$\S 1$

В предыдущих исследованиях мы предполагали, что на частицы жидкости силы не действуют; теперь будем считать, что силы действуют, ‘но при этом ограничимся случаем, в котором рассмотрим только несжимаемую жидкость.

Если существует потенциал скоростей $\varphi$ и действующие силы имеют потенциал $V$, то по уравнениям (20) и (21) пятнадцатой лекции имеем
\[
V-p=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{l}
\partial \varphi \\
\partial z^{-}
\end{array}\right)^{2}\right]
\]

H
\[
\Delta \varphi=0,
\]

где $p$ означает давление, а плотность положена равной единице. Если пространство, наполненное рассматриваемой жидкостью, односвязно, и если для всех элементов его поверхности $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ задано, то, как мы видели, уравнение (2), в которое силы не входят, вполне определяет движение. Чтобы определить движение при указанных предположениях, знание сил не является необходимым (оно необходимо, если надо найти изменение давления с изменением места и времени; для этого служит уравнение (1)). Но если для одной части поверхности жидкости дано $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$, а для другой-давление, то действующие силы существенно влияют на движение, и это движение можно вычислить только с помощью уравнения (1).

Пусть тяжесть будет единственной действующей силой; предположим, что ось $z$ направлена вертикально вниз. Тогда мы можем положить
\[
V=g z .
\]

Обозначим временно полную скорость через $v$, тогда уравнение (1) примет вид
\[
g z-p=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2} v^{2} .
\]

Теперь представим, что жидкость содержится в покоящемся сосуде и вытекает струей из его отверстия. На поверхность жидкости в сосуде и на поверхность струи атмосфера производит постоянное давление. Если размеры отверстия достаточно малы по сравнению с размерами сосуда, то возможно движение, при котором поверхность жидкости в сосуде в каждый момент времени бесконечно мало отклоняется от горизонтальной плоскости; скорость на этой плоскости бесконечно мала и производные компонент скорости по времени также всюду бесконечно малы. Мы и рассмотрим это движение. Применим уравнение (3) сначала к точке поверхности струи, потом к точке поверхности в сосуде, соединим оба результата и заметим, что
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \psi}{\partial z} d z\right)^{43}
\]

бесконечно мало, если интегрирование будет произведено по линии, которая соединяет обе рассматриваемые точки и при этом полностью лежит в жидкости; тогда получим
\[
v=\sqrt{2 g z},
\]

где $v$– скорость в точке, выбранной на новерхности струи, $z$-глубина этой точки над поверхностью в сосуде. Это уравнение выражает так называемую теорелу Торричелли.

О форме струи при современных средствах анализа можно сказать лишь очень мало. Это неудивительно, так как уже в случае, когда силы не действуют, можно найти форму струй единственно только в предположении, что поток плоско-параллельный. Предположим, что размеры поперечного сечения струи бесконечно малы; тогда можно рассматривать давление, которое на поверхности струи, вообще, равно атмосферному, как постоянное для всей струи, кроме части, лежащей бесконечно близко к отверстию, где компоненты скорости изменяются бесконечно быстро. Возьмем часть струи, ограниченную двумя бесконечно близкими поперечными сечениями; тогда отсюда можно заключить, что она движется как свободная материальная точка под действием силы тяжести, т. е. по параболе с вертикальной осью. Если рассматривать движение как установившееся, то струя есть траектория, которую описывают все частицы, т. е. парабола.

Такое заключение можно применить также к несколько более общему случаю. Если жидкость течет через бесконечно узкую щель, прямую или кривую, и в последнем случае замкнутую или незамкнутую, тогда жидкость образует бесконечно тонкий слой, в котором давление надо рассматривать как всюду одинаковое. Поэтому любая частица ее движется как материальная точка, а именно, по параболе с вертикальной осью, и если движение установившееся, то жидкий слой составлен из таких пара бол, проходящих через отдельные точки щели.
$\S 2$
Теперь займемся установившимся движением несжимаемой жидкости при котором, кроме силы тяжести, действуют другие силы и нет потенциала скоростей. Мы будем говорить о жидкости, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона и на поверхность которой действует постоянное давление. Мы докажем, исходя из эйлеровых уравнений гидродинамики, что эта жидкость может иметь некоторое установившееся движение, в то время как поверхность ее будет трехосным эллипсоидом, между осями которого существует некоторое определенное соотношение. Для этого предположим, что между компонентами скорости $u$, $v$, w и координатами $x, y, z$ точки, к которой относится скорость, существуют уравнения
\[
\begin{aligned}
u & =a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z, \\
v & =a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z, \\
w & =a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z,
\end{aligned}
\]

в которых девять величин $a_{11}, a_{12}, \ldots$ – постоянные. Уравнение (12) пятнадцатой лекции дает для них условие
\[
a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 .
\]

Подставим значения $u$, $v$, w из (4) в уравнения (10) пятнадцатой лекции; тогда левые части этих уравнений сделаются линейными однородными функциями $x, y, z$, правые части будут такими же функциями, если надлежащим образом выбрать величину $P$ (которая равна $p$, так как мы положим плотность равной единице). Составим уравнение поверхности жидкости
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 ;
\]

тогда
\[
V=\text { const }-\pi\left(A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}\right),
\]

где $A, B, C$ – постоянные, определяемые уравнениями (4) двенадцатой лекции, если единицы массы длины и времени выбраны так, что сила, с которой притягиваются две массы, равна произведению масс, разделенному на квадрат расстояния между ними. Мы достигнем этого, если приравняем $p$ однородной функции второй степени $x, y, z$, умноженной на постоянное. Одновременно мы достигнем и того, что давление будет постоянным на поверхности, если положим
\[
p=\text { const }+\sigma\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) .
\]

Приведенные выше дифференциальные уравнения будут удовлетворяться для всех значений $x, y, z$, если приравняем между собой коэффициенты при них; тогда вследствие (7) и (8) получим
\[
\begin{array}{l}
a_{11} a_{11}+a_{12} a_{21}+a_{13} a_{31}={ }_{a^{2}}^{2 \sigma}-2 \pi A, \\
a_{11} a_{12}+a_{12} a_{22}+a_{13} a_{32}=0, \\
a_{11} a_{13}+a_{12} a_{23}+a_{13} a_{33}=0, \\
a_{21} a_{11}+a_{22} a_{21}+a_{23} a_{31}=0, \\
a_{21} a_{12}+a_{22} a_{22}+a_{23} a_{32}=b^{2}-2 \pi B, \\
a_{21} a_{13}+a_{22} a_{23}+a_{23} a_{33}=0, \\
a_{31} a_{11}+a_{32} a_{21}+a_{33} a_{31}=0, \\
a_{31} a_{12}+a_{32} a_{22}+a_{33} a_{32}=0, \\
a_{31} a_{13}+a_{32} a_{23}+a_{33} a_{33}=c^{2}-2 \pi C .
\end{array}
\]

Должно быть выполнено еще условие, что частицы поверхности должны на ней же и оставаться; по уравнению (31) десятой лекции для этого необходимо, если существует уравнение (6), чтобы
\[
\frac{u x}{a^{2}}+\frac{v y}{b^{2}}+\frac{w z}{c^{2}}=0,
\]
т. е. чтобы это уравнение, вообще, было удовлетворено.
Отсюда получим шесть уравнений
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=0, \quad a_{22}=0, \quad a_{33}=0, \\
\frac{a_{12}}{a^{2}}+\frac{a_{21}}{b^{2}}=0, \quad a_{23}+{ }_{32}^{a^{2}}+c^{2}=0, \quad \frac{a_{31}}{c^{2}}+\frac{a_{13}}{a^{2}}=0 . \\
\end{array}
\]

Вследствие первых трех из этих уравнений, уравнение (5) б́удет удовлетворено, и уравнения (9) примут более простой вид
\[
\begin{array}{ll}
a_{12} a_{21}+a_{13} a_{31}=\frac{2 \sigma}{a^{2}}-2 \pi A, & a_{13} a_{32}=0, a_{12} a_{23}=0 \\
a_{23} a_{32}+a_{21} a_{12}=\frac{2 \sigma}{b^{2}}-2 \pi B, & a_{21} a_{13}=0, a_{23} a_{31}=0, \\
a_{31} a_{13}+a_{32} a_{23}=\frac{2 \sigma}{c^{2}}-2 \pi C, & a_{32} a_{21}=0, a_{31} a_{12}=0 .
\end{array}
\]

Эти и три последних из уравнений (10) могут быть удовлетворены многими системами значений неизвестных. Мы можем им удовлетворить, если положим
\[
a_{13}=0, \quad a_{23}=0, \quad a_{31}=0, \quad a_{32}=0,
\]

так что из девяти величин $a_{11}, a_{12}, \ldots$ останутся только две – $a_{12}$ и $a_{21}$ отличными от нуля. Тогда уравнения (10) и (11) превратятся в
\[
\begin{array}{c}
a_{12}+\frac{a_{21}}{b^{2}}=0, \\
a_{12} a_{21}=\frac{2 \sigma}{a^{2}}-2 \pi A=\frac{2 \sigma}{b^{2}}-2 \pi B, 0=\frac{2 \sigma}{c^{2}}-2 \pi C,
\end{array}
\]

или, если положим
и исключим $\sigma$, в
\[
a_{12} a_{21}=-x^{2}
\]
\[
\begin{array}{c}
a_{12}=\frac{a}{b} x, a_{21}=-\frac{b}{a} x, \\
a^{2}\left(A-\frac{x^{2}}{2 \pi}\right)=b^{2}\left(B-\frac{x^{2}}{2 \pi}\right)=c^{2} C .
\end{array}
\]

Это двойное уравнение – то же самое, что и уравнение (6) двенадца той лекции, если положить величину, обозначенную там через $v$, равной $\frac{x^{2}}{2 \pi}$, т. е., так как мы приняли здесь $\mu=1$, положить величину, обозначенную там через $W$, равной $x$. Отсюда следует, что движение, определяемое уравнениями
\[
u=\frac{a}{b} x y, v=-\frac{b}{a} x x, w=0,
\]

может иметь место, если жидкость образует эллипсоид, который может вращаться, как твердое тело, вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\%$. Согласно сделанному выше разъяснению, мы получим три таких эллипсоида – два сплюснутых эллипсоида вращения, осью вращения которых является ось $z$, и один трехосный, в предположении, что $x$ лежит внутри некоторых границ. Если жидкость образует один из двух эллипсоидов вращения, то рассмотренные тут и там движения совершенно одинаковы, но они различны в случае трехосного эллипсоида.

Движение части трехосного жидкого эллипсоида, которое мы здесь определили, открыто Дирихле*; исследование, которое привело нас к
* Abhandl. der Königl, Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Bd.8, 1860.

характеристике этого движения, можно так обобщить, что оно даст движение, для которого только что рассмотренное будет представлять один частный случай, а движение, при котором трехосный эллипсоид вращается, как твердое тело, как другой частный случай.

Предположим, что жидкость ограничена эллипсоидом, который вращается вокруг одной из своих осей с постоянной угловой скоростью $\lambda$. Отнесем движение всех жидких частиц к системе координат, оси которой являются осями эллипсоида; пусть ось $z$ будет осью вращения, уравнение (6) по-прежнему уравнением эллипсоида. Согласно исследованию, относящемуся к выражению (5) девятой лекции, при составлении дифференциальных уравнений движения можно будет отвлечься от того, что система координат вращается, если только к компонентам силы (относящейся к единице массы), действующей по осям $x$ и $y$ на жидкую частицу, соответственно добавить
\[
\lambda^{2} x-2 \lambda v \text { и } \lambda^{2} y+2 \lambda u .
\]

Предположим, что движен ие, отнесенное к указанной системе координат, установившееся; тогда уравнения (10) пятнадцатой лекции при помощи уравнений (7) и (8) дадут
\[
\begin{array}{c}
u_{\frac{\partial u}{\partial x}+v}^{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}=\left(\frac{2 \sigma}{a^{2}}-2 \pi A+\lambda^{2}\right) x-2 \lambda v, \\
u_{\frac{\partial v}{\partial x}+v}^{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}=\left(\frac{2 \sigma}{b^{2}}-2 \pi B+\lambda^{2}\right) y+2 \lambda u, \\
u_{\frac{\partial w}{\partial x}}^{\partial w}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}=\left(\frac{2 \sigma}{c^{2}}-2 \pi C\right) z .
\end{array}
\]

Подставим в эти уравнения вместо $u$, $v$, w их значения из (4); тогда они должны быть удовлетворены для всех значений $x, y, z$, если только имеют место девять уравнений, левые части которых являются левыми частями уравнений (9), и правыми частями их служат выражения
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 \sigma}{a^{2}}-2 \pi A+\lambda^{2}-2 \lambda a_{21}, \quad-2 \lambda a_{22}, \quad-2 \lambda a_{23}, \\
2 \lambda a_{11}, \quad \frac{2 \sigma}{b^{2}}-2 \pi B+\lambda^{2}+2 \lambda a_{12}, \quad 2 \lambda a_{13}, \\
0, \quad 0, \quad \frac{2 \sigma}{c^{2}}-2 \pi C \text {. } \\
\end{array}
\]

K этим девяти уравнениям надо добавить неизмененные уравнения (5) и (10), если предположенное движение возможно. Всем этим условиям можно удовлетворить, полагая
\[
\begin{array}{c}
a_{11}=0, \quad a_{22}=0, \quad a_{33}=0, \\
a_{13}=0, \quad a_{23}=0, \quad a_{31}=0, \quad a_{32}=0
\end{array}
\]
i
\[
\begin{array}{c}
\frac{a_{12}}{a^{2}}+\frac{a_{21}}{b^{2}}=0, \\
a_{12} a_{21}=\frac{2 \sigma}{a^{2}}-2 \pi A+\lambda^{2}-2 \lambda a_{21}=\frac{2 \sigma}{b^{2}}-2 \pi B+\lambda^{2}+2 \lambda a_{12}, \\
0=\frac{2 \sigma}{c^{2}}-2 \pi C .
\end{array}
\]

Положим опять
$a_{12}=\frac{a}{b} x, a_{21}=-\frac{b}{a} x$, следовательно, $a_{12} a_{21}=-x^{2}$, и искиочим $\sigma$; тогда получим два уравнения между $\lambda, x, a, b, c$ :
\[
\begin{array}{l}
a^{2}\left(x^{2}+\lambda^{2}\right)+2 \chi \lambda a b=2 \pi\left(a^{2} A-c^{2} C\right), \\
b^{2}\left(x^{2}+\lambda^{2}\right)+2 \chi \lambda a b=2 \pi\left(b^{2} B-c^{2} C\right) .
\end{array}
\]

Пусть $a, b, c$ заданы произвольно, тогда $x$ и $\lambda$ могут быть вычислены из этих уравнений. Найденные значения, которые могут быть переставлены, не всегда, однако, будут действительными, т. е. представляемое этими уравнениями движение не всегда будет возможным. Мы не будем здесь определять границы области, в которой должны лежать отношения $a: b: c$, чтобы уравнения (12) давали действительные значения $x$ и $\lambda$. Прсстейший случай, в котором это имеет место, есть тот, когда
\[
b^{2}=c^{2} \text { и } a^{2}>c^{2} ;
\]

в этом случае второе из уравнений (12) примет вид
\[
c\left(x^{2}+\lambda^{2}\right)+2 x \lambda a=0 .
\]
§ 3
Когда рассматриваемое движение установившееся или когда его можно свести к установившемуся, если отнести движение к подвижной системе координат (такое движение рассмотрено в конце предыдущего параграфа), то предпочитают пользоваться эйлеровыми уравнениями гидродинамики, а не лагранжевыми. Применение уравнений Эйлера удобно также тогда, когда перемещения и скорости бесконечно малы (подобные случаи составляют предмет двух предыдущих лекций). Одним из этих случаев мы будем заниматься здесь, именно случаем бесконечно малых колебаний тяжелой несжимаемой жидкости.

Предположим, что существует потенциал скорости $\varphi$; тогда дифференциальное уравнение в частных производных, с которым нам придется иметь дела будет по-прежнему $\Delta \varphi=0$. Предположим, что жидкость отчасти ограничена твердыми стенками; тогда для всех элементов стенок будет
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0 .
\]

Предположим далее, что жидкость имеет и свободную поверхность, бесконечно мало уклоняющуюся от горизонтальной плоскости, на которую действует постоянное давление. Сперва мы должны найти граничные условия, которым удовлетворяет $\varphi$ на этой свободной поверхности. Примем плоскость $x O y$ координатной системы бесконечно близкой к свободной поверхности, ось $z$ направим по вертикали вниз. Тогда в уравнении (1) мы можем положить
\[
V=C+g z,
\]

где $C$ – постоянное, которым мы можем произвольно распорядиться. Примем скорости за бесконечно малые величины первого порядка; тогда, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, будем иметь
\[
C+g z-p=\frac{\partial \varphi}{\partial t} .
\]

Положим $C$ равным постоянному давлению, действующему на поверхность. и применим это уравнение к поверхности; тогда получим
\[
g z=\frac{\partial \varphi}{\partial t} .
\]

Отнесем его к некоторой частице жидкости на поверхности, продифференцируем по $t$ и, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, входящими в правую часть этого уравнения, получим
\[
g \frac{\partial \varphi_{-}}{\partial z}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}} .
\]

В это уравнение вместо $z$ должны быть подставлены бесконечно малые значения, которые соогветствуют поверхности 44 ; вместо этого можно положть в нем $z=0$.

Уравнения (13) и (15) представляот граничные условия, соответственно которым надо определить $\varphi$. Им легко удовлетворить в некотором частном случае. Положим
\[
\varphi=Z U
\]

и допустим, что $Z$ есть функция $z$ и $t, U$-функция $x$ и $y$. Тогда уравнение (13) может быть удовлетворено, если жидкость сбоку ограничена вертикальной цилиндрической поверхностью, а снизу – горизонтальным дном. Для поверхности следует положить
\[
\frac{\partial U}{\partial n}=0
\]

для дна
\[
\frac{\partial Z}{\partial z}=0 .
\]

Вследствие (16) уравнение $\Delta \varphi=0$ примет вид

ему можно удовлетворить, полагая
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} Z}{\partial z^{2}}=x^{2} Z, \\
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}=-x^{2} U,
\end{array}
\]

где $\chi$ должно быть постоянным. Если для дна
\[
z=h,
\]

го из (19) и (18) следует, что
\[
Z=M\left[e^{\varkappa(h-z)}+e^{-\varkappa(h-z)}\right],
\]

где $e$-основание натуральных логарифмов и $M$-функция $t$. Она определяется из уравнения (15), которое вследствие (16) и (21) будет
\[
\frac{d^{2} M}{d t^{2}}=-g x \frac{e^{\gamma h}-e^{-x h}}{e^{x h}+e^{-x h}} M ;
\]

отсюда следует, что
\[
M=A \cos \frac{t-t_{0}}{T} 2 \pi,
\]

где $A$ и $t$-две произвольные постоянные и
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{1}{g \kappa} \frac{e^{x h}+e^{-x h}}{e^{x h}-e^{-x h}}} .
\]

Уравнение, получаемое из (16) с помощью (21) и (22) в предположении, что $U$ может быть определено соответственно (20) и (17), представляет движение, при котором каждая частица жидкости совершает колебания продолжительностью, равной $T$. Полученное для $T$ выражение существенно упрощается в случаях, когда можно рассматривать $x h$ как бесконечно большое или бесконечно малое. В первом случае
\[
T=\frac{2 \pi}{\sqrt{g \bar{x}}},
\]

во втором, как показывает разложение показательных функций,
\[
T=\frac{2 \pi}{x \sqrt{ } g h} .
\]

Определим функцию $U$ только для простейшего случая. Положим, что горизонтальное поперечное сечение жидкости представляет прямоугольник, стороны которого параллельны осям $x$ и $y$, и что $U$ не зависит от $y$. Тогда уравнение (20) будет
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}=-x^{2} U
\]

н общий интеграл его равен косинусу
\[
\cos x\left(x-x_{0}\right),
\]

ғде $x_{0}$ – произвольное постоянное, умноженное на второе произвольное постоянное. Если для стенок, которыми жидкость ограничена в направлении оси $x$, будет
\[
x=0 \text { и } \quad x=l,
\]

го уравнение (17) требует, чтобы для этих значений $x$ было
\[
\frac{\partial U}{\partial x}=0 ;
\]

мы удовлетворим ему, если положим
\[
x_{0}=0, \quad x=\frac{n \pi}{l},
\]

где $n$-целое число. Поэтому имеем
\[
\varphi=A \cos \frac{t-t_{0}}{T} 2 \pi \cos \frac{n x}{\varphi} \pi\left[e^{\frac{n(h-z)}{l} \pi}+e^{-\frac{n(h-z)}{l} \pi}\right]
\]

Все требуемые условия будут также выполнены, если положим $\varphi$ равным сумме таких выражений, одним из которых является указанное выше, и которые отличаются одно от другого значениями целого числа $n$ и постоянными $A$ и $t_{0}$; следовательно, можно также положить
\[
\varphi=\sum\left(A_{n} \cos { }_{T_{n}^{-}}^{t} 2 \pi+B_{n} \sin \frac{t}{T_{n}^{-}} 2 \pi\right)\left(e^{\frac{n(h-z)}{l} \pi}+e^{-\frac{n(h-z)}{l} \pi}\right) \cos \frac{n x}{l} \pi,
\]

где сумма взята по $n, A_{n}, B_{n}$ – произвольные постоянные и $T_{n}$ – вычисляемое из (23) и (24) значение T. Заметим, не входя в подробности, что постоянные $A_{n}, B_{n}$ можно определить с помощью так называемых рядов Фурье так, чтобы движение соответствовало любым начальным состояниям, т. е. чтобы для $t=0$ и для поверхности $z$ величины $\frac{1}{g} \frac{\partial \varphi}{\partial t}$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial z}$, согласно (14), были равны данным произвольным функциям $x$.

Разберем еще случай, когда жидкость можно рассматривать как неограниченную в направлении $x$, т. е. когда ни для какого значения $x$ не надо удовлетворять граничному условию. Тогда уравнения (24) не будут иметь места, и если мы возьмем
\[
x=\frac{2 \pi}{\lambda},
\]

где $\lambda$ произвольно, то найдем
\[
\begin{array}{c}
\varphi=A \cos \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) 2 \pi\left(e^{\frac{h-z}{\lambda 2 \pi}+e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}}\right), \\
T=\sqrt{\frac{2 \pi \lambda e^{-\lambda}+e^{-\frac{h 2 \pi}{\lambda}}}{g e^{\frac{h 2 \pi}{2 \pi}}-e^{-h} \lambda} .2 \pi} .
\end{array}
\]

Представленное здесь движение осуществляется волнами, распространяющимися вдоль оси $x$, длина которых есть $\lambda$ и скорость распространения равна $\frac{\lambda}{T}$, т. е. равна

Эта скорость зависит, вообще, от длины волны; но этой зависимости не будет, если рассматривать $\lambda$ как величину бесконечно большую сравни. тельно с глубиной $h$; в этом случае она равна
\[
\sqrt{g h} \text {. }
\]

Если, напротив, $h$ бесконечно велико сравнительно с $\lambda$, то скорость распространения равна
\[
\sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}}
\]

Траекторию частицы жидкости найдем следующим путем. Пусть $x+\xi$, $y, z+\xi$ будут координатами частицы в момент $t$, координатами которой в момент $t=0$ были $x, y, z$; тогда
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad \stackrel{d \zeta}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial z},
\]
т. е., по (25),
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=\frac{A 2 \pi}{\lambda}\left(e^{\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}+e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}\right) \sin \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) 2 \pi, \\
\frac{d \zeta}{d t}=-\frac{A 2 \pi}{\lambda}\left(e^{\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}-e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}\right) \cos \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) 2 \pi,
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\xi=-\frac{A T}{\lambda}\left(e^{\frac{\lambda-z}{\lambda} 2 \pi}+e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}\right)\left[\cos \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) 2 \pi-\cos \frac{x}{\lambda} 2 \pi\right], \\
\zeta=-\frac{A T}{\lambda}\left(e^{\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}-e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}\right)\left[\sin \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) 2 \pi+\sin \frac{x 2 \pi}{\lambda}\right] .
\end{array}
\]

Исключая отсюда $t$, получим
\[
\left(\frac{\xi}{a}-\cos \frac{x 2 \pi}{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{\zeta}{c} \sin +\frac{x 2 \pi}{\lambda}\right)^{2}=1,
\]

где положено
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{A T}{\lambda}\left(e^{\frac{h}{\lambda} 2 \pi}+e^{-\frac{h-z}{\lambda} 2 \pi}\right), \\
c=\frac{A T}{\lambda}\left(e^{\frac{h-2}{\lambda} 2 \pi}-e^{-\frac{h-2}{\lambda} 2 \pi}\right) .
\end{array}
\]

Это – уравнение эллипса, полуосями которого являются горизонтальная и вертикальная линии, длины их соответственно $a$ и $c$. Если $h$ бесконечно велико, в то время как $\lambda$ и $z$ конечны, то $a=c$; все частицы жидкости описывают круги*.
$\S 4$
Применим теперь лагранжевы дифференциальные уравнения гидродинамики к некоторым движениям несжимаемой жидкости, на частицы которой действуют силы, а на свободную поверхность производится постоянное давление. Первым рассмотренным случаем будет тот, когда в тяжелой жидкости известным образом распространяются волны конечной высоты. Положим опять плотность равной единице, выберем ось $z$ направленной вниз по вертикали и предположим, что движение всюду происходит параллельно плоскости $x O z$. Тогда, если положим $b=y$, уравнения (7) пятнадцатой лекции дадут
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial a}+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}-g\right)_{\partial a}^{\partial z}+\frac{\partial p}{\partial a}=0 \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial c}+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}-g\right) \frac{\partial z}{\partial c}+\frac{\partial p}{\partial c}=0 .
\end{array}
\]

Уравнения (8) и (3) той же лекции примут вид
\[
\frac{d D}{d t}=0, \quad D=\frac{\partial x \partial z}{\partial a \partial c}-\frac{\partial x \partial z}{\partial c \partial a} .
\]

Здесь $a$ и $c$ могут быть какими-нибудь переменными, значения которых вместе с $y$ однозначно определяют частицу жидкости. Для этого необходимо только, чтобы во всем наполненном жидкостью объеме $D$ не обращалось ни в нуль, ни в бесконечность. В остальном значения $a$ и $c$ мы можем оставить пока не определенными. Покажем, что указанные уравнения будут удовлетворены; если положим
\[
\begin{array}{c}
x-a=r \sin \vartheta, \quad z-c=r \cos \vartheta, \\
\vartheta=\left(\frac{a}{\lambda}-\frac{t}{T}\right) 2 \pi,
\end{array}
\]

где $\lambda$ и $T$-два постоянных и $r$-функция $c$, которой мы можем распорядиться, как нам угодно, то каждая частица движется по кругу с постоянной скоростью, так что $T$ есть продолжительность обхода.
* Verg1. Holtzmann. Programm der Polytechnischen Schule in Stutgart, 1858.

Из принятых для $x$ и $z$ выражений следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial a}=1+\frac{2 \pi}{\lambda} r \cos \vartheta, \quad \frac{\partial x}{\partial c}=\frac{d r}{d c} \sin \vartheta, \\
\frac{\partial z}{\partial a}=-\frac{2 \pi}{\lambda} r \sin \vartheta, \quad \frac{\partial z}{\partial c}=1+\frac{d r}{d c} \cos \vartheta,
\end{array}
\]

так что
\[
D=1+\frac{2 \pi}{\lambda} r \frac{d r}{d c}+\left(\frac{d r}{d c}+\frac{2 \pi}{\lambda} r\right) \cos \vartheta .
\]

Так как $D$ должно быть независимым от $t$, а $\theta$ от него зависит, то, следовательно,
\[
\frac{d r}{d c}=-\frac{2 \pi}{\lambda} r
\]

и
\[
D=1+\frac{2 \pi}{\lambda} r \frac{d r}{d c} .
\]

Первое из этих уравнений дает
\[
r=R e^{-\frac{2 \pi}{\lambda} c},
\]

где $R$ – произвольное постоянное.
Из принятых для $x$ и $z$ выражений следует, что
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} r \sin \vartheta, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} r \cos \vartheta .
\]

Подставляя эти значения в уравнение (26) и пользуясь (28) и (29), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p}{\partial a}=\left(\frac{2 \pi}{T^{2}}-\frac{g}{\lambda}\right) 2 \pi r \sin \vartheta \\
\frac{\partial p}{\partial c}=\left(\frac{2 \pi}{T^{2}}-\frac{g}{\lambda}\right) 2 \pi r \cos \vartheta+g-\frac{8 \pi^{3}}{T^{2} \lambda} r^{2} .
\end{array}
\]

Мы удовлетворим обоим уравнениям, если установим соотношение между $\lambda$ и $T$, которые оставались до сих пор произвольными,
\[
\frac{g}{\lambda}=\frac{2 \pi}{T^{2}}
\]

и определим $p$ как функцию одного только переменного $c$, так что
\[
\frac{d p}{d c}=g\left(1-\frac{4 \pi^{2}}{\lambda^{2}} R^{2} e^{-\frac{4 \pi}{\lambda} c}\right) .
\]

Если $p=p_{0}$ для $c=0$, то из этого уравнения следует
\[
p=p_{0}+g\left[c-\frac{\pi}{\lambda} R^{2}\left(1-e^{-\frac{4 \pi}{\lambda} c}\right)\right] .
\]

Свободная поверхность должна все время состоять из одних и тех же частиц, и давление на ней должно быть постоянным; мы удовлетворим обоим этим условиям, если положим, что для свободной поверхности будет
\[
p=p_{0}, \quad \text { и } \quad c=0 .
\]

В остальном мы примем, что жидкость не ограничена; тогда $a$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty, c$ – от нуля до $+\infty$.

Постоянное $R$ не может превзойти некоторого значения, для того чтобы $D$ ни в какой точке жидкости не обращалось в нуль. Из (30) и (31) следует, что
\[
D=1-\left(\frac{2 \pi}{\lambda} R\right)^{2} e^{-\frac{4 \pi}{\lambda} c} ;
\]

следоватсльно, $R$ не может быть больше, чем
\[
\frac{\lambda}{2 \pi} \text {. }
\]

Уравнение свободной поверхности в момент $t$ получим выраженным через $x$ и $z$, если положим в (27) $c=0$ и исключим $a$ и $\vartheta$; поэтому оно есть результат исключения $\vartheta$ из уравнений
\[
\begin{aligned}
x-\frac{\lambda}{T} t & =R \sin \vartheta+\frac{\lambda}{2 \pi} \vartheta, \\
z & =R \cos \vartheta .
\end{aligned}
\]

Так как $x$ и $t$ входят здесь только в комбинации $x-\frac{\lambda}{T} t$, то поверхность перемещается со скоростью $\frac{\lambda}{T}$ в направлении оси $x$ без изменения формы. Для какого-нибудь значения $t$ пересечение ее с плоскостью $\boldsymbol{x O z}$ есть циклоида; круг, качением которого она описана, имеет радиус $R$, центр его движется – по оси $x$; точка, описывающая циклоиду, находится на расстоянии $\frac{\lambda}{2 \pi}$ от центра. Если $R$ получит значение, приведенное в (32), то циклоиды будут иметь точки заострения (возврата).

В рассмотренном здесь случае не существует потенциала скоростей; частицы жидкости вращаются вокруг оси $y$. Обозначим через $\chi$ угловую скорость; тогда из уравнений (15) и (14) пятнадцатой лекции получим

зледовательно, по (28) и (29) будем иметь
\[
-2 D \chi=\frac{8 \pi^{2}}{\lambda T} r \frac{d r}{d c} .
\]

Разобранное в этом параграфе движение открыто Герстнером*, позднее его самостоятельно исследовал Ранкин **.
§ 5
Возвратимся опять к исследованию жидкости, которую мы рассматривали в § 2, т. е. к жидкости, частицы которой притягиваются по закону Ньютона и на поверхность которой действует постоянное давление. При этом мы опустим сделанное там предположение, что движение жидкости установившееся или может быть приведено к таковому, если отнести его к соответствующим образом выбранной подвижной системе координат.
* Theorie der Wellen sammt einer daraus abgeleiteten Theorie der Deichprofile von Pranz Gerstner. Пpara, 1804.
** London Philos. Transactions, 1863, Part. I, p. 227.

Қак показал Дирихле в цитированном уже в сочинении (§2), мы получим возможные движения такой жидкости, если допустим, что координаты каждой частицы являются линейными функциями их начальных значений и что вначале жидкость образует эллипсоид.

Подразумевая теперь под $a, b, c$ начальные значения $x, y, z$, представим уравнение поверхности для момента $t=0$ в виде
\[
\frac{a^{2}}{A^{2}}+\frac{b^{2}}{B^{2}}+\frac{c^{2}}{C^{2}}=1
\]

и положим
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha_{1} a+\beta_{1} b+\gamma_{1} c, \\
y=\alpha_{2} a+\beta_{2} b+\gamma_{2} c, \\
z=\alpha_{3} a+\beta_{3} b+\Upsilon_{3} c,
\end{array}
\]

где девять величин $\alpha, \beta, \gamma$ означают подлежащие определению функции $t$. Прежде всего они должны удовлетворять уравнению
\[
D=\left|\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}\right|=1 .
\]

Их начальными значениями являются
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}=\beta_{2}=\gamma_{3}=1, \\
\alpha_{2}=\beta_{1}=\alpha_{3}=\gamma_{1}=\beta_{3}=\gamma_{2}=0 ;
\end{array}
\]

начальные значения их производных по $t$ могут быть любыми, с тем лишь ограничением, что они должны удовлетворять условию; получаемому дифференцированием (35), т. е. условию
\[
\frac{d \alpha_{1}}{d t}+\frac{d \beta_{2}}{d t}+\frac{d \gamma_{3}}{d t}=0
\]

Уравнение (33) есть также уравнение поверхности в момент $t$; подставим в него $x, y, z$ вместо $a, b, c$; пользуясь (34), найдем, что жидкость всегда образует эллипсоид с центром в начале координат, оси которого по величине и направлению зависят от времени.

Потенциал жидкости $V$ в момент $t$ относительно внутренней точки $(x, y, z)$ равен сумме однородной функции второй степени и некоторой не зависящей от $x, y, z$ величины. Так как $V$ обладает этим свойством, если оси $x, y, z$ совпадают с главными осями эллипсоида, то оно не утратит его, если вместо такой системы координат введем другую с тем же началом координат. При посредстве (34) отсюда следует, что
\[
V=H-K a^{2}-L b^{2}-M c^{2}-2 K^{\prime} b c-2 L^{\prime} c a-2 M^{\prime} a b,
\]

где семь вновь введенных букв означают функции времени, выражающиеся известным образом через девять функций $\alpha, \beta, \gamma$ и три постоянные $A, B, C$.
Наконец, положим
\[
p=\mathrm{const}+\sigma\left(1-\frac{a^{2}}{A}-\frac{b^{2}}{B}-\frac{c^{2}}{C}\right),
\]

где $\sigma$ – некоторая неизвестная функция $t$.
Этим предположением мы удовлетворим условию, что давление на поверхности постоянно, и уравнения (7) пятнадцатой лекции будут линейны и однозначны относительно $a, b, c$. Все условия задачи будут удовлетворены, если десять функций времени: $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}, \alpha_{3}, \beta_{3}$, $\gamma_{3}$ и $\sigma$,будут определены из следующих уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}+\alpha_{2} \frac{d^{2} \alpha_{2}}{d t^{2}}+\alpha_{3} \frac{d^{2} \alpha_{3}}{d t^{2}}=-2 K+\frac{2 \sigma}{A^{2}}, \\
\alpha_{1} \frac{d^{2} \beta_{1}}{d t^{2}}+\alpha_{2} \frac{d^{2} \beta_{2}}{d t^{2}}+\alpha_{3} \frac{d^{2} \beta_{3}}{d t^{2}}=-2 M^{\prime}, \\
\alpha_{1} \frac{d^{2} \gamma_{1}}{d t^{2}}+\alpha_{2} \frac{d^{2} \gamma_{2}}{d t^{2}}+\alpha_{3} \frac{d^{2} \gamma_{3}}{d t^{2}}=-2 L^{\prime}, \\
\beta_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}+\beta_{2} \frac{d^{2} \alpha_{2}}{d t^{2}}+\beta_{3} \frac{d^{2} \alpha_{3}}{d t^{2}}=-2 M^{\prime}, \\
\beta_{1} \frac{d^{2} \beta_{1}}{d t^{2}}+\beta_{2} \frac{d^{2} \beta_{2}}{d t^{2}}+\beta_{3} \frac{d^{2} \beta_{3}}{d t^{2}}=-2 L+\frac{2 \sigma}{B^{2}}, \\
\beta_{1} \frac{d^{2} \gamma_{1}}{d t^{2}}+\beta_{2} \frac{d^{2} \gamma_{2}}{d t^{2}}+\beta_{3} \frac{d^{2} \gamma_{3}}{d t^{2}}=-2 K^{\prime}, \\
\Upsilon_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}+\gamma_{2} \frac{d^{2} \alpha_{2}}{d t^{2}}+\gamma_{3} \frac{d^{2} \alpha_{3}}{d t^{2}}=-2 L^{\prime}, \\
\gamma_{1} \frac{d^{2} \beta_{1}}{d t^{2}}+\gamma_{2} \frac{d^{2} \beta_{3}}{d t^{2}}+\gamma_{3} \frac{d^{2} \beta_{3}}{d t^{2}}=-2 K^{\prime}, \\
\gamma_{1} \frac{d^{2} \gamma_{1}}{d t^{2}}+\gamma_{2} \frac{d^{2} \gamma_{2}}{d t^{2}}+\gamma_{3} \frac{d^{2} \gamma_{3}}{d t^{2}}=-2 M+\frac{2 \sigma}{C^{2}} .
\end{array}
\]

Семь интегралов этих уравнений можно получить на основании общих исследований, которые мы произведем. Три из них следуют из уравнений (14) пятнадцатой лекции, если ввести в них значения $x, y, z$ из (34); они показывают, что три выражения
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1} \frac{d \gamma_{1}}{d t}-\gamma_{1} \frac{d \beta_{1}}{d t}+\beta_{2} \frac{d \gamma_{2}}{d t}-\Upsilon_{2} \frac{d \beta_{2}}{d t}+\beta_{3} \frac{d \Upsilon_{3}}{d t}-\Upsilon_{3} \frac{d \beta_{3}}{d t} \\
\Upsilon_{1} \frac{d \alpha_{1}}{d t}-\alpha_{1} \frac{d \Upsilon_{1}}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \alpha_{2}}{d t}-\alpha_{2} \frac{d \Upsilon_{2}}{d t}+\Upsilon_{3} \frac{d \alpha_{3}}{d t}-\alpha_{3} \frac{d \gamma_{3}}{d t}, \\
\alpha_{1} \frac{d \beta_{1}}{d t}-\beta_{1} \frac{d \alpha_{1}}{d t}+\alpha_{2} \frac{d \beta_{2}}{d t}-\beta_{2} \frac{d \alpha_{2}}{d t}+\alpha_{3} \frac{d \beta_{3}}{d t}-\beta_{3} \frac{d \alpha_{3}}{d t}
\end{array}
\]

имеют постоянные значения. Четыре других определятся из следующих соображений. Мы убедились в § 6 одиннадцатой лекции, что для такой жидкости, как рассматриваемая, принцип Даламбера применяется в той же форме, как для системы отдельных материальных точек. Поэтому из разъяснения, сделанного в четвертой лекции, следует, что для рассматриваемого движения применимы теорема живых сил, теорема сохранения движения центра тяжести и теорема сохранения площадей. Составим сперва уравнение, выражающее теорему живых сил.

Обозначим через $d \tau$ элемент массы жидкости, который в момент $t=0$ имеет координаты $a, b, c$; тогда живая сила $T$ в момент $t$ определяется через
\[
T=\frac{1}{2} \int\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}\right] d \tau .
\]

Подставим здесь вместо $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ значения, взятые из (34), и воспользуемся тем, что
\[
\begin{array}{l}
\int a^{2} d \tau=\frac{4 \pi}{3} A B C \frac{A^{2}}{5}, \quad \int b c d \tau=0, \\
\int b^{2} d \tau=\frac{4 \pi}{3} A B C \frac{B^{2}}{5}, \quad \int c a d \tau=0, \\
\int c^{2} d \tau=\frac{4 \pi}{3} A B C \frac{C^{2}}{5}, \quad \int a b d \tau=0 ;
\end{array}
\]

эти уравнения легко получить, если положить $d \tau=d a d b d c$ и ввести вместо $a, b, c$ новые переменные интегрирования $\frac{a}{A}, \frac{b}{B}, \frac{c}{C}$. Тогда найдем
\[
T=\frac{2 \pi}{15} A B C\left\{\begin{array}{l}
A^{2}\left[\left(\frac{d \alpha_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \alpha_{2}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \alpha_{3}}{d t}\right)^{2}\right]+ \\
+B^{2}\left[\left(\frac{d \beta_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
d \beta_{2} \\
d t
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{d \beta_{3}}{d t}\right)^{2}\right]+ \\
+C^{2}\left[\left(\frac{d \gamma_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \gamma_{2}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \gamma_{3}}{d t}\right)^{2}\right] .
\end{array}\right\} .
\]

Далее, пусть будет $U$ потенциал всех действующих сил; тогда он равен
\[
U=\int V d \tau,
\]

или, как мы будем выражаться, равен потенциалу жидкого эллипсоида самого на себя. Согласно предположению, которое доказано в нижеследующем примечании *, он равен $\frac{4}{5}$ объема, умноженного на потенциал этого объема в его центре тяжести, т. е.
\[
U=\frac{16 \pi}{15} A B C \cdot H
\]
* Потенциал массы плотностью, равной единице, заполняющей эллипсоид, уравнениє поверхности которого
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
\]

относительно внутренней точки $x, y, z$, по уравнению (4) восемнадцатой лекции, будез равен
\[
\pi a b c \int_{0}^{\infty} d \hat{\lambda} \frac{1-\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}-\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}-\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} ;
\]

коэффициенты при $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ в этом выражечии, как уже замечено на стр. $112-113$, зависят только от отношений $a, b, c$, но не от абсолютых значений этих величин. Отсюда следует, что потенциал массы с плотностью единица, заполняющей объем, ограниченный двумя поверхностями
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=n^{2}
\]

и
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=n^{\prime 2}
\]

относительно точки, лежащей во віутренней пустой полости, постоянен и равен значению
где $H$ имеет значение, определяемое из (36). Теорема живых сил гласит, что между $T$ и $U$ существует уравнение
\[
T=U+\text { const. }
\]

Закон сохранения движения центра тяжести в применении к нашей задаче дает только тождество, им подтверждается правильность сделанного предположения, что центр жидкого эллипсоида остается на месте.

Теорема сохранения площадей дает три интеграла; она показывает, что выражения
\[
\int\left(y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}\right) d \tau, \int\left(z \frac{d x}{d t}-x \frac{d z}{d t}\right) d \tau, \int\left(x \frac{d y}{d t}-y_{d x}^{d t}\right) d \tau,
\]
т. е., согласно (34) и (39), выражения
\[
\begin{array}{c}
A^{2}\left(\alpha_{2} \frac{d \alpha_{3}}{d t}-\alpha_{3} \frac{d \alpha_{2}}{d t}\right)+B^{2}\left(\beta_{2} \frac{d \beta_{3}}{d t}-\beta_{3} \frac{d \beta_{2}}{d t}\right)+C^{2}\left(\gamma_{2} \frac{d \gamma_{3}}{d t}-\gamma_{3} \frac{d \gamma_{2}}{d t}\right), \\
A^{2}\left(\alpha_{3} \frac{d \alpha_{1}}{d t}-\alpha_{1} \frac{d \alpha_{3}}{d t}\right)+B^{2}\left(\beta_{3} \frac{d \beta_{1}}{d t}-\beta_{1} \frac{d \beta_{3}}{d t}\right)+C^{2}\left(\gamma_{3} \frac{d \gamma_{1}}{d t}-\gamma_{1} \frac{d \gamma_{3}}{d t}\right), \\
A^{2}\left(\alpha_{1} \frac{d \alpha_{2}}{d t}-\alpha_{2} \frac{d \alpha_{1}}{d t}\right)+B^{2}\left(\beta_{1} \frac{d \beta_{2}}{d t}-\beta_{2} \frac{d \beta_{1}}{d t}\right)+C^{2}\left(\Upsilon_{1} \frac{d \gamma_{2}}{d t}-\Upsilon_{2} \frac{d \gamma_{1}}{d t}\right)
\end{array}
\]

равны постоянным.
$\S 6$
Сделаем теперь упрощающее предположение, что главные оси жидкого эллипсоида всегда сохраняют одни и те же направления. В этом случае надо вместо (34) положить
\[
x=\alpha_{1} a, \quad y=\beta_{2} b, \quad z=\gamma_{3} c,
\]

в центре, т, е.
\[
\pi a b c\left(n^{\prime 2}-n^{2}\right) \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} \text {, если } n^{\prime}>{ }^{\prime} n \text {. }
\]

Чтобы кайти теперь потенциал эллипсоида, полуоси которого $a, b, c$, самого на себя, найдем сперва потенциал єго относктєльно слоя, сграниченного двумя поверхностями, которые подобны его поверхности, подсбно расположены и имеют полуоси $a n, b n, c n$, и $a(n+d n), b(n+d n), c(n+d n)$. Этот потенциал состоит из двух частей, из которых первая происходит от масс, лежащих снаружи слоя, вторая от масс, заключенных внутри слоя. Пергая часть равна
\[
\frac{4 \pi}{3} a b c 3 n^{2} d n \pi a b c\left(1-n^{2}\right) \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} .
\]

Вторую часть найдем, если заметим, что потенциал массы $M$ относительно массы $M$ : равен потенциалу массы $M^{\prime}$ относительно массы $M$
\[
\frac{4 \pi}{3} a b c n^{3} \pi a b c 2 n d n \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)}\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)} .
\]

Складывая эти выражения и интегрируя сумму их по $n$ от нуля до единицы, получим искомый потенциал эллипсоида с полуосями $(a, b, c)$ самого на себя
\[
\frac{4}{5} \cdot-\frac{4 \pi}{3} a b c \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}},
\]

чем доказано высказанное в текгте предложение.

следовательно,
\[
\alpha_{2}+\alpha_{3}=\beta_{1}=\beta_{3}=\gamma_{1}=\gamma_{2}=0 .
\]

Тогда значения величин $H, K, L$ получим из сравнения уравнения (36) с уравнением
\[
V=\pi A B C \int_{0}^{\infty} d \lambda \frac{\alpha_{1}^{2} A^{2}+\lambda-\frac{\alpha_{2}^{2} a^{2} b^{2}}{\beta_{2}^{2} B^{2}+\lambda} \frac{\gamma_{3}^{2} c^{2}}{\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda}}{\sqrt{\left(\alpha_{1}^{2} A^{2}+\lambda\right)\left(\beta_{2}^{2} B^{2}+\lambda\right)\left(\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda\right)}},
\]

и уравнения (37) дадут для определения четырех неизвестных функций $\alpha_{1}$, $\beta_{2}, \gamma_{3}, \sigma$ соотношения
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}=\frac{2 \sigma}{A^{2}}-2 \pi A B C \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{N} \frac{\alpha_{1}^{2}}{\alpha_{1}^{2} A^{2}+\lambda}, \\
\beta_{2} \frac{d^{2} \beta_{2}}{d t^{2}}=\frac{2 \sigma}{B^{2}}-2 \pi A B C \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{N} \frac{\beta_{2}^{2}}{\beta_{2}^{2} B^{2}+\lambda}, \\
\gamma_{3} \frac{d^{2} \gamma_{3}}{d t^{2}}=\frac{2 \sigma}{C^{2}}-2 \pi A B C \int_{0}^{\infty} \frac{d i}{N} \frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda}, \\
\alpha_{1} \beta_{2} \gamma_{3}=1,
\end{array}
\]

где положено
\[
\sqrt{\left(\alpha_{1}^{2} A^{2}+\lambda\right)\left(\beta_{2}^{2} B^{2}+\lambda\right)\left(\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda\right)}=N^{I} .
\]

Выражсіия (38) будут равны нулю; вращения нет, для движения существует потенциал скоростей. Также равны нулю выражения (40). Первый интеграл дает теорема живых сил. K квадратурам задача не приводится.

Направления осей жидкого эллипсоида можно считать постоянными также тогда, когда он есть эллипсоид врацения, ось вращения которого совпадает с осью $z$. Также и при этом предположении уравнения (37) могут быть удовлетворены. В этом случае уравнение поверхности, выраженное через $a, b, c$, имеет вид
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{A^{2}}+\frac{c^{2}}{C^{2}}=1
\]

выраженное через $x, y, z$, оно может быть представлено в виде
\[
\frac{x^{2}+y^{2}}{X^{2}}+\frac{z^{2}}{Z^{2}}=1,
\]

причем $X$ и $Z$ означают тогда полуоси. Составим условия того, что оба эти уравнения при помощи (34) должны быть тождественными; найдем
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=0, \quad \gamma_{2}=0, \quad \alpha_{3}=0, \quad \beta_{3}=0, \\
\alpha_{1}= \pm \beta_{2}, \quad \alpha_{2}=\mp \beta_{1},
\end{array}
\]

где надо выбрать оба верхних или оба нижних знака. Мы устраним эту двузначность, если допустим, что $\gamma_{3}$ положительно, и примем во внимание уравнение $D=1$; тогда получим
\[
\alpha_{1}=\beta_{2}, \quad \alpha_{2}-\beta_{1} .
\]

При этом уравнение $D=1$ будет
\[
\left(\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}\right)_{3}=1,
\]

и мы найдем
\[
\begin{array}{c}
X^{2}=\frac{A^{2}}{\gamma_{3}}, \quad Z^{2}=C^{2} \gamma_{3}^{2}, \\
x=\alpha_{1} a+\beta_{1} b, \quad y=-\beta_{1} a+\alpha_{1} b, \quad z=\gamma_{3} c .
\end{array}
\]

Отсюда будем иметь
\[
V=\pi A^{2} C \int_{0}^{\infty} d \lambda \gamma_{3} \frac{1-\frac{a^{2}+b^{2}}{A^{2}+\gamma_{3} \lambda}-\frac{\gamma_{3}^{2} c^{2}}{\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda}}{\left(A^{2}+\gamma_{3} \lambda\right) \sqrt{\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda}},
\]

причем из сравнения этого уравнения с (36) получим значения $H, K, L, \ldots$. Воспользовавшись этим, мы приведем уравнения (37) к следующим:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}+\beta_{1} \frac{d^{2} \beta_{1}}{d t^{2}}=\frac{2 \sigma}{A^{2}}-2 \pi A^{2} C \int_{0}^{\infty} \frac{\gamma_{3} d \lambda}{\left(A^{2}+\gamma_{3} \lambda\right)^{2} \sqrt{\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda^{2}}} . \\
{\gamma_{3}}^{d^{2} \gamma_{3}} d t^{2}=\frac{2 \sigma}{C^{2}}-2 \pi A^{2} C \int_{0}^{\infty} \frac{\gamma_{3}^{3} d \lambda}{\left(A^{2}+\gamma_{3} \lambda\right)\left(\gamma_{3}^{2} C^{2}+\lambda\right)^{\frac{3}{2}}}, \\
\alpha_{1} \frac{d^{2} \beta_{1}}{d t^{2}}-\beta_{1} \frac{d^{2} \alpha_{1}}{d t^{2}}=0, \\
\left(\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}\right)_{3}=1 . \\
\end{array}
\]

Один из интегралов общей задачи, определяемой (38) и (40), можно получить из этих уравнений, другой – из теоремы живых сил. Оба эти интеграла в рассматриваемой теперь задаче могут быть сведены к квадратурам. Исследование их позволит определить в общих чертах колебания, производимые поверхностью эллипсоида вращения. Относительно этого исследования мы сошлемся на цитированное уже в § 2 сочинение Дирихле. Относительно более общих исследований, касающихся движения жидкого эллипсоида, части которого притягиваются по закону Ньютона, сошлемся на сочинение Римана, которое находится в девятом томе известий Королевского общества наук в Геттингене. (Abhandl. der Königl. Gescellsch. der Wissensch. zu Göttingen.)