§ 1

При некоторых движениях жидкостей, которые мы рассмотрим здесь, полезно знать потенциал эллипсоида, наполненного массой постоянной плотности. Мы не будем выводить выражения этого потенциала. Но приведем его выражение непосредственно и, следуя по весьма простому пути, указанному Дирихле*, докажем его правильность. Пусть уравнение поверхности эллипсоида
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
\]

его плотность равна единице, и его потенциал в точке с координатами $x, y, z$ пусть будет $\Omega$. Мы сопоставим известные свойства, которыми должно обладать $\Omega$. Вследствие уравнения (11) шестнадцатой лекции, если точка $(x, y, z)$ лежит внутри эллипсоида, должно быть
\[
\Delta \Omega=-4 \pi ;
\]

если она лежит вне, то
\[
\Delta \Omega=0 .
\]

Далее $\Omega, \frac{\partial \Omega}{\partial x}, \frac{\partial \Omega}{\partial y}, \frac{\partial \Omega}{\partial z}$ должны быть однозначны и непрерывны во всем пространстве, и $\Omega$ должно в бесконечности обращаться в нуль.

Эти свойства однозначно определяют $\Omega$, как это показывает следующее рассуждение. Положим, что существуют две функции $x, y, z$, которые обладают этими свойствами, и пусть $U$ – их разность. Тогда $U$ имеет такие свойства во всем пространстве: $\Delta U=0 ; U, \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$ – однозначны и непрерывны; в бесконечности $U=0$. Но тогда, согласно разъяснению, сделанному в $\S 7$ шестнадцатой лекции, всюду $U=0$. Пусть будет, как в предыдущей лекции, $u$ – наибольший корень кубического уравнения
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+u}+\frac{y^{2}}{b^{2}+u}+\frac{z^{2}}{c^{2}+u}=1
\]

если точка ( $x, y, z$ ) лежит вне эллипсоида (1), то $u$ положительно и представляет единственный положительный корень этого уравнения; на поверх-
* Crelle’s Journal, Bd. 32, S. 80.

ности эллипсоида $u=0$. Тогда будем иметь для внешней точки
\[
\Omega=\pi a b c \int_{u}^{\infty} d \lambda \frac{1-\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}-\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}-\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}},
\]

для внутренней
\[
\Omega=\pi a b c \int_{0}^{\infty} d \lambda \frac{1-\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}-\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}-\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} .
\]

Чтобы доказать правильность этого утверждения, нам нужно только показать, что функция, данная уравнениями (3) и (4), обладает свойствами, которые определяют $\Omega$. Для этого продифференцируем уравнения (3) и (4) сперва по $x$. Для внешней точки мы получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=-2 \pi a b c x \int_{u}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a^{2}+\lambda\right) \sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}},
\]

так как член, происходящий от переменности нижнего предела, обращается в нуль вследствие уравнения (2); для внутренней точки
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=-2 \pi a b c x \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a^{2}+\lambda\right) \sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} .
\]

Пусть аналогичные уравнения составлены для $\frac{\partial \Omega}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial z}$. При этом заметим, что $\Omega, \frac{\partial \Omega}{\partial x}, \frac{\partial \Omega}{\partial y}, \frac{\partial \Omega}{\partial z}$ не претерпевают разрыва на поверхности эллипсоида, где $u=0$, и, следовательно, однозначны и непрерывны всюду. Продифференцируем уравнения (5) и (6) еще раз по $x$; тогда для внешней точки получим
\[
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x^{2}}=2 \pi a b c\left\{\frac{\frac{x}{a^{2}+u} \frac{\partial u}{\partial x}}{\sqrt{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)}}-\int_{u}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a^{2}+\lambda\right) \sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}}\right\},
\]

а для внутренней
\[
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x^{2}}=-2 \pi a b c \int_{0}^{\infty} \frac{d \lambda}{\left(a^{2}+\lambda\right) \sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} .
\]

Складывая с этим уравнением соответствующие уравнения для $\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial y^{2}}$ и $\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial z^{2}}$ и пользуясь тем, что
\[
\begin{array}{c}
\int\left(\frac{1}{a^{2}+\lambda}+\frac{1}{b^{2}+\lambda}+\frac{1}{c^{2}+\lambda}\right) \frac{d \lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}} \cdots \\
-\frac{2}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}},
\end{array}
\]

для внутренней точки мы получим
\[
\Delta \Omega=-4 \pi ;
\]

для внешней, если еще добавим, что по уравнению (17) предыдущей лекции
\[
\frac{x}{a^{2}+u}-\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{y}{b^{2}+u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{z}{c^{2}+u}-\frac{\partial u}{\partial z}=2,
\]

будем иметь
\[
\Delta \Omega=0 .
\]

Наконец, чтобы убедиться в том, что определяемая уравнением (3) функция $\Omega$ в бесконечности обращается в нуль, надо только заметить, что вследствие уравнения (2) $u$ бесконечно велико на бесконечности.

Добавим к этому еще определение потенциала цилиндра, наполненного массой с плотностью, равной единице, уравнение боковой поверхности которого есть
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text {. }
\]

и уравнения оснований суть
\[
z=-\gamma \text { и } z=-\gamma,
\]

где $\gamma$ должно быть рассматриваемо как величина бесконечно большая по сравнению с $a, b$ и с координатами точек, к которым потенциал относится. Обозначим последний через $\Omega$; тогда по уравнению (30) шестнадцатой лекции будем иметь
\[
\Omega=2 \pi a b \lg 2 \gamma+U, \quad U=-2 \int d f \lg \rho,
\]

где $d f$ – элемент площади, ограниченной эллипсом $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \quad z:=0$, $\rho$ – расстояние этого элемента от точки $(x, y, 0)$, если $(x, y, z)$ есть точка, к которой относятся $U$ и $\Omega$. По проведенному в шестнадцатой лекции исследованию $U$ определено с точностью до произвольной постоянной, если оно со своими первыми производными однозначно и непрерывно на всей плоскости $x O y$ и удовлетворяет уравненио
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}} \cdots-4 \pi \text { или } \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}=0,
\]

что зависит от того, лежит ли точка $(x, y)$ внутри или вне указанного эллипса, а $\frac{\partial U}{\partial x}$ и $\frac{\partial U}{\partial y}$ на бесконечности обращаются в нуль. $U$ будет обладать этими свойствами, если положим для внутренней точки
\[
U=\pi a b\left(\int_{0}^{u^{\prime}} \frac{1-\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}-\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}-\lambda\right)}} d \lambda+1-\lg u^{\prime}\right) \text {, }
\]

а для внешней точки
\[
U=\pi a b\left(\int_{u}^{u^{\prime}} \frac{1-\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda-\lambda-y^{2}}-\lambda}{\sqrt{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\bar{\lambda}\right)}} d \lambda+1-\lg u^{\prime}\right),
\]

при этом под $u^{\prime}$ понимаем бесконечно большое постоянное, а под $u$ – положительный корень уравнения
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+u}+\frac{y^{2}}{b^{2}+u}=1 .
\]

Это вытекает из рассуждений, подобных рассуждениям первой части этого параграфа.

Для доказательства того, что эти выражения для $U$ не вводят иного постоянного, кроме содержащегося для $U$ в формуле (7), надо только показать, что если мы положим $x^{2}+y^{2}=p^{2}$, где $\rho^{2}$ бесконечно велико, но бесконечно мало по сравнению с $u^{\prime}$, то получим из (9)
\[
U=-2 \pi a b \lg \rho .
\]

Это следует из того, что при сделанном предположении $t=\rho^{2}$, и
\[
\int_{\rho^{2}}^{u^{\prime}} \frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{\rho^{2}}{\lambda}\right) d \lambda=\lg u^{\prime}-2 \lg \rho-1 .
\]

Нетрудно произвести интегрирование, указанное в выражениях (8) и (9). Тогда для внутренней точки найдем
\[
U=\pi a b\left(2 \lg \frac{2}{a+b}+1\right)-2 \pi \frac{b x^{2}+a y^{2}}{a+b} .
\]

Если эллипс превращается в круг радиуса $a$, то это уравнение дает
\[
U=\pi a^{2}(1-2 \lg a)-\pi \rho^{2},
\]

где по-прежнему $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}$; для внешней точки при этом будем иметь
\[
U=-2 \pi a^{2} \lg \rho .
\]
§ 2
Положим $^{32}$
\[
\varphi=M \frac{\partial \Omega}{\partial z}-z,
\]

где $M$ означает постоянное, а $\Omega$ имеет данное уравнением (3) значение; тогда в пространстве, внешнем относительно эллипсоида (1), ч удовлетворяет уравнению $\Delta \varphi=0$.

Поэтому уравнение (11) представляет возможное движение жидкости в этом пространстве. На бесконечности имеем
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\cdots 1
\]

следовательно, в бесконечности жидкость течет со скоростью, равной единице, в направлении, противоположном оси $z$. Мы покажем, что постоянное $M$ можно определить так, чтобы на поверхности эллипсоида (1) было
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0 \text {. }
\]

Если постоянное определено именно так, то уравнение (11) пригодно для случая, когда жидкость движется определенным образом в бесконечность и в ней покоится эллипсоид (1). Обозначим через $n_{a}$ нормаль к элементу поверхности эллипсоида, направленную внутрь жидкости, нормаль же, направленную внутрь эллипсоида, обозначим через $n_{i}$; тогда получим условие, которое должно быть выполнено при надлежащем выборе $M$ :
\[
M \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n_{a} \partial z}=\cos \left(n_{a}, z\right),
\]

или, так как по уравнению (10) шестнадцатой лекции
\[
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n_{i} \partial z}+\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n_{a} \partial z}=4 \pi \cos \left(n_{a}, z\right)
\]

то
\[
M \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n_{i} \partial z}=(4 \pi M-1) \cos \left(n_{a} z\right) .
\]

Мы ввели вместо производной по $n_{a}$ производную по $n_{i}$, так как определяемое из уравнения (4) значение $\Omega$ для внутренней точки проще, чем определяемое уравнением (3) для внешней точки. Действительно, для внутренней точки по уравнению (4) имеем выражение
\[
\Omega=\text { const }-\pi\left(A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}\right),
\]

которым пользовались уже в двенадцатой лекции и где $A, B, C$ суть постоянные, значения которых были определены уравнением (4) той же лекции.
Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n_{i} \partial z}=-2 \pi C \frac{\partial z}{\partial n_{i}}=2 \pi C \cos \left(n_{a} z\right) .
\]

Поэтому уравнение (12) будет выполнено, если мы положим
\[
M=\frac{1}{2 \pi(2-C)} .
\]

Если для установившегося движения жидкости с потенциалом скоростей этот потенциал $\varphi$ известен, то определение линий тока потребует еще интегрирования дифференциальных уравнений
\[
d x: d y: d z=\frac{\partial \varphi}{\partial x}: \frac{\partial \varphi_{-}}{\partial y}: \frac{\partial \varphi}{\partial z},
\]

интегралы которых, содержащие две произвольные постоянные, дают уравнения линий тока.

Если $\varphi$ есть функция двух аргументов: $z$ и $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ [условие, которое в рассматриваемом здесь случае будет выполнено, если эллипсоид (1) есть эллипсоид вращения и $a=b$ ], то интегрирование уравнений (14) приводится к квадратурам. В самом деле, положим
\[
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho
\]

и будем рассматривать $\varphi$ как функцию $z$ и $\rho$; тогда получим
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \cdot \frac{x}{\rho}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \frac{y}{\rho} .
\]

Поэтому одно из уравнений (14) будет
\[
x d y-y d x=0,
\]

откуда следует
\[
\frac{x}{y}=\text { const, }
\]
т. е. каждая линия тока лежит в плоскости, проходящей через ось (z). Из (15) в связи с уравнением
\[
x d x+y d y=\rho d \rho
\]

получается далее
\[
d x=\frac{x d \rho}{\rho},
\]

вследствие чего второе из уравнений (14) примет вид
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z} d \rho-\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} d z=0 .
\]

Но из уравнения $\Delta \varphi=0$ можно убедиться, что интегрирующий множитель этого уравнения есть $\rho$, т. е. левая часть уравнения
\[
\rho \frac{\partial \varphi}{\partial z} d \rho-\rho \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} d z=0
\]

есть полный дифференциал. Действительно, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \rho^{2}} \frac{x^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \frac{y^{2}}{\rho^{3}}, \\
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \rho^{2}} \frac{y^{2}}{\rho^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \frac{x^{2}}{\rho^{3}},
\end{array}
\]

откуда следует
\[
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \rho}=0,
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=-\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \varphi}{\partial \rho}\right),
\]

чем и доказано высказанное утверждение. Таким образом, существует функция $U$ переменных $z$ и $\rho$, имеющая то свойство, что
\[
\frac{\partial U}{\partial z}=\rho \frac{\partial \varphi}{\partial \rho}, \frac{\partial U}{\partial \rho}=-\rho \frac{\partial \varphi}{\partial z} ;
\]

если она найдена, то мы получим
\[
U=\text { const }
\]

как интеграл уравнения (16) и как уравнение линий тока.
Пусть будет известна функция $V$ переменных $z$ и $\rho$, для которой
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=\varphi \text { и } \Delta V=\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial V}{\partial \rho}=0 ;
\]

гогда можно будет положить
\[
U=\rho \frac{\partial V}{\partial \rho},
\]

так как при этом будут удовлетворены оба уравнения (17). Следовательно, уравнение линий тока будет
\[
\rho \frac{\partial V}{\partial \rho}=\text { const. }
\]

В случае движения жидкости, представляемого уравнениями (11) в предположении, что $a=b$, условиям (18) можно удовлетворить, положив
\[
V=-M \Omega-\frac{z^{2}}{2}+\frac{\rho^{2}}{4} ;
\]

тогда уравнение линий тока будет
\[
\rho\left(M \frac{\partial \Omega}{\partial \rho}+\frac{\rho}{2}\right)=\text { const. }
\]

Если эллипсоид вращения превращается в шар радиуса $R$, то для внешней точки будем иметь
\[
\Omega=\frac{4 \pi}{3} R^{3} \frac{1}{r} \text {. }
\]

Из этого, пользуясь предложением, что $\frac{\partial \Omega}{\partial z}$ не претерпевает разрыва на поверхности шара, можно вывести, что $C=\frac{2}{3}$, и, следовательно, по (13), $M=-\frac{3}{8 \pi}$. Отсюда следует, что
\[
\varphi=\frac{R^{3}}{2} \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}-z
\]

и что уравнение линий тока есть
\[
\rho^{2}\left(1-\frac{R^{3}}{r^{3}}\right)=\text { const. }
\]

Положим, что величина, обозначенная в этом уравнении через const, равна нулю; тогда мы удовлетворим этому уравнению, полагая $\rho=0$ или $r=R$. В этом случае линия тока состоит из отрезка оси $z$, лежащего вне шара, и из полукруга, по которому поверхность шара пересекается с полуплоскостью, ограниченной осью $z$ и проходящей через ось $\rho$. В точках, в которых части оси $z$ встречаются с этим кругом, т. е. в точках $\rho 0$ и $z= \pm R$, скорость равна нулю, как это следует из уравнений
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{R^{3}}{3}\left(\frac{3 z^{2}}{r^{5}}-\frac{1}{r^{3}}\right)-1
\]

и
\[
\frac{\partial p}{\partial \rho} \cdot \frac{R^{3}}{2} \cdot \frac{3 z p}{r^{5}} .
\]

которые, вообще, определяют компоненты скорости по осям $z$ и $\rho$. Эти точки обладают тем свойством, что никакая частица жидкости, лежащая в данный момент на конечном от них расстоянии, никогда не может их достигнуть. Вычисление показывает, что необходимое для этого время будет бесконечно велико. Мы покажем это для частиц, лежащих на названном полукруге. Для такой частицы $r=R$; следовательно, $\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{3}{2}\left(\frac{z^{2}}{R^{2}}-1\right)$,
и потому $\frac{d z}{d t}:=\frac{3}{2}\left(\frac{z^{2}}{R^{2}}-1\right)$. Обозначим значение $t$, для которого $z:=0$, через $t_{0}$; тогда интегрированием получим
\[
\frac{3}{4}\left(t-t_{0}\right)-\lg \frac{R-z}{R+z},
\]

откуда действительно получаем
\[
t=\infty \text { для } z \cdots-R .
\]
§ 3
Выведенным уравнениям мы можем придать еще другое, отличное от прежнего, значение. Согласно разъяснению, данному в § 4 четвертой лекции, для системы координат, оси которой двикутся поступательно с постоянной скоростью, пригодны те же дифференциальные уравнения движения, как и для неподвижной. Представим себе, что оси $x, y, z$ неизменно связаны с эллипсоидом и движутся с ним в некотором направлении с постоянной скоростью; тогда выведенные в предыдущем параграфе формулы будут пригодны для движения жидкости относительно эллипсоида. Допустим, что движение происходит в направлении оси $z$ со скоростью, равной единице, так что при этом абсолютная скорость частиц жидкости в бесконечности равна нулю.

Рассмотрим теперь случай, в котором указанный случай заключается как частный. Предположим, что в жидкости, покоящейся в бесконечности, движется известным образом неизменяемое тело произвольной формы; требуется найти движение жидкости. При этом допустим, что существует однозначный потенциал скоростей; тем самым мы исключаем из задачи те случаи, когда тело заполняет многосвязное пространство, а, следовательно, и жидкость также занимает многосвязное пространство.

Воспользуемся обозначениями пятой лекции и введем две прямоугольные системы координат, одна из которых ( $\xi, \eta, \zeta$ ) неподвижна в пространстве, а другая ( $x, y, z$ ) неподвижна в теле; напишем уравнения между координатами одной и той же точки в обеих системах:
\[
\begin{array}{l}
\xi=\alpha+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta=\beta+\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta=\gamma+\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z .
\end{array}
\]

Обозначим далее через $u$, $v$, w компоненты скорости начала координат системы $x, y, z$ по осям $x, y, z$ и через $p, q, r$ – компоненты угловой скорости тела относительно тех же осей. Тогда выражения (1) шестой лекции, именно выражения
\[
\begin{array}{c}
u+z q-y r, \\
v-x r-z p, \\
w+y p-x q,
\end{array}
\]

будут компонентами скорости точки тела $(x, y, z)$ по осям $x, y, z$; они будут также компонентами скорости жидкой частицы по тем же осям, если последняя находится с телом в относительном покое.

Из последнего можно заключить, что если мы отнесем $x, y, z$ к этой же жидкой частице, то получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}-u-z q+y r, \\
\frac{d y}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}-v-x r+z p, \\
\frac{d z}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial z}-w-y p+x q .
\end{array}
\]

Интегрирование этих уравнений дает относительное движение всех жидких частиц по отношению к телу, если $u, v, w, p, q, r$ – известные функции $t$ и $\varphi$. Если бы мы пожелали найти их абсолютное значение, то надо было бы вычислить $\xi, \eta, \zeta$ из уравнений (20), пользуясь определенными значениями $x, y, z$.

Посмотрим теперь, как определить $\varphi$. Обозначим через $n$ направленную внутрь жидкости нормаль к элементу поверхности тела; тогда выражения (21), по умножении их на $\cos (n x), \cos (n y), \cos (n z)$ и после сложения, дадут компоненту скорости рассматриваемого элемента на направление $n$, но эта компонента должна быть равна $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$, т. е.
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=(u+z q-y r) \cos (n x)+(v+x r-z p) \cos (n y)+(w+y p-x q) \cos (n z) .
\]

K этому добавляются следующие условия: в бесконечности $\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}$, $\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ обращаются в нуль; в объеме, наполненном жидкостью, $\Delta \varphi=0$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ однозначны и непрерывны. Что $\varphi$ однозначно, мы уже допустили; не ограничивая общности, мы можем предположить, что $\varphi$ также непрерывно, так как пока оно определено только через свои производные. Согласно разъяснению, сделанному в § 7 шестнадцатой лекции, $\varphi$ определено здесь до добавочной постоянной; оно будет определено вполне, если мы примем, а это допустимо, что оно обращается в нуль в бесконечности. Все эти требования будут удовлетворены, если мы положим
\[
\varphi=u \varphi_{1}+v \varphi_{2}+w \varphi_{3}+p \varphi_{4}+q \varphi_{5}+r \varphi_{6}
\]

и определим шесть функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ так, чтобы каждая из них удовлетворяла уравнению $\Delta \varphi=0$, заданным для $\varphi$ условиям непрерывности и обращалась в нуль в бесконечности, а на поверхности движущегося тела удовлетворяла уравнениям
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n} & =\cos (n x), & \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial n} & =y \varphi \cos (n z)-z \cos (n y), \\
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial n} & =\cos (n y), & \frac{\partial \varphi_{5}}{\partial n} & =z \cos (n x)-x \cos (n z), \\
\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial n} & =\cos (n z), & \frac{\partial \varphi_{6}}{\partial n} & =x \cos (n y)-y \cos (n x) .
\end{aligned}
\]

Этими условиями функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ вполне определены; они не зависят от движения тела, но зависят исключительно от его формы. Если тело представляет эллипсоид, уравнение поверхности которого есть уравнение (1), то функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ легко определить на основании результатов $\S 2$. Именно, пользуясь принятыми там обозначениями и принимая для нормали $n$ данное здесь направление, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n \partial x}=2 \pi(2-A) \cos (n x), \\
\frac{\partial^{2} Q}{\partial n \partial y}=2 \pi(2-B) \cos (n y), \\
\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial n \partial z}=2 \pi(2-C) \cos (n z) .
\end{array}
\]

Отсюда прежде всего будем иметь
\[
\varphi_{1}=\frac{1}{2 \pi(2-A)} \frac{\partial \Omega}{\partial x}, \quad \varphi_{2}=\frac{1}{2 \pi(2-B)} \frac{\partial \Omega}{\partial y}, \quad \varphi_{3}=\frac{1}{2 \pi(2-C)} \frac{\partial Q}{\partial z} .
\]

Далее, мы можем заметить, что если $N$ обозначает определенное постоянное, то
\[
\varphi_{6}=N\left(x \frac{\partial \Omega}{\partial y}-y \frac{\partial \Omega}{\partial x}\right), \frac{3}{2}
\]

или, что то же самое,
\[
\varphi_{6}=N-\frac{\partial \Omega}{\partial \vartheta},
\]

если положить
\[
x=\rho \cos \vartheta, \quad y=\rho \sin \vartheta .
\]

Все поставленные для $\varphi_{6}$ условия будут удовлетворять определенным выражениям при любом значении $N$, за исключением последнего из уравнений (23), которое выполняется только при некотором определенном значении $N$. Именно, вследствие уравнений (24) и уравнений
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=-2 \pi A x, & \frac{\partial \Omega}{\partial y}=-2 \pi B y, \\
\frac{\partial x}{\partial n}=\cos (n x), & \frac{\partial y}{-}=\cos (n y),
\end{array}
\]

это уравнение примет вид
\[
x \cos (n y)-y \cos (n x)=2 \pi N[x \cos (n y)(2-B+A)-y \cos (n x)(2-A+\varphi)] \text {. }
\]

Оно линейно и однородно относительно $x$ и $y$; на этом основании и так как
\[
\cos (n x): \cos (n y)=\frac{x}{a^{2}}: \frac{y}{b^{2}},
\]

можно положить, что $x$ и $y$ соответственно равны $a^{2} \cos (n x)$ и $b^{2} \cos (n y)$; тогда в обе части уравнения $\cos (n x) \cos (n y)$ войдет общим множителем. По сокращении на этот множитель мы получим
\[
N=\frac{a^{2}-b^{2}}{2 \pi\left[2\left(a^{2}-b^{2}\right)+(A-B)\left(a^{2}+b^{2}\right)\right]} .
\]

Выражения, подобные (25), которым определено $\varphi_{6}$, можно составить и для $\varphi_{4}$ и $\varphi_{5}$.

Если $a^{2}-b^{2}$ обращается в нуль, т. е. если эллипсоид переходит в эллипсоид вращения, ось которого совпадает с осью $z$, то отношение $(A-B):\left(a^{2}-b^{2}\right)$, а также и $N$ получают легко определяемые значения. Но множитель при $N$ в уравнении (25), а следовательно, и $\varphi_{6}$ обращается в нуль.
Если эллипсоид превращается в шар радиуса $R$, то
\[
\varphi_{4}=0, \quad \varphi_{5}=0, \quad \varphi_{6}=0,
\]
т. е. вращение шара вокруг его центра не оказывает никакого влияния на движение жидкости. Далее, согласно сделанному в § 2 определению, будем иметь
\[
\varphi_{1}=\frac{R^{3}}{2} \frac{\partial-\frac{1}{r}}{\partial x}, \quad \varphi_{2}=\frac{R^{3}}{2} \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y}, \quad \varphi_{3}=\frac{R^{3}}{2} \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z},
\]

где
\[
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \text {. }
\]

Поэтому для шара мы имеем
\[
\varphi=\frac{R^{3}}{2}\left(u \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x}+v \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y}+w \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z}\right) .
\]

Это $\varphi$ удовлетворяет на поверхности шара условию
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=u \cos (n x)+v \cos (n y)+w \cos (n z) .
\]

Здесь уместно упомянуть, что найденное для $\varphi$ выражение согласуется с потенциалом молекулярного магнита, находящегося в центре шара, магнитная ось которого имеет направление движения, и магнитный момент которой равен скорости центра, умноженной на $\frac{R^{3}}{2}$, относительно полюса, лежащего в точке $(x, y, z)$ и содержащего единицу магнетизма. Это следует из того, что скорость в точке $(x, y, z)$ по величине и направлению равна силе, с которой этот молекулярный магнит действует на полюс.

Движение шара в жидкости впервые было исследовано Дирихле *, эллипсоида – Клебшем **.
$\$ 4$
В предыдущих параграфах мы предполагали, что на конечном расстоянии жидкость ограничена только поверхностью движущегося твердого тела. В этом случае следует отнести потенциал скоростей $\varphi$ к системе координат, неподвижно связанной с телом, потому что тогда он зависит исключительно от формы тела и его движения в рассматриваемый момент. Если кроме данного тела на конечном расстоянии находятся еще другие твердые тела, которые движутся или покоятся, то потенциал скоростей всегда будет зависеть от относительного положения всех тел. Тогда целесообразно отнести его прямо к неподвижной в пространстве системе координат. Мы будем теперь представлять себе, что в бесконечной жидкости на конечном расстоянии движутся два твердых тела и что система осей $x, y, z$ неподвижна в пространстве. Пусть $u, v, w$-компоненты скорости точки первого тела, $u^{\prime}, v^{\prime} w^{\prime}$ – точки второго, $p, q, r$ – компоненты угловой ско-
* Monatsberichte der Berliner Academie, 1852, S. 12.
** Crelle’s Journal, Bd. 52, S. 103 u. Bd. 53, S. 287.

рости по осям, параллельным осям координат для первого тела, $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ соответствующие величины для второго. Тогда, соответственно уравнению (22), можно положить
\[
\begin{array}{l}
\varphi=u \varphi_{1}+v \varphi_{2}+w \varphi_{3}+p \varphi_{4}+q \varphi_{5}+r \varphi_{6}+ \\
+u^{\prime} \varphi_{1}^{\prime}+v^{\prime} \varphi_{2}^{\prime}+w^{\prime} \varphi_{3}^{\prime}+p^{\prime} \varphi_{4}^{\prime}+q^{\prime} \varphi_{5}^{\prime}+r^{\prime} \varphi_{6}^{\prime},
\end{array}
\]

где $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{2}^{\prime}, \ldots-$ функции $x, y, z$, которые зависят не только от движения обоих тел, но и от их мгновенного положения. Қаждая из них должна в наполненном жидкостью пространстве удовлетворять уравнению $\Delta \varphi=0$, а также быть однозначной и непрерывной вместе со своими первыми произвоннми, обращаться в нуль на бесконечности и на поверхности обоих тел удовлетворять некоторым двум уравнениям. А именно, пусть $a, b, c$ и $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ – координаты двух точек, компоненты скоростей которых обозначены через $u, v$, w и $u^{\prime}$. $u^{\prime}, \omega^{\prime} ;$ тогда на пэверхности первого тела должно быть
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}=\cos (n x), & \frac{\partial \varphi_{1}^{\prime}}{\partial n}=0, \\
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial n}=\cos (n y), & \frac{\partial \varphi_{2}^{\prime}}{\partial n}=0, \\
\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial n}=\cos (n z), & \frac{\partial \varphi_{3}^{\prime}}{\partial n}=0, \\
\frac{\partial \varphi_{4}}{\partial n}=(y-b) \cos (n z)-(z-c) \cos (n y), & \frac{\partial \varphi_{4}^{\prime}}{\partial n}=0, \\
\frac{\partial \varphi_{5}}{\partial n}=(z-c) \cos (n x)-(x-a) \cos (n z), & \frac{\partial \varphi_{5}^{\prime}}{\partial n}=0, \\
\frac{\partial \varphi_{6}}{\partial n}=(x-a) \cos (n y)-(y-b) \cos (n x), & \frac{\partial \varphi_{3}^{\prime}}{\partial n}=0 .
\end{array}
\]

н на поверхности второго
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{1}^{\prime}}{\partial n}=\cos (n x), \\
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{2}^{\prime}}{\partial n}=\cos (n y), \\
\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{3}^{\prime}}{\partial n}=\cos (n z), \\
\frac{\partial \varphi_{4}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{4}^{\prime}}{\partial n}=\left(y-b^{\prime}\right) \cos (n z)-\left(z-c^{\prime}\right) \cos (n y), \\
\frac{\partial \varphi_{5}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{5}^{\prime}}{\partial n}=\left(z-c^{\prime}\right) \cos (n x)-\left(x-a^{\prime}\right) \cos (n z), \\
\frac{\partial \varphi_{6}}{\partial n}=0, \quad \frac{\partial \varphi_{6}^{\prime}}{\partial n}=\left(x-a^{\prime}\right) \cos (n y)-\left(y-b^{\prime}\right) \cos (n x) . \\
\end{array}
\]

Эти уравнения, которые соответствуют уравнениям (20), выведены таким же путем, как и полледние. Указанные условия определяют вполне двенадцать функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$

Простейшим случаем будет тот, когда оба тела – шары, и точки $(a, b, c)$ и $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ – их центры. Тогда условия, определяющие $\varphi_{4}, \varphi_{5}, \varphi_{6}$, $\varphi_{4}^{\prime}, \varphi_{5}^{\prime}, \varphi_{6}^{\prime}$, приведут к тому, что эти шесть функций обращаются в нуль, и, следовательно, мы получим
\[
\varphi=u \varphi_{1}+v \varphi_{2}+w \varphi_{3}+u^{\prime} \varphi_{1}^{\prime}+u^{\prime} \varphi_{2}^{\prime}+w^{\prime} \varphi_{3}^{\prime} .
\]

В этом случае с помощью так называемых шаровых функций можно найти выражение $\varphi$ в виде бесконечного ряда, всегда сходящегося и тем быстрее сходящегося, чем больше расстояние между шарами по сравнению с их радиусами. Мы не будем касаться здесь теории шаровых функций, и потому наметим только в общих чертах способ решения названной задачи и определим результат лишь постольку, поскольку он будет необходим для дальнейших исследований.

Шаровые функции непосредственно позволяют найти функцию $U$, которая вне одного шара удовлетворяет дифференциальному уравнению $\Delta U=0$, однозначна и непрерывна вместе со своими первыми производными, обращается в нуль на бесконечности и на поверхности шара $\frac{\partial U}{\partial n}$ получает произвольно заданное непрерывно изменяющееся значение. Из бесконечного числа подобных функций можно составить сходящийся ряд для потенциала скоростей жидкости, в которой таким образом движутся два шара. Чтобы это показать, назовем шар, центр которого – $a, b, c$, первым, а другой вторым.

Составим функцию $U_{1}$, для которой на поверхности первого шара будет $\frac{\partial U_{1}}{\partial n}=\frac{\partial \varphi}{\partial n}$, т. е. равно $u \cos (n x)+v \cos (n y)+w \cos (n z)$, и функцию $U_{1}^{\prime}$, для которой на поверхности второго шара будет $\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial n}=\frac{\partial \varphi}{\partial n}$, т. е. равно $u^{\prime} \cos (n x)+v^{\prime} \cos (n y)+w^{\prime} \cos (n z)$, и положим
\[
U_{1}+U_{1}^{\prime}=V_{1} \text {. }
\]

Тогда это $V_{1}$ будет первым членом ряда, представляющего ч. Функция $\varphi-V_{1}$ должна для обоих шаров удовлетворять условиям, что на первом
\[
\frac{\partial\left(\varphi-V_{1}\right)}{\partial n}=-\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial n},
\]

и на втором
\[
\frac{\partial\left(\varphi-V_{1}\right)}{\partial n}=-\frac{\partial U_{1}}{\partial n} .
\]

Составим функции $U_{2}$ и $U_{2}^{\prime}$, для которых на первой шаровой поверхности
\[
\frac{\partial U_{2}}{\partial n}=-\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial n}
\]

и на второй
\[
\frac{\partial U_{2}^{\prime}}{\partial n}=-\frac{\partial U_{1}}{\partial n},
\]

и положим
\[
U_{2}+U_{2}^{\prime}=V_{2}
\]

тогда $V_{2}$ будет вторым членом ряда для $\varphi$. Теперь для первой шаровой поверхности должно быть
\[
\frac{\partial\left(\varphi-V_{1}-V_{2}\right)}{\partial n}=-\frac{\partial U_{2}^{\prime}}{\partial n},
\]

для второй
\[
\frac{\partial\left(\varphi-V_{1}-V_{2}\right)}{\partial n}=-\frac{\partial U_{2}}{\partial n} .
\]

Положим
\[
U_{3}+U_{3}^{\prime}=V_{3},
\]

причем $U_{3}$ и $U_{3}^{\prime}$ должны быть определены так, чтобы на первой шаровой поверхности
\[
\frac{\partial U_{3}}{\partial n}=-\frac{\partial U_{2}^{\prime}}{\partial n}
\]

и на второй
\[
\frac{\partial U_{3}^{\prime}}{\partial n}=-\frac{\partial U_{2}}{\partial n} .
\]

Продолжая таким образом дальше, мы получим
\[
\varphi=V_{1}+V_{2}+V_{3}+\ldots
\]

Этот ряд везде сходится, чего, однако, мы здесь не будем доказывать. Если радиусы обохх шаров рассматривать как бесконечно малые сравни. тельно с расстоянием между шарами, то при этом каждый последующий член ряда будет бесконечно мал сравнительно с предыдущим. Қаждая из величин $V_{2}, V_{3}, \ldots$ сама выражается в шаровых функциях бесконечным рядом, который обладает также свойством, что каждый следующий член бесконечно мал сравнительно с предыдущим, если радиусы шаров бесконечно малы сравнительно с расстоянием между ними. Если при таком предположении желательно вычислить $\varphi$ с точностью только до величин известного порядка, то можно принимать в расчет лишь ограниченное число величин $V$ и для каждой из них ограниченное число членов.

Величины $U_{1}$ и $U_{1}^{\prime}$, а также и величина $V_{1}$ могут быть найдены непосредственно из уравнения (27). Обозначим расстояния точки ( $x, y, z)$ от центров обоих шаров через $r$ и $r^{\prime}$, радиусы их через $R$ и $R^{\prime}$ и воспользуемся тем, что $r$ есть функция $(x-a),(y-b),(z-c), r^{\prime}$ – функция $\left(x-a^{\prime}\right),\left(y-b^{\prime}\right),\left(z-c^{\prime}\right)$; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
U_{1}=-\frac{R^{3}}{2}\left(u \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial a}+v \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial b}+w \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial c}\right) \\
U_{1}^{\prime}=-\frac{R^{\prime}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r^{\prime}}}{\partial a^{\prime}}+v^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r^{\prime}}}{\partial b^{\prime}}+w^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r^{\prime}}}{\partial c^{\prime}}\right) .
\end{array}
\]

Сумма этих двух выражений, т. е. $V_{1}$, определяет значение $\varphi$ в первом приближении. Примем $R$ и $R^{\prime}$ за бесконечно малые первого порядка и расстояние между системами за конечную величину; тогда для того, чтобы при этом потенциал скоростей и скорость были, воощще говоря, конечными, $u, v, w, u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ должны быть бесконечно большими третьего порядка. Тогда на шаровых поверхностях $\varphi$ со своими первыми производными должны быть бесконечно велики.

На конечном расстоянии от шаровых поверхностей уравнение $\varphi=V_{1}$ дает скорости до бесконечно малых величин, но не на самих поверхностях. Чтобы получить их на этих поверхностях, надо составить $U_{2}$, но при этом надо принять в расчет члены высшего порядка. Это пригодит к тому, что $U_{2}$ и $U_{2}^{\prime}$ опять надо будет вы числять из уравнения (27). Чтобы найти $U_{2}$, следует составить для первой шаровой поверхности $\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial n}$, т. е.
\[
\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial n}=\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial x} \cos (n x)+\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial y} \cos (n y)+\frac{\partial U_{1}^{\prime}}{\partial z} \cos (n z) .
\]

Подставим сюда вместо $U_{1}^{\prime}$ его значение (28), введем вместо производных по $x, y, z$, проязво ұные по $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$, взятые с обратным знаком. Заменим, что допустимо пра требуемой точности, $r^{\prime}$ на $r_{0}$, где $r_{0}$ – pacстояние между центрами шаров, следозательно, получим
\[
r_{0}=\sqrt{\left(a-a^{\prime}\right)^{2}+\left(b-b^{\prime}\right)^{2}+\left(c-c^{\prime}\right)^{2}}
\]

и заменим производные по $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ производными по $a, b, c$; тогда
\[
\begin{array}{l}
-\frac{R^{\prime}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial b \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b^{2}}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}\right) \cos (n y)- \\
-\frac{R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2}-\frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial c^{2}}\right) \cos (n z) . \\
\end{array}
\]

Вместе с тем по (27) будем иметь
\[
\begin{array}{l}
U_{2}=\frac{R^{3} R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2}-\frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+v^{\prime} \frac{\partial^{2}-\frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial z \partial c}\right) \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial a}+ \\
+\frac{R^{3} R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial b^{2}}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}\right) \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial b}+ \\
+\frac{R R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{\mathrm{n}}}}{\partial c \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial \iota^{2}}\right) \frac{\partial \frac{1}{r^{2}}}{\partial c} . \\
\end{array}
\]

Соответственно будет
\[
\begin{aligned}
U_{2}^{\prime} & =\frac{R^{3} R^{3}}{4}\left(u \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial a^{2}}+v \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}+w \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial a \partial c}\right) \frac{1}{\frac{1}{r^{\prime}}}+ \\
& +\frac{R^{3} R^{\prime 3}}{4}\left(u \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{n}}}{\partial b \partial a}+v \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b^{2}}+w \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}\right) \frac{\partial \frac{1}{r^{\prime}}}{\partial b^{\prime}}+ \\
& +\frac{R^{3} R^{\prime 3}}{4}\left(u \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+v \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial b}+w \frac{\partial^{2} \frac{1}{r}}{\partial c^{2}}\right) \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial c^{\prime}} .
\end{aligned}
\]

Составим с помощью этих значений $U_{2}$ и $U_{2}^{\prime}$ уравнение $\varphi=V_{1}+V_{2}$, тогда оно даст также и на шаровой поверхности скорости с точностью до бесконечно малых величин и значение $\varphi$ со включением бесконечно малых величин первого порядка. Мы будем выполнять вычисление так. чтобы $\varphi$ на каждой шаровой поверхности было определено с такой же точностью. Чтобы найти $\varphi$, надо еще преоб разовать значения $U_{1}$ и $U_{1}^{\prime}$, определяемые (28). Займемся определением $\varphi$ для первой шаровой поверхности. Величину $\frac{1}{r^{\prime}}$, входящую в выражение для $U_{1}^{\prime}$, разложим по степеням $x-a, y-b, z-c$, которые являются бесконечно малыми первого порядка, причем необходимо принять во внимание только первые степени. Так кая
\[
x-a=R \cos (n x), y-b=R \cos (n y), z-c=R \cos (n z),
\]

то поэтому можно положить
\[
\frac{1}{r^{\prime}}=\frac{1}{r_{0}}+R\left[\frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial a} \cos (n x)+\frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial b} \cos (n y)+\frac{\partial-\frac{1}{r_{0}}}{\partial c} \cos (n z)\right]
\]

отсюда получим
\[
\begin{array}{c}
U_{1}^{\prime}=\frac{R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial-\frac{1}{r_{0}}}{\partial a}+v^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial b}+w^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial c}\right)+ \\
+\frac{R R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial c}\right) \cos (n x)+ \\
+\frac{R R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b^{2}}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}\right) \cos (n y)+ \\
+\frac{R R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c^{2}}\right) \cos (n z) .
\end{array}
\]

Далее из (28) следует
\[
U_{1}=-\frac{R}{2}[u \cos (n x)+v \cos (n y)+w \cos (n z)],
\]

так как
\[
\frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial a}=\frac{1}{R^{2}} \cos (n x), \quad \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial b}=\frac{1}{R^{2}} \cos (n y), \quad \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial c}=\frac{1}{R^{2}} \cos (n z) .
\]

Воспользуемся этими соотношениями, чтобы составить также определен. ное (29) выражение для $U_{2}$, и заметим, что $U_{2}^{\prime}$ высшего порядка малости, чем $U_{2}$; тогда для первой шаровой поверхности с требуемой степеньк точности мы получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi=-\frac{R}{2}[u \cos (n x)+v \cos (n y)+w \cos (n z)]+ \\
+\frac{R^{\prime 3}}{2}\left(u^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial a}+v^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial b}+w^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial c}\right)+ \\
+\frac{3 R R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial c}\right) \cos (n x)+ \\
+\frac{3 R R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b^{2}}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \frac{\partial c}{}}\right) \cos (n y)- \\
+\frac{3 R R^{\prime 3}}{4}\left(u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial b}+w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c^{2}}\right) \cos (n z) .
\end{array}
\]

Значение $\varphi$ на поверхности второго шара мы найдем, если переставим в этом выражении буквы со штрихами и буквы без штрихов.

Более общая задача, чем излсженная здесь, разрешена Бьеркнесом (Bjerknes) в его мемуаре: «Sur le mouvement simultané de corps sphériques variables dans un fluide indéfini et incompressible, presenté à la société des Sciences de Christiania le 15 sept. 1871».