$\S 1$

До сих пор мы рассматривали только такое гиижение несжимаемой жидкости, при котором для каждой частицы существует потенциал скоростей. Допустим теперь, что для некоторых частиц это не имеет места, так что, согласно § 3 пятнадцатой лекции, в жидкости имеются вихревые suти. Мы будем предполагать, что вихревые нити целиком находятся в конечной области, что жидкость, наполняющая все пространство, покоится на бесконечности и что скорости $u, v$, w в точке $(x, y, z)$ изменяются непрерывно с $x, y, z$. Производные $u, v, w$ по $x, y, z$ мы не будем считать непрерывными, но будем предполагать, что для них возможен конечный скачок на некоторых поверхностях.

Обозначим через $\xi, \eta, \zeta$ компоненты скорости вращения в точке $(x, y, z)$; тогда по уравнению (13) пягнадцатой лекции будем иметь
\[
\begin{aligned}
2 \xi & =\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \\
2 \eta & =\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}, \\
2 \zeta & =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} .
\end{aligned}
\]

Далее, вследствие несжимаемости жидкости, мы имеем
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\]

Прежде всего покажем, что $u$, $v$, w вполне определены, если $\xi, \eta, \zeta$ заданы всюду. Положим, что существуют две системы значений $u$, $v$, ә, удовлетворяющих указанным условиям; разность их обозначим через $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$. Тогда будем иметь
\[
\frac{\partial w^{\prime}}{\partial y}-\frac{\partial v^{\prime}}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial u^{\prime}}{\partial z}-\frac{\partial w^{\prime}}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial v^{\prime}}{\partial x}-\frac{\partial u^{\prime}}{\partial y}=0,
\]
т. е. $u^{\prime}, v^{\prime}, w$ – частные производные некоторой функции, которую мы обозначим через $\varphi$. Далее, они непрерывны во всем пространстве и равны нулю в бесконечности. Для $\varphi^{\prime}$ уравнение (2) переходит в уравнение $\Delta \varphi^{\prime}=0$. Для определения функции $\varphi^{\prime}$, определенной пока только свонми производными, мы можем еще дополнительно положить, что ф должна быть всюду непрерывна; тогда $\varphi^{\prime}$ будет также и однозначной, так как пространство, которое мы рассматриваем, односвлзно. Но по предложению, доказанному в § 7 шестнадцатой лекции, отсюда следует, что $\varphi^{\prime}=$ const; следовательно, $u^{\prime}=0, v^{\prime}=0, w^{\prime}=0$.
Положим
\[
\begin{array}{l}
u=\frac{\partial W}{\partial y}-\frac{\partial V}{\partial z}, \\
v=\frac{\partial U}{\partial z}-\frac{\partial W}{\partial x}, \\
w=\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y},
\end{array}
\]

где через $U, V, W$ мы обозначим три новых неизвестных функции; тогдет уравнение (2) будет удовлетворено. Уравнения (1) также будут удовлет. ворены, если положим, что

и
\[
\begin{array}{c}
\Delta U=-2 \xi, \Delta V=-2 \eta, \Delta W=-2 \xi \\
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

Три первых из этих уравнений будут удовлетворены вследствие уравнения (11) шестнадцатой лекции, если положим
\[
\begin{aligned}
U & =\frac{1}{2 \pi} \int \frac{\xi d \tau}{r}, \\
V & =\frac{1}{2 \pi} \int \frac{\eta d \tau}{r}, \\
W & =\frac{1}{2 \pi} \int \frac{\zeta d \tau}{r},
\end{aligned}
\]

где $d \tau$ – элемент заполненного вихревыми нитями объема, и $r$ – расстоя ние его от точки, к которой относятся $U, V, W$. При этом $U, V, W$ со своими первыми производными непрерывны во всем пространстве и равны нулю в бесконечности, откуда следует, что $u$, $v$, w также непрерывны и обращаются в нуль в бесконечности. Что последнее из уравнєний (4) будет также удовлетворено, покажет следующее исследованиє. Нз трех первых уравнений (4) мы получим
\[
\Delta\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right)=-2\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{\partial \zeta}{\partial z}\right) ;
\]

поэтому, вследствие уравнений (1)
\[
\Delta\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right)=0 .
\]

Функция $\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}$ сверх того непрерывна во всем пространстве и обращается в нуль в бесконечности. Ее производные по $x, y, z$ также всюду непрерывны, за исключением, может быть, поверхности, ограничивающей наполненное вихревыми нитями пространство. Надо будет доказать, что и здесь также эта функция не имеет скачка. Пусть $d s$ – элемент этой поверхности, $n_{i}$ – внутренняя, $n_{a}$ – внешняя пормаль к $d s$; тогда, согласно предложению, выраженному уравнением (10) шестнадцатой лекции, имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} U}{\partial n_{i} \partial x}+\frac{\partial^{2} U}{\partial n_{a} \partial x}=-2 \xi \cos \left(n_{i}, x\right), \\
\frac{\partial^{2} V}{\partial n_{i} \partial y}+\frac{\partial^{2} V}{\partial n_{a} \partial y}=-2 \eta \cos \left(n_{i}, y\right), \\
\frac{\partial^{2} W}{\partial n_{i} \partial z}+\frac{\partial^{2} W}{\partial n_{a} \partial z}=-2 \zeta \cos \left(n_{i}, z\right),
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial n_{i}}\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial n_{a}}\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right)=-2\left[\xi \cos \left(n_{i}, x\right)+\right. \\
\left.+\eta \cos \left(n_{i}, y\right)+\zeta \cos \left(n_{i}, z\right)\right] .
\end{array}
\]

Но, по данному в $\S 3$ пятнадцатой лекции определению вихревой нити, выражение, стоящее в правой части этого уравнения, равно нулю.
Поэтому выражение
\[
\frac{\partial}{\partial n_{i}}\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}\right)
\]

не получит скачка на поверхности, ограничивающей заполненное вихревыми нитями пространство. Согласно разъяснению, данному в § 7 шестой лекции, отсюда приходим к последнему из уравнений (4).

Этим доказано, что если для некоторого момента $\xi, \eta, \zeta$ даны для всех частиц вихревой нити, то из уравнений (3) и (5) можно найти скорости $u$, $v$, w всех частиц для того же момента. Из уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=u, \frac{d y}{d t}=v, \frac{d z}{d t}=w
\]

можно затем найти перемещения, получаемые какой-нибудь частицей жидкости, а следовательно, и элементом вихревой нити, в элемент времени $d t$. Но из перемещений, получаемых в это время вихревой частицей, по доказанному в § 3 пятнадцатой лекции предложению можно вычислить соответственные изменения $\xi, \eta, \zeta$. Поэтому, если $\xi, \eta, \zeta$ заданы для момента времени $t$, то они определены также для момента времени $t+d t$; следовательно, движение жидкости вполне определено, если даны $\xi, \eta, \zeta$ только для одного момента.

Уравнения (3) и (5) показывают, что каждый элемент вихревой нити $d \tau$ дает определенные части значений компонент скорости $u, v, w$; эти части суть
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \tau}{2 \pi}\left(\zeta \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y}-\eta \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}\right) \\
\frac{d \tau}{2 \pi}\left(\xi \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}-\zeta \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x}\right) \\
d \tau\left(\eta \frac{\partial}{\partial}-\xi \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y}\right)
\end{array}
\]

Если рассматривать эти величины как компоненты скорости, то направление их перпендикулярно к оси вращения элемента $d \tau$ и к линии $r$. Первое следует из того, что выражения (6), умноженные на $\xi, \eta, \zeta$, дают сумму, обращающуюся в нуль; второе – из того, что эти выражения, умноженные на $\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}$, дают сумму, равную нулю. Нетрудно найти величину равнодействующей скорости; она равна
\[
\frac{d \tau}{2 \pi} \sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}} \frac{\sin \vartheta}{r^{2}},
\]

где $\vartheta-$ угол между направлением оси вращения элемента $d \tau$ и направления линии $r$. Двузначность, которая остается в отношении направления скорости, исчезнет, если мы заметим, что это направление непрерывно изменяется с местом и вблизи рассматриваемой частицы вихревой нити определено направлением ее вращения. Можно упомянуть, что скорость, о которой идет речь, согласуется по величине и направлению с силой, с которой действует элемент электрического тока, находящийся на месте элемента $d \tau$ и имеющий направление оси вращения, на магнитный полюс, координаты которого суть $x, y, z$.

Мы выведем еще замечательные выражения для живой силы жидкости. Обозначим ее опять через $T$ и положим, чго плотность жидкости равна единице; тогда
\[
T=\frac{1}{2} \int d \tau\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right),
\]

где интегрирование распространено на область, ограниченную замкнутой поверхностью, все точки которой лежат в бесконечности. Какова будет форма этой поверхности, безразлично для значения $T$, как покажет вычисление, которое мы сейчас сделаем. При посредстве уравнений (3) уравнение (7) дает

Қаждую из шести частей, на которые может быть разложен этот ингеграл, мы проинтегрируем по частям по $x, y$ или $z$. Функции $U, V, W$ и $u, v, w$ всюду непрерывны и в бесконечности будут бесконечно малыми. При этом, если $R$ означает рассгояние точки, к которой они относятся, от некоторой точки, лежащей на конечном расстоянии, то величины $R J$, $R V, R W$, и $R^{2} u, R^{2} v, R^{2} w$ не будут бесконечно большими, если $R$ бесконечно велико. Огсюда найдем
\[
T=\frac{1}{2} \int d \tau\left\{U\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)+V\left(\begin{array}{l}
\partial u-\partial w \\
\partial z-\partial x
\end{array}\right)+W\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\right\},
\]

или по (1)
\[
T=\int d \tau(U \xi+V \eta+W \zeta) .
\]

Обозначим через $d \tau^{\prime}$ второй элемент объема, через $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ – значения $\xi, \eta, \zeta$ для него и через $r$ – расстояние между элементами $d \tau$ и $d \tau^{\prime}$; тогда, вследствие уравнений (5), здесь можно будет также написать
\[
T=\frac{1}{2 \pi} \iint \frac{d \tau d \tau^{\prime}}{r}\left(\xi \xi^{\prime}+\eta \eta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime}\right) .
\]
§ 2
Прежде чем применять полученные в предыдущем параграфе уравнения, выведем соответственные уравнения для случая, когда движение всюду параллельно одной плоскости, плоскости $x O y$, и не зависит от координаты $z$ рассматриваемой точки. В этом случае вычисления будут много проще, чем рассмотренные в $\S 1$. Представим себе, что жидкость ограничена двумя стенками, параллельными плоскости $x O y$; между ними жидкость должна простираться в бесконечность и там находиться в покое.
При сделанном предположении уравнения (1) дают
\[
\xi=0, \quad \eta=0
\]

\[
2 \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} .
\]

Из этого следует, что вихревые нити параллельны оси (z). Так как они здесь не изменяют своей длины, то, по доказанному в § 3 пятнадцатой лекции предложению, для какой-нибудь частицы жидкости $\zeta$ не должно зависеть от времени.

Пусть для некоторого момента даны значения $\zeta$ как функции $x$ и $y$; тогда для того же момента мы найдем $u$ и $v$ из уравнения (10) и уравнения
\[
0=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x},
\]

выражающего условие несжимаемости. Эти уравнения в связи с утверждением, что $u$ и $v$ всюду непрерывны и обращаются в нуль на бесконечности, определяют $u$ и $v$ однозначно и дают
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\partial W}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial W}{\partial k}, \\
W=-\frac{1}{\pi} \int \zeta d f \lg \rho,
\end{array}
\]

где $d f$ – элемент плоскости $x O y$, к которому относится $\zeta$, и $\rho$-рассгояние его от точки $(x, y)$ плоскости $x O y$. Оба утверждения легко могут быть доказаны при помощи разъяснения, сделанного в § 9 шестнадцатой лекции, совершенно таким же путем, каким соответственное предположение было доказано в предыдущем параграфе.
Если $u$ и $v$ определены из (11), то из уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=u, \quad \frac{d y}{d t}=v,
\]

пользуясь тем, что $\zeta$ для каждсй частицы остается постоянным, найдем движение частиц, к которым относятся $x$ и $y$.

Уравнение (11) показывает, что кажгая вихревая нить, поперечное сечение которой есть $d f$, дает известные части значений $u$ и $v$, а именно
\[
-\frac{1}{\pi} \zeta d f \frac{\partial \rho}{\partial y} \quad \text { и } \quad \frac{1}{\pi} \frac{\rho d f \partial \rho}{\partial x} .
\]

Если будем рассматривать их как компоненты некоторой скорости, то ее направление перпендикулярно к линии $\rho$, а величина равна
\[
\frac{1}{\pi} \zeta d f
\]

Положим расстояние между обеими стенками, параллельными плоскости $x O y$, ограничивающими жидкость, равньм единице и найдем выраже ние для живой силы путем, аналогичным тому, каким следовали при вычислении живой силы в предыдущем параграфе; тогда $T$ получится бесконечно большим, если только не будет
\[
\int \zeta d f=0 . .^{36}
\]

Определим величины $x_{0}$ и $y_{0}$ из уравнений
\[
x_{0} \int \zeta d f=\int x_{\zeta}^{\zeta} d f, \quad y_{0} \int \zeta d f=\int y_{\zeta} \zeta d f .
\]

Обозначим через $\zeta$ плотность массы, распределенной по элементам $d \dagger$ плоскости $x O y$; тогда $x_{0}$ и $y_{0}$ будут координатами центра тяжести всех наличных масс. Мы будем называть точку с координатами $x_{0}$, $y_{0}$ центром тяжести вихревых нитей. Эта точка не изменяет своего положения. как показывает следующее исследование.

Так как $\zeta$ и $d f$, относящиеся к одной и той же частице, не зависят от времени, то из уравнений (12) следует, что
\[
{ }_{d t}^{d x_{0}} \int \zeta d f=\int u \zeta d f, \quad \frac{d y_{0}}{d t} \int \zeta d f=\int v_{\zeta}^{\epsilon} d f
\]

Подставим здесь вместо $u$ и $v$ их значения из (11); тогда, если обозначим через $d f^{\prime}$ второй элемент плоскости $x O y$ и через $\rho$ – расстояние между элементами $d f$ и $d f^{\prime}$, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d f=-\frac{1}{\pi} \iint \zeta \zeta^{\prime} d f d f^{\prime} \frac{y-y^{\prime}}{\rho^{2}}, \\
\frac{d y_{0}}{d t} \int \zeta d f=\frac{1}{\pi} \iint \zeta \zeta^{\prime} d f d f^{\prime} \frac{x-x^{\prime}}{\rho^{2}} .
\end{array}
\]

Каждый из этих двойных интегралов равен нулю.
В самом деле, каждая пара элементов площади, по которой производится интегрирование, встречается в нем дважды; первый раз элемент $d f$ считается за первый, а элемент $d f^{\prime}$ за второй, и другой раз наоборот. Но при перестановке букв со штрихами и букв без итрихов интегрируемые величины получают противоположное значение, поэтому элементы каждого из двойных интегралов уничтожаются попарно.
Отсюда следует, что
\[
\frac{d x_{0}}{d t}=0, \quad \frac{d y_{0}}{d t}=0,
\]
т. е. центр тяжести вихревых нитей не изменяет своего места со временем.
§ 3
Полученные в предыдущем параграфе предложения мы применим теперь к случаю, когда имеется налицо только одна или несколько вихревых нитей бесконечно малого поперечного сечения. Допустим сперва, что существует только одна такая нить и положим для нее
\[
\int \zeta d f=m
\]

при этом мы будем рассматривать $m$ как конечное; тогда $\zeta$ должно иметь бесконечно большое значение. Мы не предполагаем $\zeta$ постоянным, но знак его не должен меняться; тогда центр тяжести нити лежит всегда внутри или бесконечно близко к поперечному сечению. Для всех точек, лежащих на конечном расстоянии от вихревой нити, вследствие уравнений (11), имеем
\[
u=\frac{\partial W}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial W}{\partial x}, \quad W=-\frac{1}{\pi} m \lg p,
\]

где начало $\rho$ есть произвольная точка поперечного сечения нити. Величины $W, u, v$ бесконечно близки к нити, а внутри нити, вообще, бесконечно велики, и значения их зависят от ее поперечного сечения и значения $\zeta$ для отдельных частиц этого поперечного сечения. Для центра тяжести нити, согласно предложению, доказанному в конце $\S 2$, $u$ и $v$ равны нулю. Поэтому мы можем сказать, что вихревая нить остается на своем месте, хотя, вообще, поперечное сечение ее изменяется и ее центр тяжести совпадает в различные моменты с различными частицами жидкости. Каждая частица жидкости, находящаяся от этого центра тяжести на конечном расстоянии, описывает около него круг с постоянной скоростью
\[
\frac{m}{\pi \rho} \text {. }
\]

Пусть теперь имеется несколько точно таких нитей, как рассмотренная выше; $m_{1}, m_{2}, \ldots$ – соответственные значения интеграла (13) для них; $x_{1}$, $y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots$ – координаты их центров тяжести в момент времени $t ; \rho_{1}$, $\rho_{2}, \ldots$ – расстояния их до точки $(x, y)$. Тогда для всех точек, лежащих на конечном расстоянии от вихревых нитей, будем иметь
\[
u=\frac{\partial W}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial W}{\partial x}, \quad W=-\frac{1}{\pi} \sum_{i} m_{i} \lg \rho_{i},
\]

где сумма взята по всем индексам. Центры тяжести этих нитей движутся; однако для центра тяжести каждой нити части функций $u$ и $v$, которые происходят от этой нити, равны нулю. Из этого следует, что если мы отнесем $u_{1}$ и $v_{1}$ к центру тяжести нити с индексом 1 , предполагая, что каждые две нити находятся на конечном расстоянии друг от друга, то будем иметь
\[
u_{1}=\frac{\partial W_{1}}{\partial y_{1}}, \quad v_{1}=-\frac{\partial W_{1}}{\partial x_{1}}, \quad W_{1}=-\frac{1}{\pi}\left(m_{2} \lg \rho_{12}+m_{3} \lg \rho_{13}+\ldots\right),
\]

где $\rho_{12}, \rho_{13}, \ldots$ означают расстояния центра тяжести нити 1 от центров тяжести нитей 2,3.. Уравнения, составленные по этому образцу, можно написать так:
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \frac{d x_{1}}{d t}=\frac{\partial P}{\partial y_{1}}, \quad m_{2} \frac{d x_{2}}{d t}=\frac{\partial P}{\partial y_{2}}, \ldots \\
m_{1} \frac{d y_{1}}{d t}=-\frac{\partial P}{\partial x_{1}}, \quad m_{2} \frac{d y_{2}}{d t}=-\frac{\partial P}{\partial x_{2}}, \ldots, \\
P=-\frac{1}{\pi} \sum m_{1} m_{2} \lg \rho_{12},
\end{array}
\]

где сумма взята по всем сочетаниям индексов по два.
Мы можем найти некоторые интегралы уравнений (14), как бы велико ни было число нитей. Значение $P$ останется неизменным, если $x_{1}, x_{2}, \ldots$ или $y_{1}, y_{2}, \ldots$ мы увеличим на одну и ту же величину, откуда следует, что
\[
\sum \frac{\partial P}{\partial x_{1}}=0 \text { и } \sum \frac{\partial P}{\partial y_{1}}=0,
\]
т. e.
\[
\sum m_{1} x_{1}=\text { const и } \sum m_{1} y_{1}=\text { const. }
\]

Эти интегралы не дают ничего нового; они выражают уже доказанное предложение, что общий центр тяжести вихревых нитей остается в одном и том же положении.

Умножим уравнения первой строки в (14) на $d y_{1}, d y_{2}, \ldots$, второй строки на $-d x_{1},-d x_{2}, \ldots$ и сложим их; тогда получим
\[
d P=0, \text { т. е. } P=\text { const. }
\]

Четвертый интеграл мы найдем, еслх вместо прямоугольных координат введем полярные следующим рассуждением. Пусть будет
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\rho_{1} \cos \vartheta_{1}, \quad x_{2}=\rho_{2} \cos \vartheta_{2}, \ldots, \\
y_{1}=\rho_{1} \sin \vartheta_{1}, \quad y_{2}=\rho_{2} \sin \vartheta_{2}, \ldots
\end{array}
\]

Дифференциальные уравнения (14), вследствие такой подстановки, примут вид
\[
\begin{array}{l}
m_{1} \rho_{1} \frac{d \rho_{1}}{d t}=\frac{\partial P}{\partial \vartheta_{1}}, \quad m_{2} \rho_{2} \frac{d \rho_{2}}{d t}=\frac{\partial P}{\partial \vartheta_{2}}, \ldots, \\
m_{1} \rho_{1} \frac{d \vartheta_{1}}{d t}=-\frac{\partial P}{\partial \rho_{1}}, \quad m_{2} \rho_{2} \frac{d \vartheta_{2}}{d t}=-\frac{\partial P}{\partial \rho_{2}}, \ldots .
\end{array}
\]

Из того обстоятельства, что $P$ по (14) остается неизменным, если углы $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \ldots$ возрастут на одну и ту же величину, следует, что
\[
\sum \frac{\partial P}{\partial \vartheta_{1}}=0 .
\]

Поэтому уравнения верхней строки (17) дают
\[
\sum m_{1} \rho_{1}^{2}=\text { const. }
\]

Выведем одно следствие из уравнений (17) нижней строки. Пусть в то время как углы $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \ldots$ остаются неизменными, $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots$ увеличиваются в отношении $\frac{1}{n}$, так как $\lg \rho_{1}, \lg \rho_{2}, \ldots$ увеличится на $\log n$; тогда величины $\rho_{12}$ возрастут также в отношении $1: n$, а величины $\log \rho_{12}$ – на $\lg n$.
При этом, по (14), возрастет и $P$ на
\[
-\frac{1}{\pi} \lg n \sum m_{1} m_{2} .
\]

Отсюда следует, что
\[
\sum \frac{\partial P}{\partial \lg p_{1}}=-\frac{1}{\pi} \sum m_{1} m_{2}
\]

или
\[
\sum \rho_{1} \frac{\partial P}{\partial \rho_{1}}=-\frac{1}{\pi} \sum m_{1} m_{2}
\]

и поэтому вследствие уравнений (17)
\[
\sum m_{1} \rho_{1}^{2} d \vartheta_{1}=\frac{d t}{\pi} \sum m_{1} m_{2} .
\]

Если имеем $m р и$ нити, то задача об определении их движения приводится к решению уравнений и выполнению квадратур. Именно, введем как искомые переменные $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \vartheta_{2}-\vartheta_{1}, \vartheta_{3}-\vartheta_{1}$ и $\vartheta_{1}$, умножим затем уравнения (15) сначала на $\cos \vartheta_{1}, \sin \vartheta_{1}$, а потом на $-\sin \vartheta_{1}, \cos \vartheta_{1}$ и каждый раз сложим их; тогда, решая полученные таким образом уравнения и уравнения (16) и (18), можно выразить четыре из переменных $p_{1}$, $\rho_{2}, \rho_{3}, \vartheta_{2}-\vartheta_{1}$ через пятое $\vartheta_{3}-\vartheta_{1}$. Положим, что остальные переменные зыражены через $\rho_{1}$; тогда из (19) и уравнения
\[
m_{1} \rho_{1} d \vartheta_{1}=-\frac{\partial P}{\partial \rho_{1}} d t
\]

которое входит в систему (17), можно посредством квадратур найти $\vartheta_{1}$ и $t$ как функции $\rho_{1} *$.

Очень легко определяется движение вихревых нитей, когда таковых имеется только две. Возьмем их центр тяжести за начало координат; тогда будем иметь
\[
\frac{d_{\vartheta_{1}}}{d t}=\frac{d_{\vartheta_{2}}}{d t} .
\]

Уравнения (16) и (18) дадут
\[
\rho_{1}=\text { const }, \quad \rho_{2}=\text { const },
\]

и из (19) следует, что
\[
\frac{d_{\vartheta_{1}}}{d t}=\frac{d_{\vartheta_{2}}}{d t}=\frac{1}{\pi} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} \rho_{1}^{2}+m_{2} \rho_{2}^{2}} .
\]
* Vergl. Gzöbbli. Inaugural-Dissertation, Göttingen, 1877.

С такой угловой скоростью обе вихревые нити вращаются относительнс их центра тяжести. При этом
\[
m_{1} \rho_{1} \mp m_{2} \rho_{2}=0,
\]

где надо взять верхний или нижний знак в зависимости от того, будут ли $m_{1}$ и $m_{2}$ иметь одинаковые или противоположные знаки, т. е. в зависимости от того, вращаются ли обе нити в одинаковом или в противоположном направлениях. Из (20) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\rho_{1} \frac{d_{\vartheta_{1}}}{d t}=\frac{1}{\pi} \frac{m_{2}}{\rho_{2} \pm \rho_{1}}, \\
\rho_{2} \frac{d_{\vartheta_{2}}}{d t}=\frac{1}{\pi} \frac{m_{1}}{\rho_{2} \pm \rho_{1}} .
\end{array}
\]

Особое исследование требуется для случая, когда
\[
m_{2}=-m_{1} .
\]

Тогда центр тяжести нитей лежит в бесконечности, $p_{1}$ и $p_{2}$ бесконечнс велики, но разность их длин конечна и равна расстоянию нитей друг от друга. Движение нитей происходит так, что они движутся с равными скоростями, перпендикулярными к прямой, соединяющей их. Эта скорость равна
\[
\rho_{1} \frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial t} \text { или } \frac{1}{\pi} \frac{m_{2}}{\rho_{2}-\rho_{1}} \text {. }
\]

Частицы, лежащие между обеими вихревыми нитями, двигаются в том же направлении. Частица, находящаяся посредине между нитями, движется с учетверенной скоростью нитей.

Частицы жидкости, лежащие в некоторый момент в плоскости, делящей пополам расстояние между нитями и пересекающей его перпендику. лярно, остаются в этой плоскости. Поэтому рассматриваемое движение жидкости может существовать также, если плоскость будет заменена твердой стенкой. Тогда можно, рассматривая жидкость по одну сторону этой стенки, прийти к случаю одной вихревой нити, которая движется параллельно ограничивающей жидкость твердой стенке.
$\S 4$
Теперь мы приложим выведенные в § 2 уравнения к случаю, когда имеющиеся вихревые нити непрерывно сливаются одна с другой и образуют цилиндр конечного поперечного сечения. Допустим, что $\zeta$ имеет одно и то же значение для всех точек поперечного сечения и что последнее в некоторый момент времени есть эллипс. Вычисление покажет, что тогда все условия задачи будут удовлетворены при предположении, что это сечение будет всегда эллипсом, оси которого сохраняют постоянную длину и вращаются с постоянной угловой скоростью. Представим уравнение линии, ограничивающей поперечное сечение в момент времени $t$, в виде
\[
F(x, y, t)=0 .
\]

Так как эта линия всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости то для нее, согласно разъяснению к уравнению (31) десятой лекции, должно быть также
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+u \frac{\partial F}{\partial x}+v \frac{\partial F}{\partial y}=0,
\]

яли, вследствие уравнений (11),
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y}=0
\]

Положим теперь, что
\[
F=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}-1,
\]

где $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ – некоторые функции $t$. Введем наряду с системой координат $x, y$ вторую- $x^{\prime}, y^{\prime}$, оси которой совпадают с главными осями эллипса, о котором идет речь. Представим уравнение его в виде
\[
\frac{x^{\prime 2}}{a^{2}}+\frac{y^{\prime 2}}{b^{2}} \Rightarrow 1
\]

и положим
\[
x^{\prime}=x \cos \vartheta+y \sin \vartheta, \quad y^{\prime}=-x \sin \vartheta+y \cos \vartheta ;
\]

тогда будем иметь
\[
\begin{array}{l}
a^{2} b^{2} a_{11}=b^{2} \cos ^{2} \vartheta+a^{2} \sin ^{2} \vartheta \\
a^{2} b^{2} a_{12}=\left(b^{2}-a^{2}\right) \cos \vartheta \sin \vartheta \\
a^{2} b^{2} a_{22}=b^{2} \sin ^{2} \vartheta+a^{2} \cos ^{2} \vartheta
\end{array}
\]

где $\vartheta$ зависит от $t$, но $a$ и $b$ постоянные. Как найти определяемое (11) значение $W$, показано уравнением (10) восемнадцатой лекции; именно, мы будем иметь
\[
W=\text { const }-\frac{\zeta}{a+b}\left(b x^{\prime 2}+a y^{\prime 2}\right)
\]

для каждой точки внутри вихревых нитей или на их границе.
Отсюда для каждой такой точки имеем
\[
W=\text { const }-\frac{\zeta}{a+b}\left(A_{11} x^{2}+2 A_{12} x y+A_{22} y^{2}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A_{11}=b \cos ^{2} \vartheta+a \sin ^{2} \vartheta \\
A_{12}=(b-a) \cos \vartheta \sin \vartheta \\
A_{22}=b \sin ^{2} \vartheta+a \cos ^{2} \vartheta .
\end{array}
\]

Поэтому уравнение (21) будет выполнено не только на границе, но также для всякой точки поперечного сечения вихревых нитей, если только $\theta$ будет определено как функция $t$ так, что будут удовлетворены три уравнения
\[
\begin{array}{l}
(a+b) \frac{d a_{11}}{d t}=4 \zeta\left(a_{11} A_{12}-a_{12} A_{11}\right), \\
(a+b) \frac{d a_{12}}{d t}=2 \zeta\left(a_{11} A_{22}-a_{22} A_{11}\right), \\
(a+b) \frac{d a_{28}}{d t}=4 \zeta\left(a_{12} A_{22}-a_{22} A_{12}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (23) и (24) показывают, что это будет иметь место, если мы положим
\[
\frac{d_{0}}{d t}=2 \zeta \frac{a b}{(a+b)^{2}} .
\]

С такой скоростью эллиптический цилиндр, образованный вихревыми нитями, вращается вокруг своей оси, но при этом нити получают также относительные смещения. Мы найдем их, если координаты $x^{\prime}, y^{\prime}$, относящиеся к одной и той же частице, выразим через время. Посредством исследования, которое мы уже сделали по отношению к уравнениям (2) девятой лекции, и пользуясь тем, что компоненты скорости по осям $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ суть
\[
\frac{\partial W}{\partial y^{\prime}} \text { и }-\frac{\partial W}{\partial x^{\prime}},
\]

из (22) найдем
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=\frac{\partial W}{\partial y^{\prime}}+y^{\prime} \frac{d_{\vartheta}}{d t}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial W}{\partial x^{\prime}}-x^{\prime} \frac{d \vartheta}{d t},
\]
т. е.
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=-\frac{2 \zeta a^{2}}{(a+b)^{2}} y^{\prime}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=\frac{2 \zeta b^{2}}{(a+b)^{2}} x^{\prime} .
\]

Положим ради краткости
\[
2 \zeta \frac{a b}{(a+b)^{2}}=\lambda,
\]
т. е. обозначим через $\lambda$ угловую скорость, с которой вращается рассмат риваемый эллиптический цилиндр; тогда интегралы этих уравнений будут
\[
x^{\prime}=a x \cos (\lambda t+\mu), \quad y^{\prime}=b x \sin (\lambda t+\mu),
\]

где $x$ и $\mu$ – постоянные интегрирования и определяют частицу жидкости, к которой относятся $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$; первое из них должно быть правильной дробью, так как проделанное вычисление годится только для частиц жидкости, образующих вихревые нити. Вычислим $x$ и $y$ по $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ при помощи уравнений (22) и выберем начало отсчета времени так, чтобы $\vartheta$ и $t$ обращались в нуль одновременно. Тогда получим
\[
\begin{array}{l}
x=a x \cos (\lambda t+\mu) \cos \lambda t-b x \sin (\lambda t+\mu) \sin \lambda t, \\
y=a x \cos (\lambda t+\mu) \sin \lambda t+b x \sin (\lambda t+\mu) \cos \lambda t,
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{a+b}{2} x \cos (2 \lambda t+\mu)+\frac{a-b}{2} x \cos \mu, \\
y=\frac{a+b}{2} x \sin (2 \lambda t+\mu)-\frac{a-b}{2} x \sin \mu .
\end{array}
\]

Эти уравнения показывают, что каждая из рассматриваемых частиц жидкости движется с постоянной скоростью по окружности и описывает ее за время $\frac{\pi}{\lambda}$. Радиусы и центры этих окружностей для различных точек различны.

Если одна из главных осей может быть рассматриваема как бесконечно большая сравнительно с другой, то $\lambda$ обращается в нуль; следовательно, линия, в которую превращается эллипс, не вращается. Если $a=b$, то $\lambda=\frac{\zeta}{2}$; частицы круга, в который тогда переходит эллипс, вращаются без изменения своего относительного расположения вокруг центра с угловой скоростью $\zeta$.
§ 5
Приложим теперь выведенные в § 1 уравнения к случаю, когда все вихревые линии суть круги, имеющие общей осью ось $z$. Если это состояние осуществляется в некоторый момент времени, то оно будет иметь место всегда. Положим
\[
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\]

тогда форма и длина каждой вихревой линии в какой-нибудь момент времени определится двумя переменными $\rho$ и $z$. Траектория частицы жидкости лежит в плоскости, проходящей через ось $z$, и ее уравнение есть уравнение между $\rho$ и $z$.
Положим
\[
x=\rho \cos \vartheta, \quad y=\rho \sin \vartheta,
\]

тогда при сделанном предположении
\[
\xi=-\sigma \sin \vartheta, \quad \eta=\sigma \cos \vartheta, \quad \zeta=0,
\]

где $\sigma$ не зависит от $\vartheta$. Из последнего уравнения и последнего из уравнений (5) будем иметь
\[
W=0
\]

и, следовательно, по (3) \”получаем
\[
u=-\frac{\partial V}{\partial z}, \quad v=\frac{\partial U}{\partial z}, \quad w=\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y} .
\]

Обозначим через $d \tau^{\prime}$ элемент объема, через $\sigma^{\prime}, \vartheta^{\prime}, \rho^{\prime}, z^{\prime}$ – значения $\sigma, \theta, \rho, z$ для него и через $r$ – его растояние от точки $(\vartheta, \rho, z)$ или $(x, y, z)$; тогда из (5) следует, что
\[
U=-\frac{1}{2 \pi} \int \frac{\sigma^{\prime} \sin \vartheta^{\prime} d \tau^{\prime}}{r}, \quad V=\frac{1}{2 \pi} \int \frac{\sigma^{\prime} \cos \vartheta^{\prime} d \tau^{\prime}}{r},
\]

причем имеем
\[
\begin{array}{c}
d \tau^{\prime}=\rho^{\prime} d \rho^{\prime} d z^{\prime} d \vartheta^{\prime}, \\
r^{2}=\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\rho^{\prime 2}+\rho^{2}-2 \rho^{\prime} \rho \cos \left(\vartheta^{\prime}-\vartheta\right) .
\end{array}
\]

Введем вместо $\vartheta^{\prime}$ величину
\[
\varphi=\vartheta^{\prime}-\vartheta
\]

и заметим, что по $\varphi$ можно будет интегрировать от нуля до $2 \pi$ и что
\[
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin \varphi d \varphi}{\sqrt{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\rho^{\prime 2}+\rho^{2}-2 \rho^{\prime} \rho \cos \varphi}}=0 ;
\]

тогда получим
\[
U=-S \sin \vartheta, \quad V=S \cos \vartheta,
\]

где $S$ не зависит от $\vartheta$. Положим
\[
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos \varphi d \varphi}{\sqrt{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\rho^{\prime 2}+\rho^{2}-2 \rho^{\prime} \rho \cos \varphi}}=R\left[\left(z^{\prime}-z\right), \rho^{\prime}, \rho\right],
\]

тогда будем иметь
\[
S=\frac{1}{2 \pi} \iint \sigma^{\prime} \rho^{\prime} d \rho^{\prime} d z^{\prime} R .
\]

Обозначим еще через $s$ компоненту скорости по направлению, в котором $\rho$ возрастает, т. е. положим
\[
u=s \cos \vartheta, \quad v=s \sin \vartheta
\]

тогда из уравнений (25) и (26) получаем для обеих определяемых компонент скорости $s$ и $w:$
\[
s \rho=-\frac{\partial\left(S_{\rho}\right)}{\partial z}, \omega \rho=\frac{\partial\left(S_{\rho}\right)}{\partial \rho} .
\]

При этом для каждой частицы жидкости будем иметь
\[
s=\frac{\partial \rho}{\partial t}, w=\frac{\partial z}{\partial t} .
\]

Для живой силы жидкости найдем из (8):
\[
T=\int S \sigma d \tau,
\]

или
\[
T=2 \pi \int S \rho \sigma d f
\]

или также
\[
T=\iint R \rho^{\prime} \rho \sigma^{\prime} \sigma d f^{\prime} d f,
\]

где $d f^{\prime}$ и $d f$ – поперечные сечения имеющихся вихревых нитей.
Что касается значения функции $R$, то, положив
\[
\varphi=\pi-2 \psi,
\]

из (27) найдем, что
\[
R=-4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(1-2 \sin ^{2} \psi\right) d \psi}{\sqrt{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}-4 \rho \rho^{\prime} \sin ^{2} \psi}},
\]

или, если положим
\[
\begin{array}{c}
k^{2}=\frac{4 \rho^{\prime} \rho}{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}}, \\
K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \psi}}, E=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \Psi d \psi},
\end{array}
\]

To
\[
R=\frac{2}{\sqrt{\rho \rho^{\prime}}}\left[\left(\frac{2}{k}-k\right) K-\frac{2}{k} E\right] .
\]

Выполним теперь исследование, аналогичное тому, которое мы произвели в $\S 2$ в связи с уравнением (12). Эго последнее существенно основывалось на том, что функция
\[
\lg \sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}}
\]

обладает свойством иметь для производных по $x$ и $y$ противоположные значения, если переставить буквы со штрихами и буквы без штрихов; отсюда следует, что
\[
0=\iint \rho \rho^{\prime} \frac{\partial R}{\partial z} \sigma \sigma^{\prime} d f d f^{\prime},
\]

или, на основании уравнения, которое получим из (28) дифференцированием no $z$,
\[
0=\int \rho \frac{\partial S}{\partial z} \sigma d f .
\]

По (29) это уравнение можно представить в виде
\[
\int \rho s \sigma d f=0, \text { или } \int \rho \frac{d \rho}{d t} \sigma d f=0
\]

или
\[
\int \rho^{2} \sigma d f=\text { const },
\]

так как $\sigma d f$ для каждой вихревой нити не изменяется со временем.
Это уравнение влечет за собой другоз. Прологарифмируем выражение для $k^{2}$ и от полученного уравнения возьмем частные производные по $\rho$ и $z$; тогда найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{2}{k} \rho_{\partial \rho}^{\partial k}=\frac{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\rho^{\prime 2}-\rho^{2}}{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}}, \\
\frac{2}{k} z \frac{\partial k}{\partial z}=\frac{2 z\left(z^{\prime}-z\right)}{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}},
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\frac{2}{k}\left(\rho \frac{\partial k}{\partial \rho}+z \frac{\partial k}{\partial z}\right)=\frac{z^{\prime 2}-z^{2}+\rho^{\prime 2}-\rho^{2}}{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}} .
\]

Так как $k$ не изменяется от перестановки букв со штрихами и букв без штрихов, то отсюда заключаем, чго выражение
\[
\rho \frac{\partial k}{\partial \rho}+z \frac{\partial k}{\partial z}
\]

получает при такой перестановке противоположное значение. На основании (31) такое же свойство имеет выражение
\[
\frac{\partial R}{\partial k}\left(\rho \frac{\partial k}{\partial \rho}+z^{\partial k}\right) .
\]

или, что то же самое, так как
\[
\frac{\partial R}{\partial \rho}=\frac{\partial R}{\partial k} \frac{\partial k}{\partial \rho}-\frac{1}{2} \frac{R}{\rho}, \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial k} \frac{\partial k}{\partial z},
\]

такое же свойство имеет выражение
\[
\rho \frac{\partial R}{\partial \rho}+z \frac{\partial R}{\partial z}+\frac{1}{2} R .
\]

Отсюда следует, что
\[
\iint\left(\rho \frac{\partial R}{\partial \rho}+z \frac{\partial R}{\partial z}+\frac{1}{2} R\right) \rho^{\prime} \rho \sigma \sigma^{\prime} d f d f^{\prime}=0 .
\]

или, при посредстве уравнения (28), также
\[
\int\left(\rho \frac{d S}{\partial \rho}+z \frac{\partial S}{\partial z}+\frac{1}{2} S\right) \rho \sigma d f=0 .
\]

Гак как
\[
\rho \frac{\partial S}{\partial \rho}=\frac{\partial\left(S_{\rho}\right)}{\partial \rho}-S,
\]

то отсюда по (29) и (30) получаем
\[
\int(w \rho-s z) \rho \sigma d f=\frac{T}{4 \pi},
\]

ити, наконец,
\[
\int\left(\rho \frac{d z}{d t}-z \frac{d \rho}{d t}\right) \rho \sigma d f=\frac{T}{4 \pi}
\]

Прибавим сюда еще уравнение
\[
T=\text { const; }
\]

оно выражает закон сохранения живой силы, который имеет место в настоящем случае.
§ 6
Теперь мы исследуем случай, когда имеется только одна вихревая нить бесконечно малого поперечного сечения. Пусть размеры поперечного сечения будут бесконечно малыми длинами порядка $\varepsilon$; положим
\[
m=\int \sigma d f
\]

и допустим, что $m$ конечно. Тогда $\sigma$ (мы предположим, что оно всюду имеет один и тот же знак) будет порядка $\frac{1}{\varepsilon^{2}}$. Далее, пусть будут
\[
\rho=\rho_{0}, z=z_{0}
\]

уравнения окружности, о которой мы пока предположим только, что она лежит внутри или бесконечно близко к вихревой нити; ниже мы определим ее точнее. Тогда для всех точек, которые лежат на конечном расстоянии от этой окружности, по (28) имеем
\[
S \rho=\frac{m}{2 \pi} \rho \rho_{0} R\left(z-z_{0}, \rho, \rho_{0}\right)
\]

отсюда можно при помощи (29) и (31) вычислить скорости $s$ и для этих точек. Но $\rho_{0}$ и $z_{0}$ суть функции времени; их можно найти, если определим движение любой частицы жидкости; здесь именно необходимо рассмотреть такие частицы, которые лежат бесконечно близко к окружности ( $\rho_{0}, z_{0}$ ), т. е. на вихревой нити.

Для таких частиц $S, s$ и бесконечно велики; посмотрим, какого порядка они должны быть.

Вследствие уравнения (28) величина $S$ внутри вихревой нити того же порядка, как и $R$ для значений $\rho, z, \rho^{\prime}, z^{\prime}$, соответствующих двум окружностям, расстояние между которыми порядка $\varepsilon$. Положим
\[
k_{1}^{2}=1-k^{2}=\frac{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}-\rho\right)^{2}}{\left(z^{\prime}-z\right)^{2}+\left(\rho^{\prime}+\rho\right)^{2}} ;
\]

отсюда заключаем, что $S$ того же порядка, как $R$, для значения $k_{1}$, которое имеет порядок $\varepsilon$. Чтобы найти его, заметим сперва, что если $k_{1}$ бесконечно мало, то, пренебрегая бесконечно малыми, имеем
\[
E=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \psi d \psi=1 .
\]

Напишем далее выражение
\[
K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\psi^{\prime}} \frac{d \psi}{\sqrt{\cos ^{2} \psi+k_{1}^{2} \sin ^{2} \psi}}+\int_{0}^{\psi^{\prime}} \frac{d \varphi}{\sqrt{\sin ^{2} \varphi+k_{1}^{2} \cos ^{2} \varphi}}
\]

и допустим, что $\psi^{\prime}$ бесконечно мало, но бесконечно велико сравнительно с $k_{1}$. Тогда, с точностью до бесконечно малых, имеем
\[
K=\int_{0}^{\pi} \frac{d \psi}{\cos \psi}+\int_{0}^{\psi^{\prime}} \frac{d \varphi}{\sqrt{\varphi^{2}+k_{1}^{2}}}
\]

Отсюда следует, что
\[
K=\lg \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\psi^{\prime}}{2}\right)+\lg \frac{\psi^{\prime}+\sqrt{\psi^{\prime 2}+k_{1}^{2}}}{k_{1}}
\]
т. е. равно
\[
-\lg \frac{\psi^{\prime}}{2}+\lg \frac{2 \psi^{\prime}}{k_{1}}
\]

таким образом
\[
K=\lg \frac{4}{k_{1}} .
\]

Поэтому $S$ внутри вихревой нити будет порядка $\lg \varepsilon$. Того же порядка, согласно уравнению (30), будет и живая сила $T$. Чтобы определить из уравнений (29) и (28) порядок величин $s$ и w, мы должны найти порядок $\frac{\partial R}{\partial \rho}$ и $\frac{\partial R}{\partial z}$, т. е. порядок $\frac{\partial R}{\partial k}$ при бесконечно малом $k_{1}$. Из уравнений, определяющих $K$ и $E$, и из уравнения
\[
0=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-2 \sin ^{2} \psi+k^{2} \sin ^{4} \psi}{\left(1-k^{2} \sin ^{2} \psi\right)^{3 / 2}} d \psi
\]

которое получается из тождества
\[
d \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \psi}}=\frac{1-2 \sin ^{2} \psi+k^{2} \sin ^{4} \psi}{\left(1-k^{2} \sin ^{2} \psi\right)^{3 / 2}},
\]

легко найдем, что
\[
\frac{d K}{d k}=\frac{E-k_{1}^{2} K}{k k_{1}^{2}}, \frac{d E}{d k}=-\frac{K-E}{k} .
\]

Из этого следует, что если $k_{1}$ бесконечно мало, то $\frac{\partial R}{\partial k}$ будет порядка $\frac{1}{k_{1}^{2}}$. Так как, согласно (33), производные $\frac{\partial k}{\partial \rho}$ и $\frac{\partial k}{\partial z}$ порядка $k_{1}$, то $\frac{\partial R}{\partial \rho}$ и $\frac{\partial R}{\partial z}$ будут порядка $\frac{1}{k_{1}}$.

Внутри вихревого кольца $k_{1}$ имеет порядок $\varepsilon$; уравнения (29) и (28) приводят нас к заключению, что здесь скорости $s$ и ш будут порядка $\frac{1}{\varepsilon}$.

Теперь мы определим точнее значения величин $\rho_{0}$ и $z_{0}$, которые уже введены, но еще не вполне опре делены. Мы определим их уравнениями
\[
\begin{aligned}
\rho_{0}^{2} \int \sigma d f & =\int \rho^{2} \sigma d f, \\
z_{0} \int \rho^{2} \sigma d f & =\int z \rho^{2} \sigma d f .
\end{aligned}
\]

Так как мы предположили, что $\sigma$ всюду имеет один и тот же знак, то в этом случае окружность $\left(\rho_{0}, z_{0}\right.$ ) лежит внутри вихревой нити или бесконечно близко к ней. Из (32) и уже многократно использованного обстоятельства, чго $\sigma d f$ не завтет от времени, следует, что $\rho_{0}$ также не изменяется со временем. Но валич ина $z_{0}$ изменяется со временем; посмотрим, каким образом. Из уравнений (37) и (36) следует, что
\[
m \rho_{0}^{2} z_{0}=\int z \rho^{2} \sigma d f
\]

и отсюда далее
\[
m \rho_{0}^{2} \frac{d z_{0}}{d t}=\int \rho^{2} \frac{d z}{d t} \sigma d f+2 \int z \rho \frac{d \rho}{d t} \sigma d f .
\]

Поэтому уравнение (34) можно написать так:
\[
m \rho_{0}^{2} \frac{d z_{0}}{d t}=\frac{T}{4 \pi}+3 \int z \rho \frac{d \rho}{d t} \sigma d f .
\]

Первый член правой части этого уравнения, как мы видели, есть бесконечно большое постоянное порядка $\lg \varepsilon$; второй член конечен, как это следует из уравнения (32), в связи с тем, что разность значений $z$, заключающихся в них, порядка $\varepsilon$, но $\frac{d p}{d t}$ порядка $\frac{1}{\varepsilon}$. Из этого следует, что $\frac{d z_{0}}{d t}$ – величина бесконечно большая, поря дка $\lg \varepsilon$, и если пренебречь конечными величинами по сравнению с бесконечно большими порядка $\lg \varepsilon$, постоянная.

Поэтому вихревая нить, сохраняя тот же самый радиус, движется поступательно в направлении оси $z$ со скоростью $\frac{d z_{0}}{d t}$. Здесь скорость имеет тот же знак, что и $m$ или $\sigma$; это следует из уравнения (38), так как $T$ – величина положттельная. Эго предложение мы можем выразить еще другим способом. По разъяснению, сделанному относительно выражения (6), жидкость течет через все части площади круга, ограниченной вихревой нитью, которые находятся от нее на конечном расстоянии в направлении оси $z$ или противоположном в зависимости от знака $\sigma$. Из определения $\sigma$, данного в начале $\S 5$, следует, что в точках, для которых угол, обозначенный там через $\vartheta$, обращается в нуль, будет $\sigma=\eta$. Из определения положительного вращения, сделанного в § 2 пятой лекции, вытекает, что движение прожходит в направлении оси $z$, если только $\eta$ положительно при $\vartheta=0$. Из этого следует, что вихревая нить движется в том же направлении, в котором жидкость течет через ограниченную ею площадь круга.

Эги результаты были впервые получены Гельмгольцем в его сочинении «Об интегралах уравнендй гидродинамики, соответствующих вихревым движениям» (Borchardt’s Journal, Bd. 55). Он заключает его следующим замечанием:
«Мы можем теперь в общих чертах рассмотреть также, как две кольцеобразные вихревые нити, имеющие одну и ту же ось, будут влиять друг на друга, так как каждая, кроме собственного передвижения, следует еще движению частиц жидкости, вызываемому другой нитью. Если они имеют одинаковое направление вращения, то обе передвигаются в одну и ту же сторону; движущаяся впереди нить будет расширяться и замедлять свое движение, следующая же за ней суживается и передвигается быстрее. Если скорости передвижения не слищком различны, то второе кольцо догонит первое и пройдет сквозь него. Затем то же явление повторяется с первым, т. е. кольца будут поочередно проходить одно через другое.

Если вихревые нити имеют равные радиусы и равные, но противоположные скорости вращения, то они будут приближаться друг к другу под взаимным влиянием; наконец, когда они подойдут весьма близко друг к другу, то взаимное сближение их будет происходить все слабее, расширение же, напротив, будет происходить с возрастающей скоростью. Если обе вихревые нити вполне симметричны, то для частиц, лежащих в срединной плоскости, скорость, параллельная оси, равна нулю. Поэтому, не возмущая движения, мы можем вообразить здесь твердую стенку, и таким образом получим случай одного вихревого кольца, направляющегося $\mathrm{k}$ твердой стенке.

Я замечу еще, что движения круглых вихревых колец легко наблюдать в действительности, если быстро продвинуть на небольшое расстояние параллельно поверхности воды на половину погруженный в нее кру. жок (или имеющей приблизительно форму полукруга кончик ложки) и затем быстро его вынуть; тогда в жидкости остаются половины вихревых колец, ось которых лежит на свободной поверхности. Таким образом, свободная поверхность образует плоскость, проходящую через ось и ограничивающую массу воды, что не вызывает никакого существенного изменения в движении. Вихревые кольша передвигаются поступательно, расширяются или суживаются под влиянием других вихревых колец совершенно так же, как мы это вывели теоретически».