$\S 1$

При исследовании движения тяжелых тел мы использовали систему координат, которая связана с Землей, и все-таки применяли те же дифференциальные уравнения движения в пространстве неподвижной системы координат. Поскольку Земля движется, то здесь заключается неточность, которую мы теперь найдем и устраним. С этой целью мы должны рассмотреть, каковы будут изменения в дифференциальных уравнениях движения, если они даны в подвижной системе координат вместо покоящейся. В особом случае мы разрешили эту задачу уже в $\S 4$ четвертой лекции, а именно, в случае, когда оси системы координат при их движении сохраняют свое направление; и мы показали, что если при этом система координат движется с постоянной скоростью и в одном направлении, то мы получим те же самые дифференциальные уравнения, что и при покоящейся системе координат. Центр Земли движется по своей орбите вокруг Солнца так близко к движению с равномерной скоростью в неизменном направлении, что к движению на Земле в системе координат, начало которой есть центр Земли и оси которой имеют постоянные направления, без заметных ошибок можно применить дифференциальные уравнения, которые имеют место в подвижной системе координат.

Но иначе, нежели с поступательным движением Земли, обстоит дело с движением ее вокруг оси, которое оказывает заметное влияние на движения тел относительно Земли. Чтобы найти это влияние, представим себе систему материальных точек, на которые действуют произвольные силы и которые подчинены любым уравнениям связей; рассмотрим положения, которые имеют эти точки в момент времени $t$ одновременно в двух системах координат, из которых одна покоится в пространстве, другая движется. Пусть $m$-масса одной из точек; $x, y, z$ – ее координаты: $X, Y, Z$ – составляющие действующей на нее силы в момент времени $t$ в покоящейся системе координат; $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ – эти же величины в движущейся системе координат; наконец, $\delta x, \delta y, \delta z$ – виртуальные изменения $x, y, z$ и $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ – соответствующие вариации $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Тогда по принципу Даламбера
\[
0=\sum\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \delta x+\left(m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \delta y+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-Z\right) \delta z .
\]

Введем в это уравнение буквы со штрихами вместо букв без штрихов. При этом мы используем то, что
\[
X \delta x+Y \delta y+Z \delta z=X^{\prime} \delta x^{\prime}+Y^{\prime} \delta y^{\prime}+Z^{\prime} \delta z^{\prime} .
\]

так как оба эти выражения представляют работу одной и той же силы для одного и того же смещения точки ее приложения; в остальном мы проводим расчет только при допущении, что
\[
\begin{array}{c}
x=x^{\prime} \cos w t+y^{\prime} \sin w t, \\
y=-x^{\prime} \sin w t+y^{\prime} \cos w t \\
z=z^{\prime}
\end{array}
\]

где $w$ – постоянная; это значит, что мы рассмотрим задачу в предположении, что движущаяся система координат вращается в определенном направлении с постоянной угловой скоростью $ш$ вокруг оси $z^{\prime}$, при этом совпадают начала координат систем и ось $z$ совпадает с осью $z^{\prime}$. Из уравнений (2) следует:
\[
\begin{array}{c}
\delta x=\delta x^{\prime} \cos \omega t+\delta y^{\prime} \sin \omega t, \\
\delta y=-\delta x^{\prime} \sin \omega t+\delta y^{\prime} \cos \omega t, \\
\delta z=\delta z^{\prime},
\end{array}
\]

далее
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=\frac{d x^{\prime}}{d t} \cos w t+\frac{d y^{\prime}}{d t} \sin w t-w x^{\prime} \sin w t+w y^{\prime} \cos w i \\
\frac{d y}{d t}=-\frac{d x^{\prime}}{d t} \sin w t+\frac{d y^{\prime}}{d t} \cos w t-w x^{\prime} \cos w t-w y^{\prime} \sin w t \\
\frac{d z}{d t} \frac{d z^{\prime}}{d t}
\end{array}
\]

H
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}} \cos w t+\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}} \sin w t- \\
-2 w \frac{d x^{\prime}}{d t} \sin w t+2 w \frac{d y^{\prime}}{d t} \cos w t-w^{2} x^{\prime} \cos w t-w^{2} y^{\prime} \sin w t, \\
d^{2} y \\
d t^{2}=-\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}} \sin w t+\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t} \cos w t- \\
-2 w \frac{d x^{\prime}}{d t} \cos \omega t-2 w \frac{d y^{\prime}}{d t} \sin w t+w^{2} x^{\prime} \sin w t-w^{2} y^{\prime} \cos w t, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}} .
\end{array}
\]

Гlocле этого уравнение (1) принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
0=\sum\left(m \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}-X^{\prime}-m w^{2} x^{\prime}+m 2 w \frac{d^{\prime} y^{\prime}}{d t}\right) \delta x^{\prime}+ \\
\therefore\left(m \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}-Y^{\prime}-m w^{2} y^{\prime}-m 2 w \frac{d x^{\prime}}{d t}\right) \delta y^{\prime}+\left(m \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}-Z^{\prime}\right) \delta z^{\prime} .
\end{array}
\]

Это уравнение того же вида, что и уравнение (1); из него следует, что вращение системы координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ можно отбросить, если к силам $\left(X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\right)$, которые действуют на материальные точки, еще добавнть определенные силы, составляющие которых
\[
m\left(w^{2} x^{\prime}-2 w \frac{d y^{\prime}}{d t}\right), \quad m\left(w^{2} y^{\prime}+2 w \frac{d x^{\prime}}{d t}\right), \quad 0
\]

относятся к точке с массой $m$.

Если система материальных точек находится в относительном покое в системе $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, то $\frac{d x^{\prime}}{d t}=0, \frac{d y^{\prime}}{d t}=0$; тогда выражения (5) приводятся к виду:
\[
m w^{2} x^{\prime}, \quad m w^{2} y^{\prime}, 0 .
\]

Сила, которая имеет эти составляющие, перпендикулярна к оси вращения, т. е. оси $z^{\prime}$, направлена от нее и имеет величину
\[
m w^{2} \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2} .}
\]

Эту силу называют центробежной. Для системы материальных точек, которые без изменения их относительного расположения вращаются вокруг оси с постоянной угловой скоростью, можно (чтобы выяснить соотношения между силами, которые действуют на нее) отбросить вращение, если к этим силам добавить центробежную силу, вызванную вращением.
Эта теорема допускает еще обобщение, которое мы хотим получить. мы предполагаем, что уравнения условий между координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ не содержат времени; изменения $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$, которые претерпевают $x^{\prime} y^{\prime}, z^{\prime}$ за элемент времени $d t$, являются виртуальными изменениями $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, и могут быть подставлены в уравнение (4) вместо $\delta x^{\prime}$, $\delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$. Сделав это, мы получим
\[
\begin{array}{c}
0=\sum\left(m \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}-X^{\prime}-m w^{2} x^{\prime}\right) d x^{\prime} \\
+\left(m \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}-Y^{\prime}-m w^{2} y^{\prime}\right) d y^{\prime}+ \\
-\left(m \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}-Z^{\prime}\right) d z^{\prime} .
\end{array}
\]

Фиг. I

Это уравнение совпадает с тем, к которому приходят, если пренебрегают вращением системы координат и вводят при этом соответствующие центробежные силы. Если далее число уравнений условий между координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ так велико, что мгновенное положение системы определяется одной переменной величиной, то можно вычислить из (6) эту переменную величину, а следовательно, и получить закон движения системы. Из этого следует, что при сделанных теперь допущениях необходимость принимать во внимание вращенуе системы координат полностью заменена введением центробежной силы.

Этот результат важен для движения тел на Земле; он показывает, что можно отказаться от рассмотрения вращения Земли, если добавить к действующим на тело силам соответствующие этому вращению центробежные силы, предполагая, что положение системы определено посредством одной переменной величины и что уравнения условий между координатами в неподвижной на Земле системе координат не содержат времени. Тяжестьэто равнодействующая притяжения к Земле, которое испытывает единица массы по законам гравитации, и центробежной силы, возникающей вследствие вращения Земли; эта равнодействующая и есть тасила, которая измеряется в опытах с маятником, рассмотренных в предыдущей лекции.

Посмотрим теперь, как после этого должна была бы изменяться тяжесть по величине и направлению на поверхности Земли, если Земля – шар и ее плотность на одинаковом расстоянии от центра была бы одинаковой. Расстояние рассматриваемого тела от центра Земли, т. е. радиус Земли, мы назовем $R$; направленное к центру Земли и отнесенное к
массы притяжение к Земле – $G$; угол, который образует проведенный к телу радиус Земли с экваториальной плоскостью, обозначим $\varphi$, и через $w$ обозначим угловую скорость Земли. Ось $z^{\prime}$ направим по оси вращения Земли, ось $x^{\prime}$ – по пересечению ее экваториальной плоскости с меридианом тела (фиг. 1). Тогда составляющие силы тяжести $g$ но осям координат будут равны
\[
-\left(G-w^{2} R\right) \cos \varphi, \quad 0, \quad-G \sin \varphi .
\]

Из этого следует
\[
g=G \sqrt{1-2{ }_{G}^{w^{2} R} \cos ^{2} \varphi+\left(\frac{\omega^{2} R}{G}\right)^{2} \cos ^{2} \varphi},
\]

и если обозначить географическую широту места наблюдения через $\psi$, то она будет означать угол между экватором и вертикалью, т. е. направлением силы тяжести, и
\[
\operatorname{tg} \psi=\operatorname{tg} \varphi \frac{1}{1-\frac{w^{2} R}{G}}
\]

При допущении, которое мы сделали о форме и свойстве Земли, $G$ равно значению, которое $g$ имеет на полюсе, следовательно, по уравнению (6) прошлой лекции (если единицей времени будет секунда)
\[
G=9^{m}, 8309 .
\]

Далее приближенно имеем
\[
R=\frac{1}{2 \pi} 40000000^{m}
\]

и
\[
w=\frac{2 \pi}{24 \cdot 60 \cdot 60} ;
\]

из этого следует
\[
\frac{w^{2} R}{G}=\frac{1}{291} .
\]

Эта дробь так мала, что при наших наблюдениях ее квадратом (по сравнению с единицей) можно пренебречь. Сделав это, получим из уравнений (7) и (8)
\[
\begin{array}{c}
g:=G\left(1-\frac{w^{2} R}{G} \cos ^{2} \varphi\right), \\
\operatorname{tg} \psi=\operatorname{tg} \varphi\left(1+\frac{w^{2} R}{G}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому $\psi-\varphi$ также очень мало, так что можно подставить
\[
\operatorname{tg} \psi=\operatorname{tg} \varphi+\frac{\psi-\varphi}{\cos ^{2} \varphi},
\]

откуда затем следует
\[
\psi-\varphi=-\frac{1}{2} \sin 2 \varphi \frac{\omega^{2} R}{G} .
\]

С той же точностью имеем
\[
\begin{array}{l}
g=G\left(1-\frac{w^{2} R}{G} \cos ^{2} \psi\right), \\
\psi-\varphi=\frac{1}{2} \sin 2 \psi \frac{w^{2} R}{G} .
\end{array}
\]

Первое из этих двух уравнений того же вида, что и уравне ние (6) предыдущей лекции, выведенное из опытов с маятником; но числовые коэффициенты при $\cos ^{2} \psi$ в обоих существенно различны. В основе этого лежит то, что Земля не является, как мы это принимаем, шаром; вследствие ее вращения она является очень приближенно эллипсоидом вращения, и поэтому притяжение к ней тем больше, чем больше географическая широта места исследования. Но не будем подробнее останавливаться на этом вonросе.
$\S 2$
На движение тела по отношению к Земле вращение последней оказывает еще влияние, кроме того, которое представляется центробежной силой.
Исследуем его для свободной тяжелой материальной точки.
Пусть $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – координаты точки в момент времени $t$ в неподвижной системе координат на Земле, ось $z^{\prime}$ которой является осью Земли. Обозначим через $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ составляющие силы тяжести по осям координат, т. е. составляющие равнодействующей притяжения к Земле и центробежной силы. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}=X^{\prime}-2 w \frac{d y^{\prime}}{d t}, \\
\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}=Y^{\prime}+2 w \frac{d x^{\prime}}{d t}, \\
\frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}=Z^{\prime} .
\end{array}
\]

Так как в этих уравнениях не встречаются сами координаты, а входят только их производные функции, то они остаются справедливыми, если оси координат перенести без изменения их направления; итак, мы можем начало координат созместить с положением, которое занимает рассматриваемая точка в $t=0$; ось $z^{\prime}$ должна тогда быть параллельной оси Земли. Составляющие силы тяжести, строго говоря, не постоянные, но мы рассмотрим их как постоянные, т. е. предположим, что путь, который описывает точка, бесконечно мал по сравнению с размерами Земли. Обозначим силу тяжести буквоӥ $g$, географическую широту места наблюдения – $\psi$ и направим ось $y^{\prime}$ перпендикулярно к меридиану. Пусть положительные направления $x^{\prime}$ н $z^{\prime}$ идут от Земли, тогда
\[
X^{\prime}=-g \cos \psi, \quad Y^{\prime}=0, \quad Z^{\prime}=-g \sin \psi .
\]

Теперь вместо системы координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ должна быть введена новая $x, y, z$, так что ось $y$ совпадает с осью $y^{\prime}$, ось $z$ имеет направление силы тяжести, и, следовательно,
\[
X=0, \quad Y=0, \quad Z=g .
\]

Теперь можно получить:
\[
\begin{array}{l}
x=-x^{\prime} \sin \psi+z^{\prime} \cos \psi, \\
y=y^{\prime} \\
z=-x^{\prime} \cos \psi-z^{\prime} \sin \psi .
\end{array}
\]

Продиффегенцируем эти уравнения дважды по $t$, используя (9), (10) и уравнения $x^{\prime}=-x \sin \psi-z \cos \psi, y^{\prime}=y$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=2 w \cos \psi \frac{d y}{d t}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-2 w\left(\sin \psi \frac{d x}{d t}+\cos \psi \frac{d z}{d t}\right) ; \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=g+2 w \cos \psi \frac{d y}{d t} .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно интегрировать без дополнительных предположечий известным методом; мы упростим их интегралы, допустив, что можно пренебречь членами порядка $w^{2} y$. Начальные значения $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ назовем $\alpha, \beta, \gamma ;$ тогда мы прежде всего получим из (11)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\alpha+2 w \sin \psi \cdot y, \\
\frac{d z}{d t}=\gamma+g t+2 w \cos \psi \cdot y,
\end{array}
\]

а используя это – при упомянутом допущении – получим
\[
\frac{d y}{d t}=\beta-2 w(\alpha \sin \psi+\gamma \cos \psi) t-w \cos \psi \cdot g t^{2} .
\]

Это же предположение ведет далее к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
z=\alpha t+w \beta \sin \psi t^{2}, \\
y=\beta t-w(\alpha \sin \psi+\gamma \cos \psi) t^{2}-\omega \cos \psi \frac{g t^{3}}{3}, \\
z=\gamma t+\left(-\frac{g}{2}+\omega \beta \cos \psi\right) t^{2} .
\end{array}
\]

Пусть начальная скорость равна нулю; это означает, что $\alpha, \beta, \gamma$ равны нулю, и тогда эти уравнения будут
\[
\begin{array}{l}
x=0, \\
y=-w \cos \psi \frac{g t^{3}}{3}, \\
z=\frac{g t^{2}}{2},
\end{array}
\]

отсюда следует
\[
y=-\frac{w \cos \psi}{3} \sqrt{\frac{82^{3}}{g}} .
\]

Свободно падающее тело отклоняется поэтому вследствие вращения Земли от вертикальной линии в направлении, перпендикулярном меридиану. Отклонение прожсходит в сторону вращения Земли, т. е. на восток. Райхом поставлены в Фрайберге опыты, при которых было
\[
\psi=5057^{\prime}, \quad g=9^{m}, 811, \quad x=158^{m}, 5 .
\]
$У_{\text {равнение (12) дает отсода }} y=27^{m m}, 5$; Райх нашел $y=28^{m m}, 4$.

§ 3
Теперь мы исследуем движение простого маятника, который может свободно вращаться вокруг точки подвеса, но с учетом вращения Земли. Мы воспользуемся той же системой координат, к которой относится уравнение (11), ось $z$ этой системы направлена вертикально вниз. За начало координат примем положение равновесия тяжелой точки маятника, $l$ – его длина. Тогда имеем уравнение условия
\[
x^{2}+y^{2}+(l-z)^{2}=l^{2},
\]

и дифференциальные уравнения движения примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=2 w \sin \psi-\frac{d y}{d t}+\lambda x, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-2 w\left(\sin \psi \frac{d x}{d t}+\cos \psi \frac{d z}{d t}\right)+\lambda y ; \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=g+2 w \cos \psi \frac{d y}{d t}+\lambda(z-l) .
\end{array}
\]

Интеграл уравнений найдем, если их помножим на $d x, d y, d z$, сложим и проинтегрируем; тогда получим
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=(2 g z+H) d t^{2},
\]

где $H$ – произвольная постоянная. Чтобы найти второй интеграл, образуем из (13)
\[
x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-2 w \sin \psi\left(x \frac{d x}{d t}+y \frac{d y}{d t}\right)-2 w \cos \psi x \frac{d z}{d t} .
\]

Это уравнение, вообще говоря, неинтегрируемо; но его можно проинтегрировать, если допустить, что колебания маятника бесконечно малы. Пусть $x$ и $y$-бесконечно малые первого порядка по сравнению с $l$ : тогда $z$ будет второго порядка малости, а именно
\[
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 l} .
\]

Поэтому последний член в уравнении (15) третьего порядка малости, в го время как другие – второго. Пренебрегая ими, имеем
\[
x d y-y d x=\left(c-w \sin \psi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) d t,
\]

где $c$ – новая произвольная постоянная. Теперь уравнение (14) приведем к виду
\[
d x^{2}+d y^{2}=\left(\frac{g}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)+H\right) d t^{2} .
\]

Подставляем в (16) и (17)
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta,
\]

где $r$ и – полярные координаты тяжелой точки, получим
\[
\begin{array}{c}
r^{2} d \theta=\left(c-r^{2} w \sin \psi\right) d t \\
d r^{2}+r^{2} d \theta^{2}=\left(\frac{g}{l} r^{2}+H\right) d t^{2}
\end{array}
\]

Если мы положим
\[
\theta+t w \sin \psi=\vartheta,
\]

то первое из этих уравнений примет вид
\[
r^{2} d \vartheta=c d t
\]
a втopoe
\[
d r^{2}+r^{2} d \theta^{2}=\left(\left(\frac{g}{l}-w^{2} \sin ^{2} \psi\right) r^{2}+H+c 2 w \sin \psi\right) d t^{2} .
\]

Введем вместо $H$ другую произвольную постоянную $h$ с помощью уравне ния
\[
H+c 2 w \sin \psi=h
\]

при условии, что $w$ столь мало, что его квадратом можно пренебречь уравнение (20) запишем следующим образом:
\[
d r^{2}+r^{2} d \vartheta^{2}=\left(\frac{g}{l} r^{2}+h\right) d t^{2} .
\]

Уравнения (19) и (20) можно легко проинтегрировать до конца; они согла суются с уравнениями, в которых пренебрегают вращением Земли. Иs этого следует, что они не содержат $w$, т. е. останутся неизменнымі, еслр подставить в них $w=0$. Подставляем $w=0$, тогда $\vartheta=\theta$, и $r$ и $\vartheta$ будул полярными координатами тела маятника. Если принять во внимание вра. щение Земли, то этими полярными координатами являются $r$ и $\theta$, и между $\theta$ и $\vartheta$ существует соотношение (18). Отсюда сле дует, что относительное движение маятника по отношению к вращающейся Земле такое же, каким было бы абсолютное движение маятника, если бь Земля была неподвижной, но в действительности Земля вращается с угло вой скоростью $w \sin \psi$ вокруг вертикальной линии, проходящей через точку подвеса.
Этот результат подтвержден опытами, поставленными Фуко.