi \rho^{\prime}-\zeta \pi^{\prime}, \\
\delta \zeta^{\prime}=\delta \gamma-\beta \pi^{\prime}+\alpha \chi^{\prime}+\eta \pi^{\prime}-\xi \chi^{\prime}
\end{array}
\]

Введем следующее определение. Назовем бесконечно малое смещение какой-либо системы материальных точек составленным из нескольких бесконечно малых смещений системы, если изменение координат каждой точки равно сумме изменений координат соответственных слагающих смещений. Это определение относится к ортогональной системе координат, которую нужно ввести; но формулы преобразования ортогональной системы координат, которые мы уже неоднократно употребляли, показывают, что смещение, которое можно считать составленным из нескольких других, является таким же относительно любой другой системы координат. Они показывают также, что два смещения точки складываются как две силы, действующие на точку, а именно, согласно теореме о параллелограмме.

Смещение нашего тела, представленное уравнениями (12), может поэтому считаться составленным из шести смещений, а именно, из таких, которые имеют место, если шесть величин $\delta \alpha, \delta \beta$, $\gamma, \pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ отличны от нуля.

Пусть только $\delta \gamma$ отлично от нуля, т. е. $\delta \xi=0, \delta \eta=0, \delta \zeta=\delta \gamma ;$ это означает, что тело претерпевает сдвиг на $\delta \gamma$ в направлении оси $\zeta$, при котором все линии в нем остаются параллельными себе. Пусть только $\delta \alpha$ или только $\delta \beta$ отлично от нуля, тогда тело претерпевает такой же сдвиг в направлении оси $\xi$ на $\delta \alpha$ или в направлении оси $\eta$ на $\delta \beta$. Пусть $\pi^{\prime}=0$, $\chi^{\prime}=0, \rho^{\prime}=0$, тогда тело испытывает аналогичный сдвиг в направлении и на длину линии, проекции которой на оси $\xi, \eta, \zeta$ равны $\delta \alpha, \delta \beta, \delta \gamma$.
Пусть только $\rho^{\prime}$ отлично от нуля, тогда уравнения (12) будут
\[
\delta \xi=-(\eta-\beta) \rho^{\prime}, \delta \eta=(\xi-\alpha) \rho^{\prime}, \delta \zeta=0 .
\]

При движении, определенном таким образом, точки линии $\xi=\alpha, \eta=\beta$ остаются на своих местах; такое движение называют вращением вокруг данной линии, как вокруг оси. Точка вне оси проходит при таком движении расстояние
\[
\sqrt{\delta \xi^{2}+\delta \eta^{2}}=\rho^{\prime} \sqrt{(\xi-\alpha)^{2}+(\eta-\beta)^{2}},
\]

вернее – расстояние равно абсолютному значению этого выражения. Оно равно абсолютному значению $\rho^{\prime}$, если $(\xi-\alpha)^{2}+(\eta-\beta)^{2}=1$; следовательто для точек тела, для которых $\xi-\alpha$ положительно, $\delta \eta$ тоже положительно. Таким образом тело вращается в том направлении, в каком должна вращаться некоторая его прямая линия, чтобы, описав прямой угол, перейти из положения, при котором она параллельна оси $\xi$, в положение, при котором прямая параллельна оси $\eta$. Если $\rho^{\prime}$ отрицательно, то вращение происходит в противоположном направлении.

Пусть $\pi^{\prime}$ или $\chi^{\prime}$ отлично от нуля, тогда тело вращается вокруг прямой $\eta=\beta, \zeta=\gamma$ или вокруг прямой $\zeta=\gamma, \xi=\alpha$ на расстоянии, равном абсолютному значению $\pi^{\prime}$ или $\chi^{\prime}$; направление вращения определяют по только что сформулированному правилу, если при этом изменить по циклу буквы $\xi, \eta, \zeta$ и $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$.

Посмотрим теперь, как складываются три таких вращения, если они одновременно имеют место. Уравнения (12) дают тогда
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=(\zeta-\gamma) \chi^{\prime}-(\eta-\beta) \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=(\xi-\alpha) \rho^{\prime}-(\zeta-\gamma) \pi^{\prime}, \\
\delta \zeta=(\eta-\beta) \pi^{\prime}-(\xi-\alpha) \chi^{\prime} .
\end{array}
\]

Проследим за точкой тела, для которой
\[
(\xi-\alpha):(\eta-\beta):(\zeta-\gamma)=\pi^{\prime}: \chi^{\prime}: \rho^{\prime},
\]

а поэтому для нее
\[
\delta \xi=0, \delta \eta=0, \delta \xi=0 ;
\]

это означает, что рассматриваемое движение – вращение, ось которого задана уравнениями (14). Квадрат расстояния, которое пробегает какая-либо точка, т. е. $\delta \xi^{2}+\delta \eta^{2}+\delta \zeta^{2}$, легко может быть приведен к форме
\[
\begin{array}{c}
\left(\pi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}\right)\left((\xi-\alpha)^{2}+(\eta-\beta)^{2}+(\zeta-\gamma)^{2}\right)- \\
-\left(\pi^{\prime}(\xi-\alpha)+\chi^{\prime}(\eta-\beta)+\rho^{\prime}(\zeta-\gamma)\right)^{2} .
\end{array}
\]

Выберем теперь точку ( $\xi, \eta, \zeta$ ) так, чтобы
\[
(\xi-\alpha)^{2}+(\eta-\beta)^{2}+(\zeta-\gamma)^{2}=1
\]

и
\[
\pi^{\prime}(\xi-\alpha)+\chi^{\prime}(\eta-\beta)+\rho^{\prime}(\zeta-\gamma)=0,
\]
т. е. так, что линия, которая соединяет ее с точкой $\xi=\alpha, \eta=\beta, \zeta=\gamma$, имеет длину, равную единице, и перпендикулярна к оси вращения (проходящей через точку); тогда пробегаемое расстояние $\sqrt{\pi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}}$ определяет угол поворота.

Определим теперь направление вращения. Для этой цели установим для оси вращения некоторое направление, одно из двух противоположных, которые мы можем выбрать согласно уравнениям (14); а именно, положим косинусы углов, образованных осью вращения с осями координат, равными
\[
\frac{\pi^{\prime}}{\sqrt{\pi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}}}, \frac{\chi^{\prime}}{\sqrt{\pi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}}}, \frac{\rho^{\prime}}{\sqrt{\pi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}}},
\]

где квадратные корни берутся с положительным знаком. Мы будем считать вращение вокруг определенной оси положительным или отрицательным, смотря по тому, в каком из двух противоположных направлений оно происходит; установим также, что знак вращения не переходит в противоположный, если ось вращения меняется вследствие непрерывного изменения $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ ( $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ не обращаются в нуль одновременно). Мы можем и впредь считать положительным вращение, определенное некоторыми значениями $\pi^{\prime}$, $\chi^{\prime}, \rho^{\prime}$, вокруг определенной оси, заданной выражениями (15). Пусть $\pi^{\prime}=0, \chi^{\prime}=0$, тогда имеем положительное вращение вокруг оси, направленной так же как ось $\zeta$, или противоположно ей, смотря по тому, положительно или отрицательно $\frac{\rho^{\prime}}{\sqrt{\rho^{\prime 2}}}$. Поэтому положительное вращение вокруг оси $\zeta$ получим в том направлении, в котором некоторая прямая линия должна повернуться на прямой угол, чтобы из положения, когда она параллельна оси $\xi$, прямая перешла в положение, при котором она параллельна оси $\eta$. Чтобы пояснить представление о положительном вращении вокруг некоторой оси, заметим еще следующее.

Выберем систему координат следующим образом. Пусть фигура человека расположена так, что линия, проведенная от ног к голове, параллельна оси $\zeta$, и человек смотрит в направлении оси $\eta$, тогда ось $\xi$ будет направлена вдоль правой вытянутой руки. Положительное вращение фигуры переместит ее правую сторону вперед. Положительное вращение вокруг некоторой оси также переместит правую сторону фигуры вперед в случае, если фигура человека расположена так, что ось вращения идет от ног к голове.

После проведенного рассуждения мы будем рассматривать $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ как координаты точки в системе координат $\xi, \eta$, $\zeta$, тогда направление линии, проведенной от начала координат к этой точке, дает нам такое направление оси вращения, которое имеет место при положительном вращении вокруг нее.

Легко заключить поэтому, что значения $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$, соответствующие определенному вращению, изменяются с системой координат; они изменяются как компоненты скорости или силы – их называют также компонентами вращения по координатным осям.

Необходимо заметить, что каждое бесконечно малое смещение тела (представленное уравнениями (12)) можно рассматривать как составленное из вращения вокруг известной оси, проходящей через произвольно выбранную точку $\xi=\alpha, \eta=\beta, \zeta=\gamma$, и из сдвига, когда все линии тела остаются параллельными себе.

Рассуждения, совершенно аналогичные проведенным при рассмотрении уравнений (12), можно провести с уравнениями (13). Положим
\[
\begin{array}{l}
\delta \alpha-\gamma \chi^{\prime}+\beta \rho^{\prime}=\lambda^{\prime}, \\
\delta \beta-\alpha \rho^{\prime}+\gamma \pi^{\prime}=\mu^{\prime}, \\
\delta \gamma-\beta \pi^{\prime}+\alpha \chi^{\prime}=
u^{\prime}
\end{array}
\]

это дает
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi^{\prime}=\lambda_{0}^{\prime}+\xi \chi^{\prime}-\eta \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=\mu^{\prime}+\xi \rho^{\prime}-\zeta \pi^{\prime}, \\
\delta \zeta=
u^{\prime}+\eta \pi^{\prime}-\xi \chi^{\prime} .
\end{array}
\]

Отсюда можно заключить, что упомянутое смещение тела может рассматриваться как составленное из вращения вокруг оси, проходящей через начало координат $\xi, \eta, \zeta$ (компоненты этого вращения $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ ), и из сдвига, компоненты которого $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}, v^{\prime}$. Компоненты вращения те же, как если бы была взята ось вращения, проходящая через точку $\xi=\alpha$, $\eta=\beta, \zeta=\gamma$, но компоненты сдвига отличны от тех, которые даны уравнениями (12).

Уравнения (17) действительны для любой системы координат; выберем ее подходящим образом в зависимости от рассматриваемого смещения. В этом случае возможно значительнсе упрсщение. Полагаем ось $\zeta$ параллельной оси вращения, которое оказывается некоторой частью смещения при этой системе кординат; в таком случае имеем $\pi^{\prime}=0, \chi^{\prime}=0$ и уравнения (17) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=\lambda^{\prime}-\eta \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=\mu^{\prime}+\xi \rho^{\prime}, \\
\delta \zeta=
u^{\prime} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что имеется такая прямая линия, а именно линия, параллельная оси $\zeta$, для точек которой $\delta \xi=0$ и $\delta \eta=0$. Уравнения этой линии
\[
\lambda^{\prime}-\eta \rho^{\prime}=0, \mu^{\prime}+\xi \rho^{\prime}=0 .
\]

Совместим с ней ось $\xi$; тогда $\lambda^{\prime}=0$ и $\mu^{\prime}=0$, , следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=-\eta \rho^{\prime}, \\
\delta \eta=\xi \rho^{\prime}, \\
\delta \zeta=v^{\prime} .
\end{array}
\]

Представлє нное этими уравнениями движение называют винтовым движением, а ось $\zeta$ – его осью; оно составлено из вращения вокруг оси и сдвига в ее направлении. Таким образом, самое общее бесконечно малое движение системы точек, жестко соединенных между собой, является винтовым движением.
$\S 3$
Смещения всех точек рассматриваемой системы или тела мы выразим уравнениями (17) посредством шести взаимно независимых бесконечно малых величин $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}, v^{\prime}, \pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$, которые относятся к системе координат $\xi, \eta, \zeta$. Смещение тела состоит здесь из вращения вокруг оси, проходящей через точку $\xi=0, \eta=0, \zeta=0$ и сдвига; $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime},
u^{\prime}$ являются компонентами сдвига; $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ – компонентами вращения по осям $\xi, \eta, \zeta$. Подобным образом смещения всех точек можно выразить шестью другими независимыми друг от друга величинами, определяющими положение системы координат $x, y, z$ перед смещением тела. Назовем эти шесть величин $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и определим их следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
u^{\prime}=\alpha_{1} \delta \alpha+\beta_{1} \delta \beta+\gamma_{1} \delta \gamma, \\
v^{\prime}=\alpha_{2} \delta \alpha^{\prime}+\beta_{2} \delta \beta+\gamma_{2} \delta \gamma, \\
w^{\prime}=\alpha_{3} \delta \alpha^{\prime}+\beta_{3} \delta \beta+\gamma_{3} \delta \gamma,
\end{array}
\]

н
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\alpha_{3} \delta \alpha_{2}+\beta_{3} \delta \beta_{2}+\gamma_{3} \delta \gamma_{2}, \\
q^{\prime}=\alpha_{1} \delta \alpha_{3}{ }^{\prime}+\beta_{1} \delta \beta_{3}+\gamma_{1} \delta \gamma_{3}, \\
r^{\prime}=\alpha_{2} \delta \alpha_{1}+\beta_{2} \delta \beta_{1}+\gamma_{2} \delta \Upsilon_{1} .
\end{array}
\]

Если соединить три последних уравнения с теми, которые получаются вариацией уравнений (3), т. е. с уравнениями
\[
\begin{aligned}
0 & =\alpha_{1} \delta \alpha_{1}+\beta_{1} \delta \beta_{1}+\gamma_{1} \delta \gamma_{1}, \\
0 & =\alpha_{2} \delta \alpha_{2}+\beta_{2} \delta \beta_{2}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}, \\
0 & =\alpha_{3} \delta \alpha_{3}+\beta_{3} \delta \beta_{3}+\gamma_{3} \delta \gamma_{3}, \\
-p^{\prime} & =\alpha_{2} \delta \alpha_{3}+\beta_{2} \delta \beta_{3}+\gamma_{2} \delta \gamma_{3}, \\
-q^{\prime} & =\alpha_{3} \delta \alpha_{1}+\beta_{3} \delta \beta_{1}+\tau_{3} \delta \gamma_{1}, \\
-r^{\prime} & =\alpha_{1} \delta \alpha_{2}+\beta_{1} \delta \beta_{2}+\gamma_{1} \delta \gamma_{2},
\end{aligned}
\]

то найдем, принимая во внимание уравнения (4),
\[
\begin{array}{l}
\delta \alpha_{1}=\alpha_{2} r^{\prime}-\alpha_{3} q^{\prime}, \quad \delta \alpha_{2}=\alpha_{3} p^{\prime}-\alpha_{1} r^{\prime}, \quad \delta \alpha_{3}=\alpha_{1} q^{\prime}-\alpha_{2} p^{\prime}, \\
\delta \beta_{1}=\beta_{2} r^{\prime}-\beta_{3} q^{\prime}, \quad \delta \beta_{2}=\beta_{3} p^{\prime}-\beta_{1} r^{\prime}, \quad \delta \beta_{3}=\beta_{1} q^{\prime}-\beta_{2} p^{\prime}, \\
\delta \gamma_{1}=\gamma_{2} r^{\prime}-\gamma_{3} q^{\prime}, \quad\left[\delta \gamma_{2}=\gamma_{3} p^{\prime}-\gamma_{1} r^{\prime}, \quad \delta \gamma_{3}=\gamma_{1} q^{\prime}-\gamma_{2} p^{\prime} .\right.
\end{array}
\]

Составим компоненты смещения точки $(x, y, z)$ или, что то же самое, точки $(\xi, \eta, \zeta$ ) по осям $x, y, z$, т. е. подсчитаем значения выражений
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \delta \xi+\beta_{1} \delta \eta+\gamma_{1} \delta \zeta, \\
\alpha_{2} \delta \xi+\beta_{2} \delta \eta+\gamma_{2} \delta \xi, \\
\alpha_{3} \delta \xi+\beta_{3} \delta \eta+\gamma_{3} \delta \xi
\end{array}
\]

находим тогда из уравнений (9), с помощью (18) и (20)
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime}+z q^{\prime}-y r^{\prime}, \\
v^{\prime}+x r^{\prime}-z p^{\prime}, \\
w^{\prime}+y p^{\prime}-x q^{\prime} .
\end{array}
\]

Эти выражения имеют ту же форму, что и уравнения (17) для $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta$; из них следует, что смещение, о котором идет речь, может рассматриваться как составленное из вращения вокруг оси, проходящей через точку $x=0, y=0, z=0$, и сдвига, компоненты которых по осям $x, y, z$ равны соответственно $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$.

Поскольку $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$ являются компонентами одного и того же вращения по осям $x, y, z$ и по осям $\xi, \eta, \zeta$, то согласно сделанному нами на стр. 43 замечанию, должно быть
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\alpha_{1} \pi^{\prime}+\beta_{1} \chi^{\prime}+\gamma_{1} \rho^{\prime}, \\
q^{\prime}=\alpha_{2} \pi^{\prime}+\beta_{2} \chi^{\prime}+\gamma_{2} \rho^{\prime}, \\
r^{\prime}=\alpha_{3} \pi^{\prime}+\beta_{3} \chi^{\prime}+\gamma_{3} \rho^{\prime} .
\end{array}
\]

Эти уравнения легко получаются из (19) и (11), если принять во внимание (6) и (7).

Более сложны уравнения, которые выражают $u^{\prime}, v^{\prime}$, $w^{\prime}$ через $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}$, $v^{\prime}, \pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$; они получаются из (18) и (16):
\[
\begin{array}{l}
u^{\prime}=\alpha_{1} \lambda^{\prime}+\beta_{1} \mu^{\prime}+\gamma_{1} v^{\prime}+\left(\gamma_{1} \beta-\beta_{1} \gamma\right) \pi^{\prime}+\left(\alpha_{1} \gamma-\gamma_{1} \alpha\right) \chi^{\prime}+\left(\beta_{1} \alpha-\alpha_{1} \beta\right) \rho^{\prime}, \\
v^{\prime}=\alpha_{2} \lambda^{\prime}+\beta_{2} \mu^{\prime}+\gamma_{2} v^{\prime}+\left(\gamma_{2} \beta-\beta_{2} \gamma\right) \pi^{\prime}+\left(\alpha_{2} \gamma-\gamma_{2} \alpha\right) \chi^{\prime}+\left(\beta_{2} \alpha_{4}-\alpha_{2} \beta\right) \rho^{\prime}, \\
w^{\prime}=\alpha_{3} \lambda^{\prime}+\beta_{3} \mu^{\prime}+\gamma_{3} v^{\prime}+\left(\gamma_{3} \beta-\beta_{3} \gamma\right) \pi^{\prime}+\left(\alpha_{3} \gamma-\gamma_{3} \alpha\right) \chi^{\prime}+\left(\beta_{3} \alpha-\alpha_{3} \beta\right) \rho^{\prime} .(23)
\end{array}
\]
$\S 4$
Дополним эти объяснения еще следующими замечаниями.
По определениям работы и составного бесконечно малого смещения работа сил, действующих на систему материальных точек при каком-то бесконечно малом смещении системы, которое может рассматриваться как состоящее из нескольких, равна сумме работ тех же сил на слагающих смещениях. Пусть смещение таково, что относительное расположение точек остается при нем неизменным; тогда работа при таком смещении может быть представлена как
\[
X u^{\prime}+Y v^{\prime}+Z w^{\prime}+M_{x} p^{\prime}+M_{y} q^{\prime}+M_{z} r^{\prime}
\]

или также
\[
\Xi \lambda^{\prime}+H \mu^{\prime}+Q v^{\prime}+M_{\xi} \pi^{\prime}+M_{\eta} \chi^{\prime}+M_{\xi} \rho^{\prime},
\]

причем $X, Y, Z, \Xi, H, Q$ означают суммы компонент сил по осям $x, y, z$ и $\xi, \eta, \zeta ; M_{x}, M_{y}, M_{z}, M_{\xi}, M_{\eta}, M_{\zeta}$ – моменты вращения сил относительно осей $x, y, z$ и $\xi, \eta, \zeta$; это следует из замечаний, которые были сделаны в прошлой лекции о сумме компонент и моментах вращения системы сил. Оба выражения, установленные для работы, должны быть равны друг другу, поскольку выполняются уравнения (22) и (23). Подставляя в них значения $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и приравнивая коэффициенты при $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}, v^{\prime}$, $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}, \rho^{\prime}$, получим
\[
\begin{array}{c}
\Xi=\alpha_{1} X+\alpha_{2} Y+\alpha_{3} Z, \\
H=\beta_{1} X+\beta_{2} Y+\beta_{3} Z, \\
Q=\gamma_{1} X+\gamma_{2} Y+\gamma_{3} Z \\
M_{\xi}=\left(\gamma_{1} \beta-\beta_{1} \gamma\right) X+\left(\gamma_{2} \beta-\beta_{2} \gamma\right) Y+\left(\gamma_{2} \beta-\beta_{3} \gamma\right) Z+ \\
+\alpha_{1} M_{x}+\alpha_{2} M_{y}+\alpha_{3} M_{z}, \\
M_{\eta}=\left(\alpha_{1} \gamma-\gamma_{1} \alpha\right) X+\left(\alpha_{2} \gamma-\gamma_{2} \alpha\right) Y+\left(\alpha_{3} \gamma-\gamma_{3} \alpha\right) Z+ \\
+\beta_{1} M_{x}+\beta_{2} M_{y}+\beta_{3} M_{z}, \\
M_{\zeta}=\left(\beta_{1} \alpha-\alpha_{1} \beta\right) X+\left(\beta_{2} \alpha-\alpha_{2} \beta\right) Y+\left(\beta_{3} \alpha-\alpha_{3} \beta\right) Z+ \\
+\gamma_{1} M_{x}+\gamma_{2} M_{y}+\gamma_{3} M_{z} .
\end{array}
\]

Эти уравнения показывают, как изменяются суммы компонент и моменты вращения системы сил при переходе от одной ортогональной системы координат к другой. Три последних из этих уравнений существенно упрощаются, если обе системы имеют общее начало координат; это означает, что $\alpha=0, \beta=0, \gamma=0$; уравнения тогда примут вид
\[
\begin{array}{l}
M_{\xi}=\alpha_{1} M_{x}+\alpha_{2} M_{y}+\alpha_{3} M_{z}, \\
M_{\eta}=\beta_{1} M_{x}+\beta_{2} M_{y}+\beta_{3} M_{z}, \\
M_{\xi}=\gamma_{1} M_{x}+\gamma_{2} M_{y}+\gamma_{3} M_{z},
\end{array}
\]

или также
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=\alpha_{1} M_{\xi}+\beta_{1} M_{\eta}+\gamma_{1} M_{\zeta}, \\
M_{\hat{
u}}=\alpha_{2} M_{\xi}+\beta_{2} M_{\eta}+\gamma_{2} M_{\zeta}, \\
M_{z}=\alpha_{3} M_{\xi}+\beta_{3} M_{\eta}+\gamma_{3} M_{\zeta},
\end{array}
\]

и они показывают, что если $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ рассматриваются как ортогональные координаты точки в системе $x, y, z$, то положение этой точки не зависит от направления осей координат. Момент вращения относительно той оси, которая проходит через эту точку и начало координат, называется главным моментом вращения.

Если вместо системы сил имеется одна сила, компоненты которой $X, Y, Z$ и точка приложения которой имеет координаты $x, y, z$, то по определению момента вращения, данному формулой (10) прошлой лекции,
\[
M_{x}=y Z-z Y, \quad M_{y}=z X-x Z, \quad M_{z}=x Y-y X .
\]

В таком случае ось главного момента вращения перпендикулярна к направлению силы и линии, которая соединяет начало координат и точку $(x, y, z)$; тогда
\[
X M_{x}+Y M_{y}+Z M_{z}=0
\]

и
\[
x M_{x}+y M_{y}+z M_{z}=0 .
\]

Главный момент вращения равен
\[
\sqrt{M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}}
\]

или
\[
\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)-(x X+y Y+z Z)^{2}} ;
\]

это означает, что он равен абсолютному значению произведения расстояния точки $(x, y, z)$ от начала координат на величину силы и на синус угла, который направление силы образует с линией, соединяющей начало координат с точкой $(x, y, z)$.